Travaux dirigés, feuille 7 : Fubini, changement de variable - IMJ-PRG

Université Paris Diderot - Paris 7
Intégration et Probabilités
L3 Maths Fondamentales
2010-2011
Travaux dirigés, feuille 7 : Fubini, changement de variable
Fubini
Exercice 1 : graphe d’une fonction
Soient (E, A, µ) un espace mesuré σ-fini et f : E → R une fonction mesurable.
1) Montrer que l’application g : E × R → R2 définie par (x, t) 7→ g(x, t) = (f (x), t) est A ⊗ B(R)-mesurable.
En déduire que le sous-ensemble suivant de E × R, appelé graphe de f , est mesurable:
G(f ) = {(x, t) ∈ E × R | f (x) = t}.
2) Soit (x, t) ∈ E × R. Vérifier que
1G(f ) (x, t) = 1{f (x)} (t) et en déduire la valeur de µ ⊗ λ(G(f )).
3) En réciproque à la question 1), montrer que si f est positive et que le sous-ensemble de E × R défini
par Hyp(f ) = {(x, t) ∈ E × R | 0 ≤ t < f (x)}, appelé hypographe de f , est dans A ⊗ B(R), alors f est
A-mesurable.
Indication: Montrer que Hyp(f )t = {x ∈ E | (x, t) ∈ Hyp(f )} est mesurable.
Exercice 2 : intégration par parties
Soient µ1 et µ2 des mesures finies sur (R, B(R)) de densité f et g par rapport à la mesure de Lebesgue. On
note F (x) = µ1 (] − ∞, x]), G(x) = µ2 (] − ∞, x]).
Soient ∆1 = {(x, y) | a ≤ y < x ≤ b}, et ∆2 = {(x, y) | a ≤ x ≤ y ≤ b}. En considérant de deux manières
différentes la quantité (µ1 ⊗ µ2 )(∆1 ∪ ∆2 ), établir la formule “d’intégration par parties” :
Z
Z
F (b)G(b) − F (a)G(a) =
F (x)g(x)dλ(x) +
G(x)f (x)dλ(x)
[a,b]
Exercice 3
R
1) Pour x ∈ R, calculer R
[a,b]
dλ(y)
.
x2 +y 2
∗
2) Soit f : R → R une fonction telle que la fonction x 7→ f (x)
x soit intégrable. Montrer que pour tout y ∈ R ,
est intégrable.
la fonction x 7→ xf2 (x)
+y 2
R
3) Pour y ∈ R∗ , posons g(y) = R xf2 (x)
dλ(x) et g(0) = 0. Montrer que g est intégrable et que
+y 2
Z
Z
g(y) dλ(y) = π
R
R
f (x)
dλ(x) .
|x|
Exercice 4
1) Montrer que la fonction f : [0, 1] × R+ → R définie par f (x, y) = e−y cos(xy) est λ2 -intégrable.
R
2) Montrer que, pour tout x ∈ [0, 1], [0,+∞[ e−y cos(xy) dλ(y) = x21+1 .
R
3) Calculer ]0,+∞[ e−y siny y dλ(y).
1
Exercice 5
Soient a, b tels que −1 < a < b. Montrer que la fonction f (x, y) = y x est intégrable dans le rectangle
R
b
a
a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ 1. Calculer l’intégrale ]0,1[ y ln−yy dλ(y).
Exercice 6
Soit f :]0, ∞[→ C telle que x 7→
f (x)
1+x2
soit λ−intégrable.
R
1) Montrer que la fonction g :]0, ∞[→ C, g(u) = ]0,∞[ f (x) exp(−ux) dλ(x) est continue.
R
2) Pour 0 < a < b, on pose Ia,b = [a,b] g(u) sin u dλ(u). Montrer que
Z
Z
sin u exp(−ux) dλ(u)dλ(x) .
f (x)
Ia,b =
]0,∞[
Z
3) Montrer que
lim
a→0,b→∞
Ia,b =
]0,∞[
[a,b]
f (x)
dλ(x).
