Loi Binomiale

Variables Aléatoires
&
Lois de Probabilités
Usuelles
Théorie des Probabilités
Étude des lois de probabilités usuelles
Pr. A. SOULAYMANI
Introduction:
Théorie des Probabilités
Une variable aléatoire X peut prendre des
valeurs xi dans un intervalle donné de façon qu’à
chaque valeur particulière de xi correspond une
probabilité pi.
pi apparaît comme une fonction de xi et
l’ensemble des probabilités élémentaires pi
constitue la loi de probabilité de la variable
aléatoire X .
Pr. A. SOULAYMANI
Autrement dit, affecter une probabilité pi à
chacune des valeurs de xi, c’est doter la variable
aléatoire X d’une loi de probabilité.
Théorie des Probabilités
Ceci ne pose aucun problème lorsque la var.
aléatoire est discrète.
• Exemple :
Si on lance successivement 3 fois une pièce
de monnaie:
xi
0
1
2
3
P(xi)
1/8
3/8
3/8
1/8
Pr. A. SOULAYMANI
Le problème des lois de probabilité devient plus
délicat lorsque la V.A. X est continue.
Théorie des Probabilités
En effet, pour des V.A. continue, la probabilité
d’une valeur particulière est nulle.(De la même
manière que le choix d’un point sur une droite).
On est donc amener à distinguer deux catégories
de lois de probabilité:
- Les Lois relatives à la variation discontinue et,
- Les Lois relatives à la variation continue.
Pr. A. SOULAYMANI
I- Distribution Binomiale
Pr. A. SOULAYMANI
La distribution binomiale ou loi binomiale est
une loi de variation discontinue dite de
Bernoulli.
Si X est la V.A. qui associe à tout élément de
A la valeur 1 et à tout élément
n’appartenant pas à A la valeur 0.
Loi Binomiale
Cette variable ne prend donc que deux
valeurs 1 et 0, avec:
P(A) = p et P(Ã) = q = 1-p
Pr. A. SOULAYMANI
1- Urne de BERNOULLI:
Considérons une urne qui contient deux types
de boules:
- Des boules blanches d’effectif n1 (8): ☺
Loi Binomiale
- Des boules noires d’effectif n2: (12)☻
☻☻
☺
☻
☺
n
+
n
=
N
=
20
☻
☻
☻
1
2
☻☺ ☺ ☺ ☺
☻☺
☻ ☻
☻
☺☻
Pr. A. SOULAYMANI
Loi Binomiale: urne de Bernoulli
On suppose que le tirage se fait avec remise, de
sorte que la composition de l’urne ne change pas
d’un tirage à l’autre.
☻☻
☺ p = n1/N = 8/20 = 0,4
☺
☻
☺
☻
☻
☻
☺
☺
☻☺ ☺
☻☺
☻ ☻
☻
☻ q = n2/N = 12/20 = 0,6
☺☻
On constate que p+q = n1 + n2 /N = 20/20 = 1
Pr. A. SOULAYMANI
Loi Binomiale: urne de Bernoulli
2- Définition:
Une Variable aléatoire X suit une Loi
Binomiale β(N,p) si elle peut être considérée
comme une somme de plusieurs variables
aléatoires indépendantes, suivant toutes la loi
de Bernoulli de paramètre p.
Ce qui nous intéresse donc, c’est la
probabilité des associations qui peuvent
résulter de n tirages successifs.
Pr. A. SOULAYMANI
2- 1. Épreuve du double tirage:
Loi Binomiale: Épreuve du double tirage
Considérons l’exemple simple d’un sac de 3 boules,
dont une blanche et deux noires.
On se propose de voir
ce qui va se passer sur
le plan de probabilités
quand on procède à
deux tirages successifs
avec remise.
La probabilité de tirer
une
boule
blanche
étant p=1/3 et celle de
tirer une boule noire est
q=1-p = 2/3.
