Loi de normale

Variables Aléatoires
&
Lois de Probabilités
Usuelles
II- Distribution de Poisson
Pr. A. SOULAYMANI
I- Définition:
On dit qu’une Variable Aléatoire X suit une Loi
de Poisson:
♣ Si sa distribution est discontinue ( V.A.
Discrète) pouvant prendre toutes les valeurs
possible {0, 1, 2, …i, …... n}
Loi de Poisson
&
♣ Si les probabilités de réalisation de X sont
très faibles.
Pr. A. SOULAYMANI
La rareté du phénomène dans une Distribution
de Poisson ne peut être défini que lorsque
l’effectif étudié est très élevé.
Poisson a montré que la probabilité pour qu’un
événement de cette catégorie se réalise k fois
est:
Loi de Poisson
P( X  k ) 
e
m
m
k!
Où m représente la moyenne
distribution et e = 2,71828.
K
de
cette
Pr. A. SOULAYMANI
II- Paramètres d’une distribution de Poisson:
La rareté du phénomène (p très petit, et q tend
vers 1, nous conduit à une valeur moyenne:
m  np
Loi de Poisson
Et une variance s2:
s  m  np
2
X
Pr. A. SOULAYMANI
La loi de poisson est considérée comme la limite
de la loi binomiale lorsque le phénomène est très
rare et l’effectif est très élevé. Dans ce cas m=np
et n tend vers l’infini.
Loi de Poisson
D’une manière générale, on admet qu’une
distribution suit une loi de Poisson dès que:
n  50 et np  5
Pr. A. SOULAYMANI
Le tableau suivant se rapporte au cas d’une
distribution discontinue où p = 0,1 et n = 10.
Loi de Poisson
m  np  (0,1).10  1
X=k
0
1
2
3
4
5
Loi binomiale Loi de Poisson
0,348
0,367
0,387
0,368
0,194
0,184
0,057
0,061
0,011
0,015
0,0015
0,003
Cf. Lecture à partir des tables théoriques
Pr. A. SOULAYMANI
Le tableau montre que même si on n’atteint
pas des valeurs de n >= 50, les valeurs de
probabilité p(X=k) obtenues par les 2 lois sont
très proches.
Loi de Poisson
La
représentation
graphique
d’une
distribution de poisson montre généralement
une dissymétrie à gauche ( puisque p <<<< q).
Cependant, si la valeur moyenne augmente (
si n augmente) , la distribution devient de +
en + symétrique
Pr. A. SOULAYMANI
P(X=k)
4,00E-01
3,50E-01
p=0,1
3,00E-01
2,50E-01
2,00E-01
1,50E-01
1,00E-01
Loi de Poisson
5,00E-02
0,00E+00
00
11
22
3
3
42
5
3
X
m=1 3,67E-01 3,68E-01 1,84E-01 6,10E-03 1,50E-02 3,00E-03
m=2 1,35E-01 2,71E-01 2,70E-01 1,81E-01 9,00E-02 3,60E-02
Pr. A. SOULAYMANI
Pour m=10, p=0,1, on aura une distribution
relativement symétrique.
Loi de Poisson
P(X=k)
0
1
2
m=10
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Pr. A. SOULAYMANI
III- Utilisation des Tables théoriques:
m = np
Loi de Poisson
K
K
em m K
P( X  k ) 
k!
L’utilisation des tables
théoriques facilite le
calcul des probabilités
K
0
1
2
3
4
5
6
m=1
0,368
0,368
0,184
0,061
0,015
0,003
0,001
Pr. A. SOULAYMANI
II- Distribution Normale
Pr. A. SOULAYMANI
I- Introduction à la variation continue:
Si l’effectif d’un échantillon augmente