1 + x2
Exercice 7
Soit E = [0, 1] × [0, 1] muni de la tribu borélienne et de la mesure de Lebesgue.
(
x2 −y 2
si (x, y) 6= (0, 0) ;
2 +y 2 )2 )
(x
1) Soit f : E → R définie par f (x, y) =
0
sinon.
R
R
R
R
Calculer [0,1] [0,1] f (x, y) dλ(x) dλ(y), puis [0,1] [0,1] f (x, y) dλ(y) dλ(x).
2 −y 2
∂
−x
= (xx2 +y
Indication : remarquer que ∂x
2
2
2 )2 .
x +y
−3
si 0 < y < x − 21 ;
x − 12
2) Même question avec g : E → R définie par: g(x, y) =
0
sinon.
1
3) On munit maintenant un des intervalles [0, 1] de la mesure µ de comptage. Soit h(x, y) =
0
R
R
R
R
Calculer [0,1] [0,1] h dλ dµ, et [0,1] [0,1] h dµ dλ.
si x = y ;
sinon.
4) Montrer que f, g, h sont mesurables, et expliquer pourquoi le théorème de Fubini ne s’applique pas dans
les trois cas précédents.
Exercice 8
Soient (Ω, T , µ) un espace mesuré σ−fini et f : Ω → R+ une fonction mesurable. On rappelle que le graphe
et l’hypographe de f (voir définitions dans l’exercice 1) sont T ⊗ B(R)-mesurables. Montrer que, pour p > 0,
on a
Z
Z
f p dµ = p
y p−1 µ({x ∈ Ω | 0 ≤ y ≤ f (x)} dλ(y) .
Ω
[0,∞[
Exercice 9
Soit µ une mesure sur (R, B(R)) telle que µ(K) < +∞ pour tout compact K ⊂ R. Pour tout x ∈ R, on
pose G(x) = µ([0, x]) si x ≥ 0, et G(x) = −µ(]x, 0[) si x < 0.
1) Montrer que la fonction G : R → R est mesurable.
2) Soit ϕ : R → R une fonction de classe C 1 telle que l’ensemble {x ∈ R : ϕ(x) 6= 0} soit borné. Montrer
que la fonction x ∈ R 7→ G(x)ϕ0 (x) est intégrable sur R par rapport à la mesure de Lebesgue λ1 , et que ϕ
est µ-intégrable sur R.
2
3) En utilisant le Théorème de Fubini, montrer que
Z
Z
0
Gϕ dλ1 = − ϕ dµ .
R
R
On suppose dans la suite que µ = gλ1 pour une fonction g : R → R+ continue.
4) Montrer que l’on a bien µ(K) < +∞ pour tout compact K ⊂ R.
5) Montrer que G est de classe C 1 sur R, et calculer G0 .
6) Montrer la formule obtenue à la question 3) sans utiliser le Théorème de Fubini.
Changement de variable
Exercice 10
R
Calculer l’intégrale D (y − x) dλ(x, y) où D = {(x, y)|1 < xy < 4, 0 < 2x < y, x + y < 8}.
√
Indication : poser u = xy, v = x+y
2 et utiliser Fubini.
Exercice 11
On pose Ω = {(x, y) ∈ R2 | x > 0, y > 0, 1 < x2 + 4y 2 < 4}, G = {(x, y) ∈ Ω | y < x},
Ω0 = {(x, y) ∈ R2 |1 < x < 4, y > 0} et G0 = {(x, y) ∈ Ω0 | y < 1}.
1) Trouver un C 1 -difféomorphisme T : Ω → Ω0 tel que T (G) = G0 .
( 2 2
x −4y
si x 6= 0
4x2
2) Soit f : R2 → R, f (x, y) =
. Montrer que f est borélienne intégrable sur G et
0
sinon
calculer son intégrale.
Indication : utiliser la question 1).
Exercice 12
Soient f, g les fonctions définies par :
1
1|x|<1
f (x) = √
π 1 − x2
Soit I(a) =
R
P (a) f (x)g(y)dλ(x, y)
et
g(x) = x exp(−
x2
)1x>0 .
