Les distributions - Université Virtuelle de Tunis

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Distributions
Les distributions
Belhassen Dehman
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CHAPITRE I
Les Distributions
On introduit dans ce chapitre la notion de distribution. On commence
par mettre en place l’espace des fonctions test, puis on d´efinit les distribu-
tions comme formes lin´eaires continues sur cet espace. Ensuite, on d´efinit
les distributions temp´er´ees et on ´etudie les op´erations ´el´ementaires.Enfin,
on introduit les distributions `a support compact. Un int´erˆet particulier est
accord´e aux distributions d´efinies par des fonctions localement int´egrables.
1 L’id´ee de base
Limitons nous `a une repr´esentation de masse unidimentinelle; imaginons une
masse unit´e diversement r´epartie sur −−→ x0ox, entre les points d’abscisses −h
et h, et avec une densit´e dh(x). La densit´e dhest une fonction qui a les
propri´et´es suivantes
1. ∀x∈R, dh(x)≥0
2. dh(x) = 0, si |x|> h
3. la masse totale vaut 1 : RRdh(x)dx = 1
Si l’on imagine maintenant que cette masse constante est comprim´ee au
point x= 0, c’est-`a-dire si l’on fait tendre hvers 0, on obtient `a la limite
ce qu’on appelle une masse unit´e `a l’origine. On est dans la situation o`u un
corps physique, observ´e de loin, n’a pas de dimension et se pr´esente comme
un point.
Math´ematiquement, que se passe-t-il `a la limite pour la densit´e dh? Si
l’on admet qu’il existe une densit´e limite d(x), celle-ci devrait v´erifier
1. ∀x∈R, d(x)≥0
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2. d(x) = 0, si x6= 0
3. la masse totale vaut 1 : RRd(x)dx = 1
On con¸coit alors qu’en x= 0, la valeur d(0) soit infinie. Or, mˆeme avec
l’int´egrale de Lebesgue1, ces trois conditions sont incompatibles pour une
fonction. En effet, l’int´egrale d’une fonction nulle presque partout doit ˆetre
nulle.
L’id´ee de base consiste `a consid´erer une fonction fcomme un op´erateur
lin´eaire Tf, agissant par int´egration, sur un espace ad´equat de fonctions :
(1) Tf(φ) = ZR f(x)φ(x)dx
C’est une id´ee analogue `a celle qui a consist´e `a identifier un nombre r´eel
a`a l’application lin´eaire x7→ ax et ainsi `a passer de la notion de nombre
d´eriv´e `a celle de diff´erentielle. Mais, l’int´egrale (1) n’existe pas toujours et
on se doit d’imposer `a φdes restrictions s´ev`eres. A l’origine de la th´eorie des
distributions est le choix d’un espace fonctionnel topologique appel´e l’espace
des “fonctions test” et not´e D(Rn).
Notations.
On fixe d’abord les notations suivantes : si α= (α1, α2, . . . , αn), αj∈N, est
un multi-entier, et si x= (x1, x2, . . . , xn) est ´el´ement de Rn, on pose
xα=xα1
1xα2
2· · · xαn
n
On pose aussi
|α|=
n
X
j=1
αjet Dα=∂α1+···+αn
∂α1
x1· · · ∂αn
xn
On utilise parfois la notation ∂αi
xi`a la place de ∂αi/∂αi
xi, ainsi on peut ´ecrire
Dα=∂α1
x1· · · ∂αn
xn
Pour deux multi-entiers αet β, on ´ecrit β≤αsi, pour tout i,βi≤αiet on
pose alors α−β= (α1−β1, . . . , αn−βn) et
α
β=
n
Y
i=1 αi
βi=
n
Y
i=1
αi!
βi!(αi−βi)! =α! β!(α−β)!
1Henri LEBESGUE (1875-1941) a ´et´e l’auteur de nombreux travaux d’Analyse des
fonctions d’une variable r´eelle. Sa Th´eorie de l’Int´egration reste aujourd’hui la r´ef´erence
en ce domaine.
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Enfin, on rappelle la formule de Leibniz : si fet g:Rn→Csont deux
fonctions de classe Cm, alors pour |α| ≤ m,
Dα(fg) = X
β≤αα
βDβf.Dα−βg
D´efinition 1.1 On appelle espace D(Rn)l’espace vectoriel des fonctions
ind´efiniment diff´erentiables sur Rnet `a support born´e.
Il n’est pas imm´ediat de trouver des fonctions dans D(Rn), hormis la fonction
nulle. Les fonctions usuelles (fonctions polynˆomes, fraction rationnelles,
fonctions trigonom´etriques, etc.) n’appartiennent pas `a D(Rn), car elles ne
sont pas `a support compact.
Exemple 1.2
Soit φla fonction d´efinie par
φ(x) = (e1
x2−1,si |x|<1
0,si |x| ≥ 1
On v´erifie qu’elle appartient bien `a D(R). Par des translations et des
homoth´eties sur les variables, on construit des fonctions test dont le sup-
port est un intervalle ]a, b[ quelconque. On peut en d´eduire une infinit´e de
fonctions test dont les supports sont deux `a deux disjoints. On en d´eduit
que D(Rn) est un espace de dimension infinie. En fait, on n’utilisera jamais
d’expression explicite pour une fonction test.
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D´efinition 1.3 Une suite (φn)de fonctions de D(Rn)converge vers 0si
1) Les supports des fonctions φnsont contenus dans un mˆeme ensemble
born´e Kind´ependant de n
2) La suite (φn)ainsi que toutes ses d´eriv´ees convergent uniform´ement
sur Kvers 0.
Notons qu’il n’existe pas de distance, ni `a fortiori de norme, sur D(Rn)
qui permette de d´efinir cette notion de limite; celle-ci r´esulte pourtant bien
d’une topologie que nous n’explicitons pas ici.
Remarque 1.4
Si une suite (φn) de fonctions de D(Rn) converge vers une fonction φde
D(Rn), alors les d´eriv´ees de tout ordre αde φn,Dαφn, convergent dans
D(Rn) vers Dαφ.
Proposition 1.5
L’espace D(Rn) est dense dans Lp(Rn), 1 ≤p < ∞. L’injection de D(Rn)
dans Lp(Rn) est continue.
D´emonstration. On ´etablit seulement la continuit´e de l’injection. Pour la
densit´e, le lecteur pourra se ref´erer `a (cours d’analyse hilbertienne). Soit
(φn) une suite de fonctions de D(Rn). Supposons que (φn) converge dans
D(Rn) vers 0. Par d´efinition, il existe un ensemble born´e Kqui contient le
support de toutes les fonctions φn.
ZRn
|φn(x)|pdx =ZK |φn(x)|pdx ≤v(K)kφnkp
∞
o`u v(K) d´esigne le volume de K. Comme (φn) converge dans D(Rn) vers
0, le second membre de l’in´egalit´e ci-dessus tend vers 0 quand ntend vers
l’infini. Cela montre que la suite (φn) converge vers 0 dans Lp(Rn). 
2 L’espace D0(Rn)des distributions
D´efinition 2.1 On appelle distribution Ttoute forme lin´eaire et continue
sur D(Rn). On note hT, φile nombre complexe que Tfait correspondre `a
φ∈ D(Rn).
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