Principe de la méthode d`Euler

1. Equations différentielles en TS
Type
Equation
Exemples
Radioactivité :
er
1 ordre sans
second membre
dX .X 0
dt
avec  en s
d N .N 0
dt
Circuit RC : dUc  1 .Uc0  =R.C
dt R.C
-1
Circuit RL : di  R .i 0
dt L
1er ordre avec
second membre
Circuit RC : dUc  1 .Uc E
dt R.C
R.C
dX .X C
dt
Circuit RL : di  R .i  E
dt L L
Oscillateurs non amortis
d2X
 02.X 0
dt 2
2d ordre sans
second membre
 =L/R
Circuit RLC
avec 0 = 2/T0
2
d u  1 u =0
d t LC
d X
.dX  .X 0
2
2
dt 2
dt
2
0
Dispositif solide-ressort
2
d x k x = 0
dt m
2
Oscillateurs amortis
d2X
02.X k.v
dt 2
2d ordre avec
second membre
constant
Chute libre sans frottements
d2X
C
dt 2
Chute verticale avec frottements
d2X
. dX C
dt 2
dt
dv k.vC qui revient à une équation du
dt
1er ordre en v avec vlim = C/k
ou dv k.v 2 C
dt
d2X
.(dX )2 C
dt 2
dt
Toutes ces équations peuvent être résolues analytiquement sauf l’équation encadrée
pour laquelle des méthodes de résolution approchées peuvent être envisagées telle que la
méthode d’Euler. La méthode d’Euler peut également être appliquée dans tous les
autres cas.
-1-
2. Principe de la méthode d’Euler
On cherche à construire une solution de l’équation différentielle y’ = f(t, y) sur
un intervalle  t0 ; t0 + t.
Pour cela, on subdivise cette durée t en K intervalles de t0 à tN de durée égale
tn+1 – tn = p appelés pas.
La méthode d’Euler consiste alors à approcher la fonction solution y(t) par une
fonction affine Y(t) par morceau de la façon suivante : on confond la courbe de
la fonction solution sur le sous-intervalle tn , tn+1 avec sa tangente au point
de coordonnées tn.
y,Y
t
Y(tn+1) = Y(tn) + p  y’(tn ) avec y’(tn) = f(t, y)
donc Y(tn+1) = Y(tn) + p  f(t, y(tn))
Partant de y0 = y(t0) (condition initiale) et ayant défini p on peut alors calculer
y(tn) par itération.
http://www.ac-montpellier.fr/scphysiques/SP15.htm
http://www.up.univ-mrs.fr/laugierj/euler_up/chute_pas_libre_Vl.htm
-2-
3. Application à la décroissance radioactive
Un corps radioactif se désintègre en transformant une partie de ses noyaux.
Soit N (t) la fonction représentant le nombre moyen de noyaux radioactifs à
l’instant t . Le taux de variation
dN
du nombre d’atomes qui se désintègrent
dt
dans l’intervalle de temps infiniment petit dt est proportionnel au nombre
moyen d’atomes présents à l’instant t.
Soit  le coefficient de proportionnalité (constante radioactive de l’élément
considéré).
On a alors l’équation différentielle d N .N qui peut être résolue de manière
dt
analytique lorsque les élèves disposent de la fonction x ex mais qui peut être
également résolue de manière approchée à l’aide de la méthode d’Euler.
n° de ligne
Conditions 0
t
N(t)
t0
N0
t1 = t0 + p
N 1 = N 0 + d N (t0) p
dt
initiales
On définit le 1
pas p de
calcul
2
N 1 =N
t2 = t1 +p
0
-  N 0p
de même
N 2 = N 1 -  N 1p
t2 = t0 + 2.p
…
…
…
n
tn = tn-1 +p
de même
N n = N n-1 -  N n-1 p
tn = t0 + n.p
…
….
….
K
tK = t0 + t
on obtient pour finir
tK = t0+ K.p N (t + t)
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Remarques à propos du Pas
Soit z(t) est la solution analytique de l’équation différentielle dont la représentation est
donnée ci-dessous.
Par la méthode d’Euler, on trace la courbe qui passe par les points calculés
successivement :
y(tn+1) = y(tn) +y’(tn).p
Lorsqu’on suppose que y (t n )  z (t n ) correspond à la valeur exacte au temps tn de la
solution z, l’erreur commise à l’étape n relativement à la solution exacte z (appelée erreur de
consistance) est
en  z (t n 1 )  y (t n 1 )
L’erreur de consistance dépend donc de la courbure de la courbe et du carré du pas.
Les deux courbes s’éloignent donc de plus en plus au fur et à mesure que t croît.
Nous voyons donc qu’il faudra chercher à utiliser un pas suffisamment petit pour limiter
l’erreur de consistance, tout en sachant que la réduction du pas augmente le volume des
calculs à effectuer.
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Méthode d'Euler appliquée à la décroissance radioactive
T radioactive :
C radioactive :
No :
pas p :
100
0,006931
1000
10
t
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
N(Euler)
1000,0
930,7
866,2
806,1
750,3
698,3
649,9
604,8
562,9
523,9
487,6
453,8
422,3
393,0
365,8
340,4
N(analytique)
1000,0
933,0
870,6
812,3
757,9
707,1
659,8
615,6
574,3
535,9
500,0
466,5
435,3
406,1
378,9
353,6
Ecart relatif
0,0%
N
N(Euler)
N(analytique)
0,3%
0,5%
1200,0
0,8%
1,0%
1000,0
1,3%
1,5%
1,7%
2,0%
2,2%
2,5%
2,7%
800,0
600,0
400,0
200,0
t
3,0%
3,2%
3,5%
3,7%
-5-
0,0
0
50
100
150
200