Pr. A. SOULAYMANI
Loi Binomiale: Épreuve du double tirage
Ce qui nous intéresse, c’est la probabilité des
1er
2eme
Association
associations
tirage
issues du premier tirage
BB : p2
et du second
tirage.
BN : pq
BN : pq
NB : qp
p=1/3
NN : q2
q=2/3
NN : q2
NB : qp
NN : q2
NN : q2
Pr. A. SOULAYMANI
1er tirage 2eme tirage
Association
BB : p2
Loi Binomiale: Épreuve du double tirage
BN : pq
BN : pq
NB : qp
Au total, on aura trois
catégories d’associations (2
tirages + 1)
Si on ne tient pas compte de
l’ordre du tirage, on aura:
1Association
BB
probabilité (1/3)(1/3)=p2
de
NN : q2
NN : q2
NB : qp
2- Association BN ou NB de
probabilité 2(1/3)(2/3)=2pq
NN : q2
NN : q2
3Association
NN
probabilité (2/3)(2/3)=q2
de
Ces divers associations de 2 boules, comportant
respectivement 0, 1 et 2 boules noires, ont donc pour
probabilités respectives les termes successifs du
développement de (p+q)2 = p2 + 2pq + q2
Pr. A. SOULAYMANI
Loi Binomiale: Épreuve du tirage multiple
2-2. Épreuve du tirage multiple: La loi
Binomiale
En résonnant de la même manière que
précédemment, on arrivera dans le cas d’un triple
tirage à 4 associations (3+1) de boules blanches ou
noires, avec 0, 1, 2 ou 3 boules noires.
En démontre facilement que les probabilités des 4
associations seront obtenues par les termes du
développement de (p+q)3.
(p+q)3 = p3 + 3p2q + 3 pq2 + q2
3
B
2B+ N
2N+ B
3
N
Pr. A. SOULAYMANI
Loi Binomiale: Épreuve du tirage multiple
Épreuve du tirage multiple: La loi Binomiale
[ p = 1/3 ; q = 2/3 ]
(p+q)3 = p3 + 3p2q + 3 pq2 + q2
Probabilité
3pq2= 12/27
q3 =8/27
3p2q=6/27
p3 = 1/27
Nombre de boules Noires
0
1
2
3
Pr. A. SOULAYMANI
D’une manière générale:
Soit une urne
composée de N
boules , dont k
boules blanches et
N-k boules noires.
Loi Binomiale: En général
Tirage
Échantillon
E: n boules
(n < N)
En
répétant
l’épreuve
plusieurs fois; la structure des
échantillons sera la suivante:
- 0 boules Blanches et
noires.
- 1 boules Blanches
boules noires.
- 2 boules Blanches
boules noires.
-….
-….
- k boules Blanches
boules noires.
-….
-….
- n boules Blanches et
noires.
n boules
et
(n-1)
et
(n-2)
et
(n-k)
0 boules
Pr. A. SOULAYMANI
Si
E : tirer une boule blanche
E : tirer une boule Noire
Loi Binomiale: En général
X: nombre de réalisations de E dans un échantillon
de n boules.
X: peut prendre (n+1) valeurs possibles tel que:
X = { 0, 1, 2, ………., K, ……., n }
Si X = k
réalisations de E
et si l’on tient pas
compte de l’ordre
du tirage des
boules
La probabilité
d’avoir k boules
blanches est:
p. p. p…..p… p = pk
K fois
Dans l’échantillon, on aura (N-k) boules noires de
probabilité q. q. ….q…….q = q(N-k)
Pr. A. SOULAYMANI
Ainsi, la probabilité d’avoir k boules
blanches et (n-k) boules noires dans
l’échantillon serait; fk = pk.q(n-k).
Loi Binomiale: En général
Mais il y a autant d’échantillon satisfaisants (k
boules blanches et n-k boules noires) que de
combinaisons de n boules avec k boules
blanches; on aura donc:
P( X  k )  C . p .q
k
n
K
( nk )
n!
k
( nk )
p( X  k ) 
. p .q
(n  k )! k!
