Tirage aléatoire ou non
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Fluctuations de l’échantillonnage L’échantillonnage & Ses Fluctuations Pr. A. SOULAYMANI Cours Statistique 2005 1 Fluctuations de l’échantillonnage IV- Manipulation sur les fréquences Pr. A. SOULAYMANI Cours Statistique 2005 2 Fluctuations de l’échantillonnage 1- Position du problème : Soit P une population d’effectif infini pour laquelle la fréquence d’un caractère est p théorique (fréquence des boules noires à titre d’exemple). Cette fréquence peut être connue ou non. On dispose d’un échantillon E1 d’effectif N1, où la fréquence du même caractère est Pobs1 ,d’un second E2 d’effectif N2 où la fréquence observée est pobs2 et d’un troisième échantillon E3 d’effectif N3 où la fréquence observée est pobs3. Pr. A. SOULAYMANI Cours Statistique 2005 3 Fluctuations de l’échantillonnage Pop Tirage aléatoire ou non E1 E2 Pth. Inconnue Pr. A. SOULAYMANI E3 N1 N2 N3 Po1 Po2 Po3 Connue Cours Statistique 2005 4 Premier sous problème : Fluctuations de l’échantillonnage Il s’agit là de la comparaison d’une fréquence observée à une fréquence théorique. Pop Tirage aléatoire ou non E Ne Pth. Pr. A. SOULAYMANI Connue ??????? Cours Statistique 2005 Po 5 Fluctuations de l’échantillonnage Deuxième sous problème Il s’agit là de l’estimation d’une fréquence théorique à partir d’une fréquence observée. Pop Tirage aléatoire E3 Ne Po Pth. Pr. A. SOULAYMANI Inconnue Cours Statistique 2005 Estimation 6 Troisième sous problème Fluctuations de l’échantillonnage Il s’agit là de la comparaison de deux fréquences observées. Pop Tirage aléatoire ou non E1 Pth. Inconnue Pr. A. SOULAYMANI E2 N1 N2 Po1 Po2 Connue Cours Statistique 2005 7 Fluctuations de l’échantillonnage 2-Comparaison d’une fréquence observée à une fréquence théorique : Test de conformité Pop Tirage aléatoire ou non E Ne Pth. Connue ??????? Po L’écart absolu entre la fréquence observée et la fréquence théorique est : e Pth.Pobs. Hypothèse nulle H0, l’écart n’est pas significatif (pth. pobs.). Hypothèse alternative H1, l’écart est significatif (pCours pobs.2005). th.#Statistique Pr. A. SOULAYMANI 8 Fluctuations de l’échantillonnage En pratique on calcul l’écart réduit pth. Pobs e a pth.(1 pth.) N La valeur de l’écart réduit calculé obs est confrontée à La valeur de l’écart réduit théorique la table théorique au seuil de 5% (a) Pr. A. SOULAYMANI Cours Statistique 2005 9 Fluctuations de l’échantillonnage pth. Pobs e a pth.(1 pth.) N Si l’écart réduit calculé est inférieur ou égal à 1.96 : la différence n’est pas significative (H0). Si l’écart réduit calculé est supérieur à 1.96 mais reste inférieur ou égal à 2.58 :la différence est significative (H1). Si l’écart réduit calculé est supérieur à 2.58 mais reste inférieur ou égal à 3.29 :la différence est très significative (H1 Si l’écart réduit calculé est supérieur à 3.29: la différence estPr.hautement significative (H1). 2005 A. SOULAYMANI Cours Statistique 10 Fluctuations de l’échantillonnage 3. Estimation de la fréquence théorique : Intervalle de confiance d’une fréquence : Pop Tirage aléatoire E3 Ne Po Pth. Inconnue Estimation On suppose que pobs. est la fréquence d’un caractère déterminé dans un Échantillon d’effectif N issu d’une population de manière parfaitement au hasard d’une population d’effectif infini, et où la fréquence du même caractère n’est pas connue. Pr. A. SOULAYMANI Cours Statistique 2005 11 Fluctuations de l’échantillonnage Afin de pouvoir estimer l’intervalle de confiance de la fréquence du caractère au niveau de la population, on pose obs P . P p (1 p ) N obs obs Pr. A. SOULAYMANI Cours Statistique 2005 th . obs . 12 obs P . P p (1 p ) N Fluctuations de l’échantillonnage obs obs th . obs . Si l’hypothèse nulle est retenue, ceci signifie qu’avec une probabilité p = 95% (a = 5%), on a : P P 1,96 p (1 p ) N obs obs th obs p (1 p ) p (1 p ) Pobs. 1,96 pth pobs. 1,96 Pr. A. SOULAYMANI Cours Statistique 2005 N N 13 obs obs obs obs Fluctuations de l’échantillonnage p (1 p ) p (1 p ) Pobs. 1,96 pth pobs. 1,96 N N obs obs obs obs 0 1 pobs p (1 p ) P 1,96 N obs obs Pr. A. SOULAYMANI obs p (1 p ) P 1,96 N obs obs obs Cours Statistique 2005 14 Fluctuations de l’échantillonnage 4- Comparaison de 2 fréquences observées : Test d’homogénéité : Tirage aléatoire ou non E1 Pth. Inconnue Pr. A. SOULAYMANI E2 N1 N2 Po1 Po2 Connue Cours Statistique 2005 15 Fluctuations de l’échantillonnage H0 : ou hypothèse nulle selon laquelle les fréquences observées au niveau de 2 ou plusieurs échantillons sont identiques. H1 : ou hypothèse alternative selon laquelle au moins deux des fréquences observées au niveaux des échantillons différents significativement. Dans ce cas, au moins un des échantillons est biaisé si les échantillons sont issus de la même population ou encore les différents échantillons confrontés sont issus de populations différentes. Pr. A. SOULAYMANI Cours Statistique 2005 16 Fluctuations de l’échantillonnage En pratique, pour tester l’Hypothèse nulle, on calcul l’écart réduit de la différence : pp 1 1 p (1 p ) N N 1 2 obs th th 1 2 Si pth n’est pas connue au niveau de la population; on l’estime à partir des deux fréquences observées de sorte que : p théorique Pr. A. SOULAYMANI N p N p N N 1 1 2 1 2 Cours Statistique 2005 2 17 Fluctuations de l’échantillonnage obs pp 1 1 p (1 p ) N N 1 th 2 th 1 2 Si l’écart réduit calculé est inférieur ou égal à 1.96 : la différence n’est pas significative (H0). Si l’écart réduit calculé est supérieur à 1.96 mais reste inférieur ou égal à 2.58 :la différence est significative (H1). Si l’écart réduit calculé est supérieur à 2.58 mais reste inférieur ou égal à 3.29 :la différence est très significative (H1 Si l’écart réduit calculé est supérieur à 3.29: la différence estPr.hautement significative (H1). 2005 A. SOULAYMANI Cours Statistique 18
