Recherche opérationnelle et aide à la décision

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processus de
Poisson
modélisation, optimisation, complexité des algorithmes chapitre 9 (processus de Poisson)
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A partir de l’instant t = 0, on considère une expérience aléatoire qui fait qu’à tout instant, un
élément A peut se réaliser ou non. Notons Xt la variable aléatoire qui indique le nombre de
réalisations de l’événement A dans l’intervalle de temps [0 ; t ] (ou [0 ; t [ : la fermeture de
l’intervalle est sans incidence sur les probabilités).
Pour k  N, [ Xt = k ] signifie « dans l’intervalle de temps [0 ; t ], A est réalisé k fois ».
On est en présence d’un processus de Poisson si
Pr X t  k   λkt! e  λ t
avec   R* .
k
On dit alors que Xt suit une loi de Poisson de paramètre  t . On écrit alors Xt  P (  t ) .
On démontre que l’espérance mathématique est E ( Xt ) =  t et que la variance V ( Xt ) =  t .
Si on prend t = 1 on a donc E ( X1 ) =  : on en conclut que l’événement A se réalise  fois
par unité de temps.
Exemple : le nombre de connexions à un serveur suit un processus de Poisson de moyenne 6
par minute. On note Xt le nombre de connexions entre l’instant 0 et l’instant t minutes.
Calculer la valeur de  :
Il y a 6 connexions par minutes donc E ( X1 ) = 6, et donc  = 6.
Quelle est la probabilité qu’il n’y ait pas de connexion pendant les 30 premières secondes ?
Pr X 0,5  0 
6 0,5 0
0!
e 60,5  e 3
Quelle est la probabilité qu’il y ait au moins une connexion dans l’intervalle [0 ; 2] ?
Pr X 2  0  6 02!  e 62  e 12
0
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On note U le temps d’attente de la première connexion. U désigne donc la durée séparant
l’instant 0 de l’instant t de la première connexion. Si U > t, il n’y a donc pas de connexion
entre les instants 0 et t (on admet que U > t ou U  t donnent les mêmes résultats).
Calculer Pr ( U > 3 ) : « la durée séparant l’instant 0 de la première connexion est supérieure à
3 minutes ». Il n’y a donc pas eu de connexion sur l’intervalle de temps [ 0 ; 3 ].
P X  0  6 03!  e 60  e 63 ,
On a donc Pr ( U > 3 ) = Pr ( X3 = 0 ) et r 3
0
donc Pr ( U > 3 ) = e –18
En règle générale Pr ( U > t ) = Pr ( Xt = 0 ) = e –  t ,
et donc Pr ( U  t ) = 1 – Pr ( Xt = 0 ) = 1 – e –  t
On dit que U suit une loi exponentielle de paramètre  et on écrit U  Exp (  ).
On démontre que E ( U ) =  – 1 et V ( U ) =  – 2 .
La loi de Poisson est utilisée :
- pour les files d’attente de clients à un guichet ;
- pour les voitures arrivant à un péage ;
- pour le nombre de pannes d’un appareil par unité de temps…
Exemple : le nombre d’arrivées de clients à un guichet entre l’instant 0 et l’instant t ( en
heures) suit un processus de Poisson de paramètre 3 par heures ( donc  = 3 ).
Calculer la probabilité de ne pas avoir de client en 20 minutes :


Pr  X 1  0 
 3

 1
 3 
 3
0!
0
e
3
1
3
 e 1
Calculer la probabilité de ne pas avoir de client en 2 heures :
Pr X 2  0  3 02!  e 32  e 6
0
Calculer la probabilité que le 1er client se présente plus de 2 heures après l’ouverture :
Pr ( U > 2 ) = Pr ( X2 = 0 ) = e – 6
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