Pr. A. SOULAYMANI
Si X est le nombre de réalisation de E avec
X = { 0,1,2,……k,……N}
Les probabilités liées à chacune des réalisations
xi correspondent aux termes successifs du
développement du binôme de Newton (p+q)n.
1 n 1
Loi Binomiale: En général
( p  q)  q  C p q
n
n
1
n
C p q
2
n
2
n2
 .....  C p q
k
n
k
nk
 ...  p
n
C’est cette distribution de probabilités
qui est connue sous le nom de
Distribution Binomiale.
Pr. A. SOULAYMANI
2-3. Paramètre de La loi Binomiale
2-3-1. La moyenne d’une loi Binomiale
Si X est le nombre de réalisation de E avec
X={0,1,2,……k,……N}; à chacune des valeurs xi
s’associe une probabilité P(xi), telle que:
P( xi )  C p q
Loi Binomiale:Moyenne
x
n
x
n x
X 
X
n
np.[i0
n
i 0
X   in0 xi . P( xi )   in0Cnk p x .q (  x ) .x
n!
p x .q ( n x ) .x
( n  x) ! x !
(n  1) !
x 1 n x
p .q ]  n. p
(n  x) !( x  1) !
(p+q)(n-1) = 1
Pr. A. SOULAYMANI
2-3-2. La variance d’une loi Binomiale
La variance_ V(X) = sx2 = E(X)2 – [E(x)]2
_
_
_
n
2
2
= 1 pi xi -x = pi xi2 - x +x -x2
on sait que x  pi xi
donc s  pi xi [( x  1)]  x  x
Loi Binomiale:Variance
2
x
s  C p q
2
x
x
n
x
( n x)
.x( x  1)  x  x
2
2
2
n!
x ( n x)
s 
p q
x( x  1)  x  x
(n  x)! x!
2
x
2
(n  2)!
( x 2) n x
s  n(n  1) p 
p
q xx
(n  x)!( x  2)!
2
x
2
Pr. A. SOULAYMANI
2
(n  2)!
( x 2) n x
s  n(n  1) p 
p
q xx
(n  x)!( x  2)!
2
x
2
(p+q)(n-2) = 1(n-2)=1
s  n(n  1) p  np  n p
Loi Binomiale:Variance
2
x
2
2
2
s  n p  np  np  n p  np(1  q)  np
2
x
2
2
2
2
2
s  np  npq  np
2
x
s  npq
2
x
Pr. A. SOULAYMANI
3- Exemples d’application
3-1. Exemple 1: Dans les familles de 3 enfants,
quelle est la probabilité d’avoir 2 filles?. La
probabilité de naissance d’une fille est p=0.48.
Solution: n=3, k=2, p=0.48 et q=1-p=0.52
P( X  2)  C (0.48) (0.52)
Loi Binomiale
2
3
2
( 3 2 )
 0.359
Quel est le nombre moyen de filles et la
variance?
Solution:
E(X) = np = 3 (0.48) = 1.44
Var(X) = npq = 3 (0.48) (0.52)= 0.75
Pr. A. SOULAYMANI
3-2. Exemple 2: Dans les familles de 5 enfants, définir la
loi de probabilité de X (nombre de filles) si la probabilité
d’avoir une fille est de 0.3 et donner la valeur moyenne et
la variance de X
Solution:
Loi Binomiale
x
Loi de Probabilité
k k ( nk )
C
P(X=x) n p q
0
0.1680
1
0.3601
2
0.3087
3
0.1323
4
0.0283
5
0.0024
La Moyenne est:
E(X) = n.p
=5(0.3)=1.5
La Variance est:
Var(X) = n.p.q
=5(0.3)(0.7)
=1.05
Pr. A. SOULAYMANI
Fonction de répartition:
Solution:
Loi Binomiale
FX(x) = P(X ≤ xi)
x
0
1
2
3
4
5
P(X = x)
0.1680
0.3601
0.3087
0.1323
0.0283
0.0024
P(X ≤ x)
0.1680
0.5281
0.8368
0.9691
0.9974
0.9999 ≈ 1
Pr. A. SOULAYMANI
3- 3. Exemple 3: Soit un Dé cubique à 6 faces
numérotés de 1 à 6, ayant la même probabilité.