2
où P (a) = {(x, y) ∈ R2 | xy ≤ a}. Montrer que
Z
1
2
e−t /2 dλ(t) .
I(a) = √
2π ]−∞,a[
√
Indication : poser (u, v) = (xy, y) puis z = v 2 − u2 .
Exercice 13 : volume de la boule unité dans Rd
Soient un entier n ≥ 1 et ωn le volume de la boule euclidienne unité Bn de Rn définie par
Bn = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn , x21 + · · · + x2n ≤ 1 .
1) Calculer ω1 et ω2 .
◦
2) Montrer que λn (Bn ) = λn (B n ).
3
3) Soit n ≥ 3. En remarquant que
(x21 + · · · + x2n ≤ 1) ⇐⇒ (x21 + x22 ≤ 1 et x23 + · · · + x2n ≤ 1 − x21 − x22 ) ,
et en utilisant Fubini, montrer que
Z
ωn =
(1 −
x21
−
x22 )(n−2)/2 dλ2 (x1 , x2 )
ωn−2 .
B2
4) Utiliser les coordonnées polaires pour établir que ωn =
2π
ωn−2 .
n
n
π2
5) En déduire que la suite an =
vérifie la même relation de récurrence que la suite (ωn ), où Γ est
n
Γ( 2 + 1)
la fonction Gamma déjà étudiée . On rappelle que Γ(s + 1) = sΓ(s) pour tout s > 0.
√
6) Conclure. On rappelle que Γ(1/2) = π, Γ(1) = 1.
Exercice 14
Pour α ≥ 0, on pose
Z
I(α) =
[1,+∞[×R
x2 y 2
1
dλ(x, y) .
+ x2 + α
1) Montrer que I(α) est bien définie.
2) Montrer que I(α) est finie.
3) Montrer que I : R+ → R et de classe C 1 .
4) Calculer I(α) à l’aide du changement de variables x =
√
t2 − α , y = √
tu
.
−α
t2
Exercice 15
Soit m ∈ N∗ . On note h., .i le produit scalaire usuel sur Rm . Soit A une matrice réelle m × m, symétrique
et définie positive (i.e. hAx, xi > 0 pour tout x 6= 0).
2
1) Montrer que la fonction x 7→ e−αkxk est intégrable sur Rm pour α > 0. En utilisant ce résultat montrer
que la fonction f définie par f (x) = exp(−hAx, xi) est dans L1 (Rm ).
2) Montrer que
Z
exp(−hAx, xi) dλ(x) = π m/2 (det A)−1/2 .
Rm
Indication : on
utiliser une base de vecteurs propres de A pour faire un changement de variables; on
R pourra
2
−t
rappelle que R e dt = π 1/2 .
R
2
3) Soit F la fonction de R dans C définie par F (t) = R eitx e−x dλ(x). Montrer que F est de classe C 1 sur
R et qu’elle vérifie 2F 0 (t) + tF (t) = 0. En déduire F .
R
4) Pour z ∈ Rm , calculer I(z) = Rm exp(ihz, xi − hAx, xi) dλ(x).
Exercice 16
R
2
Soit f :]0, ∞[→ R définie par f (t) = ]0,∞[ e−t(x−1) dλ(x).
R
2
2
2
1) On pose In = R2 e−n(x +y −1) dλ(x, y), (n ∈ N∗ ). Calculer In au moyen de f , puis calculer limn→∞ In .
√ R
2) Soit h une fonction continue bornée sur R2 . Calculer limn→∞ n R2 h(x, y) exp(−n(x2 +y 2 −1)2 ) dλ(x, y).
4
Exercice 17
Soient P = {(x, y, z) ∈ R3 | x = 0, y ≥ 0} et A un borélien de P . On note à le sous-ensemble de R3 image
de A par la symétrie de révolution d’axe Oz.
1) Montrer que à est borélien.
Indication : décrire à pour A = {(x, y, z) ∈ R3 | x = 0, 0 ≤ y < a, b < z < c} où a, b, c sont des réels fixés.