infiniment, l’étendue des classes tend vers zéro.
Loi de normale
De là, la représentation graphique des
probabilités prend une allure caractéristique,
appelée distribution en cloche.
Cette forme particulière de la distribution des
probabilité est caractéristique de la variation
continue.
Pr. A. SOULAYMANI
En effet, si l’on considère une V.A. X, très
nombreuse et classée par ordre croissant;
Loi de normale
La différence entre deux valeurs élémentaires
successives (x2 – x1) tend vers une quantité
infiniment petite dx.
L’ensemble des valeurs de x est représenté par la
fonction y = f (x) où y représente la densité de
probabilités ou de fréquences relatives.
Pr. A. SOULAYMANI
Loi de normale
Ladistribution
probabilitéde de
la quantité
dx étant
La
la densité
de probabilité
aurapar
définition
très réduite et tend vers zéro.
l’aspect
suivant:
Dans ces conditions, toute probabilité ne peut
être définie que par un intervalle donné et non
pour une valeur particulière de x.
La distribution de
la densité de
probabilité aura
l’aspect suivant:
Pr. A. SOULAYMANI
Compte tenu de la continuité de y=f(x) dans
l’intervalle [a-b], la surface totale sous la courbe
est:
b
P(a  x  b)   f ( x)dx  1
La probabilité d’un
intervalle [a-a’] est:
a
a'
Loi de normale
P(a  x  a' )   f ( x)dx
a
a
a’
DX
b
Pr. A. SOULAYMANI
II- Paramètres d’une distribution Normale:
La moyenne:
b
E( X )  X  
b
i a
pi xi   x f ( x) dx
Loi de normale
a
Pr. A. SOULAYMANI
La variance:
b
1 b
2
b
2
s   i  a ni ( xi  x)   i a pi ( xi  x)   ( xi  x) 2 f ( x)dx
a
N
2
xi
b
b
s   x f ( x)dx  2 x  xf ( x)dx  x
2
x
2
a
2
a
b
 f ( x)dx
a
Loi de normale
x
b
s   x f ( x)dx  x
2
x
2
1
2
a
Pr. A. SOULAYMANI
II- Étude de la Loi Normale:
Avec:
Soit
X, une variable aléatoire, continue.
On dit que X suit une loi normale η(x,sx), ou loi
☻
e = 2,72
de
Laplace Gauss
si:
☻
 = 3,14
♣
apparaissent
☻ses réalisations
s2 = Variance
de X dans l’intervalle:
Loi de normale
☻
s = Ecart
 – ,type
de Xet
♣ Si la densité de probabilité associée à ces
réalisations est définie par:
y  f ( x) 
1
s x 2
1/ 2 ( x  x ) 2
e
s x2
Pr. A. SOULAYMANI
On dit que la variable X, suit une loi normale
(ou loi de Laplace Gauss de moyenne x et
d’écart type s. On résume cette loi par la
notation η(x , sx)
Loi de normale
En pratique, on procède à un changement de
cette variable (on dit qu’on norme la variable).
Pour cela, on pratique le changement de X par t
tel que:
t
X X
sx
La nouvelle variable t est dite
variable Centrée, réduite, da
moyenne t = 0 et sa variance
st2=1. Elle est notée ηt (0,1).
Pr. A. SOULAYMANI
L’allure de la fonction f(t) de la nouvelle variable
ηt (0,1) centrée, réduite de moyenne nulle et
d’écart type égal à l’unité est le suivant:
Y= f(t) :densité de probabilité
Avec:
1
F(x)
0,8
t f (t )  f (t )
0,6
ηt (0,1)
f(t)
Loi de normale
0,4
f (t ) 
0,2
1
e
2
t2

