A et E

PROBABILITES
Probabilités
Eléments de base
Pr. A. SOULAYMANI
Cours Statistique 2005
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PROBABILITES
I- DEFINITION
I-1. Définition classique
Une expérience est dite aléatoire (random
experiment-random trial) lorsqu'on ne peut pas
en prévoir exactement les résultats du fait que
tous les facteurs qui déterminent ce résultat ne
sont pas maîtrisés ou contrôlés.
Un événement aléatoire est un événement
qui peut ou ne pas se réaliser au cours d'une
expérience aléatoire.
Exemple
:
expérience
aléatoire
"traverser la route" - événement aléatoire "se
faire écraser".
Pr. A. SOULAYMANI
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PROBABILITES
Si m résultats peuvent se produire avec des
chances égales et si k résultats correspondent à la
réalisation de l'événement, la probabilité de
l'événement est le rapport k/m : nombre de cas
favorables sur nombre de cas possibles.
Par exemple dans un jeu de 52 cartes on a 13
coeurs, si toutes les cartes ont des chances
égales d'être tirées, la probabilité d'extraire un
Trèfle est 13/52 = 0,25.
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PROBABILITES
II- APPROCHE AXIOMATIQUE
Axiomes élémentaires:
☻ La probabilité de tout événement associé à
une épreuve est compris entre 0 et 1:
0 < P(A) < 1
☻ La probabilité de l’événement certain est
égale à 1:
P(S) = 1 « événement toujours réalisé »
☻ La probabilité de l’événement impossible est
nulle:
P(Ø) = 0 « événement impossible »
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PROBABILITES
Evénements mutuellement exclusifs
Les événements A et B ne peuvent se produire
simultanément. Pour tous couples (A,B) l'ensemble
A ∩ B est vide.
P(A ou B) = P(A + B) = P(A U B) = P(A) + P(B)
E
A
B
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PROBABILITES
Exemple probabilité d'extraire un cœur ou
un carreau
= P(Cœur ou Carreau)
= 0,25 + 0,25 = 0,5.
Généralisation P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C)
Si 2 événements sont mutuellement
exclusifs (mort-vivant)
on a P(A)+P(B) = 1 => P(A) = 1-P(B).
La probabilité de survie à un moment
donné est égale à 1 moins la probabilité
de décéder à ce moment.
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PROBABILITES
Evénements non nécessairement exclusifs
Les événements peuvent se produire
simultanément. Exemple « avoir un
infarctus du myocarde »,
« être
diabétique ».
P(A ou B) = P(B ou A)
= P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
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PROBABILITES
En conclusion
• P(A ou B) est toujours < P(A) + P(B)
• P(M ou S ou T) = P(M) + P(S) + P(T) - P(M et
S) - P(S et T) - P(M et T) - P(M et S et T)
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PROBABILITES
Définitions & Calculs
Ensemble des réalisations et évènement
Un évènement E est un ensemble
d’évènements élémentaires (A, B, ….).
Ex: Jet de Dé;
E
B1
A
5
6
A: Avoir un résultat > 5
4
3
2
La probabilité d’un évènement A est la
somme des probabilités des évènements
élémentaires inclus dans A.
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PROBABILITES
Exemple : Familles à 3 enfants
Réalisations
GGG
GGF
Probabilités
1/8
1/8
GFG
GFF
FGG
1/8
1/8
1/8
FGF
FFG
FFF
1/8
1/8
1/8
Pr. A. SOULAYMANI
A1: Les 2 derniers enfants
sont des filles:
P(A1) = 1/8 + 1/8 = 2/8
A2: Avoir au moins une
fille:
P(A2) = 1/8 + 1/8+…+1/8
= 7/8
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PROBABILITES
Évènement
contraire
complémentaire:
et
probabilité
P( A)  1  P( A)
Réalisations
Probabilités
GGG
1/8
GGF
1/8
GFG
1/8
GFF
1/8
« Moins de 2 filles »
FGG
1/8
P(A) = 4/8
FGF
1/8
FFG
1/8
FFF
1/8
E
« Au moins 2 filles »
A
Pr. A. SOULAYMANI
A
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PROBABILITES
Évènement inclus dans un autre:
A B
E
A:« Avoir une fille » : 3/8
Réalisations
GGG
GGF
Probabilités
1/8
1/8
GFG
GFF
FGG
FGF
1/8
1/8
1/8
1/8
FFG
FFF
1/8
1/8
B:« Au moins 1 filles » : 7/8
Si A est inclus dans B, alors P(A) < P(B)
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PROBABILITES
Évènement A ou évènement B: (A ou B)
E
A:« Au moins 1 garçon » : 7/8
♀
♂ ♀
♂ ♀
♂
B:« Au moins 1 filles » : 7/8
Réalisations
GGG
GGF
GFG
Probabilités
1/8
1/8
1/8
GFF
FGG
FGF
1/8
1/8
1/8
FFG
FFF
1/8
1/8
P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
P(A ou B) = 7/8 + 7/8 – 6/8 = 8/8 = 1
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PROBABILITES
Complémentaire:
Définition:
Si E et A sont deux ensembles, on appelle
Complémentaire de A dans E l'ensemble formé
des éléments de E qui ne sont pas dans A. On
note CEA cet ensemble.
Par exemple
7
9
8
Pr. A. SOULAYMANI
4
5
(A∩E)
6
1
2
Complémentaire
de A dans E
3
Si
E = {1;2;3;4;5;6} et
A = {4;5;6;7;8;9} alors:
le complémentaire de
A dans E est {1;2;3}.
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PROBABILITES
D’une manière générale:
Si A et E sont deux ensembles finis, alors
l'observation du diagramme suivant
montre que l'on a : P(A U E) = P(CEA) +
P(CAE) + P(A ∩ E).
Complémentaire
de E dans A
Pr. A. SOULAYMANI
(A∩E)
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Complémentaire
de A dans E
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PROBABILITES
Événement [A ou exclusif E ]:
A est réalisé, E est réalisé mais (A et E) n’est
pas réalisé
Si A et E sont deux ensembles finis, alors
l'observation du diagramme suivant montre
que l'on a :
Complémentaire
de E dans A
Pr. A. SOULAYMANI
(A∩E)
Complémentaire
de A dans E
P(A ou exclusif E)
= P(CEA) + P(CAE)
= P(A) + P(E) - 2
P(A ∩ E).
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PROBABILITES
Événement différence (A-E) :
A se réalise et E ne se réalise pas
Si A et E sont deux ensembles finis, alors
l'observation du diagramme suivant montre
que l'on a :
P(A - E) = P(CAE) = P(A) - P(A ∩ E)
Complémentaire
de E dans A
Pr. A. SOULAYMANI
(A∩E)
Complémentaire
de A dans E
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PROBABILITES
Ex: Avoir au moins un Garçon sans avoir 2 filles:
Réalisations
A:Avoir au moins
un Garçon sans
av
oir tr
E:Avoir 2 filles
A-E: Avoir un
garçon sans avoir
2 filles
GGG
1/8
-
1/8
GGF
1/8
-
1/8
GFG
1/8
-
1/8
GFF
1/8
1/8
-
FGG
1/8
-
1/8
FGF
1/8
1/8
-
FFG
1/8
1/8
-
FFF
-
-
-
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