R
2) Montrer que λ(Ã) = 2π A y dλ(y, z).
3)Calculer le volume du tore à associé à A = {(0, y, z) | (y − a)2 + z 2 ≤ r2 } où a > r > 0.
Espaces Lp , convolution, transformée de Fourier
Exercice 18 : convolution
Soient f et g deux fonctions de R dans R. Pour x ∈ R, si y 7→ f (y)g(x − y) est intégrable, on définit le
produit de convolution de f et g en x, noté (f ∗ g)(x), par
Z
f (y)g(x − y) dλ(y) .
(f ∗ g)(x) =
R
Nous avons déjà vu dans l’exercice 4 du TD 6 que f ∗ g est bien défini sur R si f ∈ Lp (R) et g ∈ Lq (R) avec
p et q exposants conjugués.
1) Vérifier que si f ∗ g est bien défini, on a f ∗ g = g ∗ f .
2) On suppose f ∈ L1 (R), g ∈ Lp (R), (1 ≤ p < ∞). Montrer que f ∗ g est défini presque partout, et que
f ∗ g ∈ Lp (R). Majorer kf ∗ gkp en fonction de kf k1 et kgkp . Mêmes questions si p = +∞
Indication : on pensera à appliquer l’inégalité de Hölder pour la mesure de densité |f |.
3) On suppose f et g dans L1 (R). On note fb (respectivement gb) la tranformé de Fourier de f (respectivement
de g), définie par
Z
b
∀x ∈ R , f (x) =
f (t)e−itx dλ(t) .
R
Montrer que f[
∗ g = fb × gb.
Exercice 19 : suite régularisante
R
Soient K et f deux fonctions définies sur R intégrables. On suppose que K ≥ 0 et que R K(u) dλ(u) = 1,
et on pose pour tout n ∈ N∗ , Kn : x 7→ nK(nx). On considère le produit de convolution de Kn et de f ,
défini sur R par
Z
Z
(Kn ∗ f )(u) =
Kn (u − y)f (y) dλ(y) =
nK(n(u − y))f (y) dλ(y) .
R
R
Le but de cet exercice est de montrer que Kn ∗ f converge vers f dans L1 (R, B(R), λ) quand n tend vers
l’infini. Nous montrerons également que si K est régulier, Kn ∗ f l’est aussi.
1) Montrer que Kn ∗ f est définie λ-pp, et intégrable.
R
2) Montrer que kKn ∗ f − f k1 = R K(t) × kf−t/n − f k1 dλ(t), où pour tout u ∈ R, fu est défini par
fu (x) = f (x + u).
3) Montrer que
Z
∀ε > 0 , ∃a > 0 , ∀n > 0 ,
K(t) × kf−t/n − f k1 dλ(t) ≤ ε .
]−∞,−a[∪]a,+∞[
5
4) Nous avons montré dans l’exercice 5 du TD 6 que
lim kfu − f k1 = 0 .
u→0
Soit ε > 0, et le a associé à ε dans la question 3). En utilisant le résultat de l’exercice 5 du TD 6, montrer
que
Z
K(t) × kf−t/n − f k1 dλ(t) ≤ ε .
∃n0 ∈ N∗ , ∀n ≥ n0 ,
[−a,a]
5) En déduire que lim kKn ∗ f − f k1 = 0.
n→∞
6) Soit φ une fonction C ∞ à support compact. Montrer que φ ∗ f est bien défini sur R, est dans L1 , et est
C ∞ . En déduire que les fonction C ∞ intégrables sont denses dans L1 .
1
Indication : On pourra utiliser la fonction φ définie sur R par φ(x) = 1]−1,1[ (x) exp −
.
1 − x2
Exercice 20 : inversion
de la transformée de Fourier
2
R +1
sin(x/2)
1
1
ixt
= 2π
On pose K(x) = 2π
−1 (1 − |t|)e dt, pour tout x ∈ R, et Kn (x) = nK(nx), pour tout
x/2
R
n > 0. On admettra que R K dλ = 1. Ainsi la convolution par Kn a les propriétés considérées dans
l’exercice précédent. On sait donc que pour f ∈ L1 (R), on a limn→∞ kf − Kn ∗ f k1 = 0.