2
t
0
-t
0
+t
La fonction f(t) de la variable ηt (0,1) est toujours symétrique:
Pr. A. SOULAYMANI

P(t ) 
On démontre que:

 f (t )dt  


1
e
2
t2

2
dt  1
La fonction intégrale P(t) ou a(t) de la loi
normale centrée réduite ηt (0,1) est:
Loi de normale
f(t) P(t0 ) 
t0
t0
 f (t )dt  


1
e
2
t2

2
dt
t
ta
tb
t0
Pr. A. SOULAYMANI
Ainsi, la fonction intégrale P(t0) constitue la
fonction f(t)
de répartition de t, c’est-à-dire:
P(t0)
(t0 )  P(T  t0 )
Loi de normale
ta
tb t0
t
On peut aussi calculer la probabilité associée à
un intervalle. En effet, la surface P(t)comprise
entre ta et tb est:
P(t )  P(ta  T  tb )  P(T  ta )  P(T  tb)
P (t )  P (b)  P (a)
Pr. A. SOULAYMANI
f(t)
III- Utilisation des Tables théoriques:
P(t0)
Table de la Loi de normale
ta
tb t0
t
(t0 )  P(T  t0 )
t
P(1)=P(T<=1)=0,8413
P(1<=T<=2)= P(T<=2)-P(T<=1)
= 0,9777 – 0,8413
= 0,1364
Pr. A. SOULAYMANI
IV- Exemples:
4-1. Exemple 1:
Soit X une variable suivant une loi normale η (m = 1,s =1)
1. ♣ Calculer la probabilité de x telle que : -2 ≤ x ≤ 7.
2. ♣ Déterminer la constante a telle que: P(X≤a) = 0,6.
Pr. A. SOULAYMANI
IV- Exemples:
Soit X une variable suivant une loi normale η (m = 1,s =3)
1. ♣ Calculer la probabilité de x telle que : -2 ≤ x ≤ 7.
Réponse:
Avant de chercher la probabilité demandée, il faut
transformer la variable X en variable centrée et réduite:
 2 1
7 1
P(2  x  7)  P(
t 
)
3
3
P(2  x  7)  P(1  t  2)  P (2)  P (1)
P(2  x  7)  P (2)  [1  P (1)]  0,97725  0,1587  0,8185
Pr. A. SOULAYMANI
IV- Exemples:
Soit X une variable suivant une loi normale η (m = 1,s =1)
2. ♣ Déterminer la constante a telle que: P(X≤a) = 0,6.
Réponse:
P( x  a)  P(t 
am
s
)  0,6
a 1
a 1
P(t 
)  0,6 
 0,26  a  1  0,78
3
3
D’où a =1,78
Pr. A. SOULAYMANI
4-2. Exemple 2:
Soit la fonction de densité f(x) telle que:
f ( x)  kx si 1  x  2 et f ( x)  0 si x  1  2
1. ♣ Déterminer la constante k pour que f(x) soit une
fonction de densité.
2. ♣ Calculer E(x) et V(x).
3. ♣ Déterminer la fonction de répartition F(x)
Pr. A. SOULAYMANI
4-2. Exemple 2:
1. ♣ Déterminer la constante k pour que f(x) soit une
fonction de densité.
Réponse:
f ( x)  kx si 1  x  2 et f ( x)  0 si x  1  2
Pour que X soit une fonction de densité, il faut que:

1
2



1
2
 f ( x)dx  1   f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx  1
2
2
1
1
  f ( x)dx  1   kx dx  1
x2 2
22 12
3
 k[ ]1  1  k[ F (2)  F (1)]  k[  ]  1  k   1
2
2 2
2
D’où k = 2/3
Pr. A. SOULAYMANI
4-2. Exemple 2:
2. ♣ Calcul de la moyenne E(x)

E ( x) 
x

1
2


1
2
f ( x)dx   x f ( x)dx   x f ( x)dx   x f ( x)dx
=0
car f ( x)  kx si 1  x  2 et f ( x)  0 si x  1  2
Or k = 2/3
2
2
2 2
2 x 
2  8 1  14
E ( x)   x x dx   x dx        
3
3
3 3 
3  3 3 9
1
1
2
2
3
Pr. A. SOULAYMANI
4-2. Exemple 2:
2. ♣ Calcul de la variance V(x)
On sait que V(x) = E(x)2 – [E(x)]2, par conséquent on peut
écrire:
2
2
2  x  14 
 14 
V ( x)   x
x        
3
3  4 1  9 
9
1
2
2
4
2
2
2  2 1  14 
V ( x)       
3 4 4 9 
4
4
2
D’où V(x) = 2/3[16/4 – 1/4 ]-[14/9]2 =
(30/12) – (14/9)2
Pr. A. SOULAYMANI
4-2. Exemple 2:
3. ♣ Fonction de répartition F(x)
si x  1  F ( x)  0
x
2 x 
Si x  2  F ( x)   f ( x)dx   f ( x)dx  f ( x)dx   
3  2 1


1
x
1
x
2
x
2 x 
2  x 2 12  1 2 1 x 2  1
Si x  2  F ( x)         x  
3  2 1 3  2 2  3
2
3
2
si x  2  F ( x)  1
Pr. A. SOULAYMANI
♣ représentation graphique de la fonction de répartition
♠ si x < 1 : F(x) = 0
♠ si 1 <= x < 2 : F(x) = 1/3 x2 – 1/3 (Ex: pour
x=3/2, F(x)=5/8.
♠ si x >= 2 : F(x) = 1
F(x)
1
5/12
0
1
3/2
≥2
…
X
Pr. A. SOULAYMANI
Loi normale
1,2
1
F(x)
0,8
0,6
f(x)
0,4
0,2
0
-4
-2
0
2
4
Pr. A. SOULAYMANI
Pr. A. SOULAYMANI