R
1) Pour f, h ∈ L1 (R) telles que h(x) = R H(t)eixt dλ(t) avec H ∈ L1 (R), montrer que
Z
(f ∗ h)(x) = H(t)fb(t)eixt dλ(t) ,
où l’on a fb(t) =
R
−itx dλ(x).
R f (x)e
2) Montrer que
"
lim
n→+∞
x 7→
1
2π
Z
[−n,n]
3) Montrer que si f ∈ L1 et fb ∈ L1 , on a
|t|
1−
n
1 b
b
2π f =
!#
fb(t)eitx dλ(t)
=f
dans L1 .
fˇ λ-pp, où fˇ(t) = f (−t).
Exercice 21
Soient f ∈ L2 (R, λ), k ∈ L2 (R2 , λ2 ).
R
1) Montrer que Kf (x) = R f (y)k(x, y) dλ(y) est défini pour λ-presque tout x ∈ R, que l’on a Kf ∈ L2 (R, λ)
et kKf k2 ≤ kkk2 kf k2 .
R
2) Soit g ∈ L2 (R2 , λ2 ). Montrer que h(x, y) = R k(x, z)g(z, y) dλ(z) est défini pour λ2 -presque tout (x, y),
que l’on a h ∈ L2 (R2 , λ2 ) et que khk2 ≤ kkk2 kgk2 .
Exercice 22
Cet exercice utilise l’inversion de la transformée de Fourier, prouvée dans l’exercice 20.
Soit f (x) = (1 − |x|)1[−1,1] (x), x ∈ R.
.
1) a) Montrer par un calcul direct que fˆ(t) = 2 1−cos(t)
t2
b) Calculer la transformée de Fourier de la fonction
remarquant que f = 1[−1/2,1/2] ∗ 1[−1/2,1/2] .
1[−a,a] (x) avec a > 0. Retrouver l’expression de fˆ en
6
2) En déduire que
1
(1 − |x|)1[−1,1] (x) =
π
Exercice 23
Z
Pour σ ∈]0, 1], on pose fσ (t) =
[0,1]
Z
e−itx
R
1 − cos(t)
dλ(t) .
t2
(t−x)2
1
√ e− 2σ2 dλ(x). On rappelle que
σ 2π
Z
R
u2
1
√ e− 2 dλ(u) = 1.
2π
C∞
1) Montrer que fσ est
pour tout σ ∈]0, 1].
Indication : une méthode simple et rapide utilise le changement de variable u = (t − x)/σ.
2) On fixe p ∈ [1, +∞[. En faisant le même changement de variable, montrer que :
Z
Z
p
u2 1
fσ − 1[0,1] p dλ ≤
√ e− 2 1[σu,σu+1] (t) − 1[0,1] (t) dλ(u, t) .
2π
R
R2
3) En déduire que
1[0,1] est limite dans Lp d’une suite de fonctions C ∞ .
Exercice 24
Cet exercice utilise l’inversion de la transformée de Fourier, prouvée dans l’exercice 20.
Soit a > 0 et b > 0. On considère les fonctions fa (t) = e−at 1]0,+∞[ (t), ga (t) = fa (t) + fa (−t), ha (t) =
fa (t) − fa (−t).
1) Donner les graphes et les trnasformées de Fourier transformées de Fourier de fa (t), ga (t) et ha (t).
2) En déduire les transformées de Fourier de t 7→
1
1+t2
et t 7→
1
.
2−2t+t2
3) Montrer que si f ∈ L1 est C 1 et si f 0 ∈ L1 alors fb0 (t) = itfˆ(t). En déduire la transformée de Fourier de
t 7→ (1+tt 2 )2 .
4) En déduire la valeur des intégrales
Z
cos(ωx)
dλ(x) ,
2
R+ 1 + x
5) Calculer
a2
Z
R+
1
1
∗ 2
.
2
+t
b + t2
7
x sin(ωx)
dλ(x) .
(1 + x2 )2