On lance 9 fois de suite le Dé.
On considère que l’on obtient un succès si la
réponse obtenue est supérieur à 5.
Soit X, la V.A. associée aux nombre de succès
obtenus sur les 9 jets.
Déterminer la probabilité de X=0, X=4 et de X=9,
la moyenne et la variance de cette distribution.
Pr. A. SOULAYMANI
Solution:
Sur un jet, la probabilité de succès est
p = 2/6 = 1/3
La probabilité de l’échec est q = 4/6 =
2/3
X suit une loi binomiale b (N,p) = b (9, 1/3)
1 0 2 9 29
P( X  0)  C p q  C ( ) ( )  [ ]
3 3
3
0
9
0
9
0
9
1 4 2 5
P( X  4)  C p q  C ( ) ( )
3 3
4
9
4
5
4
9
1 9 2 0 19
P( X  9)  C p q  C ( ) ( )  [ ]
3 3
3
9
9
9
0
9
9
Pr. A. SOULAYMANI
La moyenne de X : b (N,p) est:
np = 9.1/3 = 3
La variance de X : b (N,p) est:
npq = 9.1/3.2/3 = 2
Pr. A. SOULAYMANI
3- Distribution
asymétrique:
binomiale
symétrique
ou
L’expression générale de la loi binomiale est donnée par:
P( X  k )  C p q
k
n
k
( nk )
Si p = q; l’expression générale de terme k, abstraction
faite du coefficient C, devient pk.q(n-k) = pk.p(n-k) = pn.
Loi Binomiale
Dans ce cas, tous les termes sont de la forme pn et ne
différent que par C. Il en résulte que, si p=q, les termes
situés à égales distance du binômes (p+q)2 deviennent
respectivement égaux entre eux: La distribution est
dite alors Symétrique.
Pr. A. SOULAYMANI
Exemple: X: Nombre de fois « pile » dans l’épreuve de 3
tirages successifs d’une pièce de monnaie non truquée
(p = q = 1/2)
(P,P,P)→3
(F,P,P)→2
(P,F,F)→1
(P,P,F)→2
(P,F,P)→2
(F,P,F)→1
(F,F,P)→1
(F,F,F)→0
X = {0, 1, 2, 3}
P(X=3) = P(P,P,P) = 1/8
P(X=2) = P(P,P,F)+P(P,F,P)+P(F,P,P) =3/8
P(X=1) = P(P,F,F)+P(F,P,F)+P(F,F,P) =3/8
P(X=0) = P(F,F,F) = 1/8
Avec ∑ Pi = 1
Pr. A. SOULAYMANI
La forme générale de la distribution symétrique
est la suivante:
P
0,4
0,35
0,3
0,25
P(X)
0,2
0,15
0,1
0
1
2
3
k
0,05
0
1
2
3
4
Xi
Pr. A. SOULAYMANI
4- Utilisation de la table de la Loi Binomiale:P (X ≤ x)
n=10
x
p
0,10
0,20
0,25
0,30
0,40
0,50
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,348 0,107 0,056 0,028 0,006 0,000
0,736 0,375 0,244 0,149 0,046 0,010
0,929 0,677 0,525 0,382 0,167 0,054
0,987 0,879 0,775 0,649 0,382 0,171
Par définition:
0,998 0,967 0,921 0,849 0,633 0,379
P(X=x
= P(X
≤xi)0,952
– P(X
≤x(i-1)
)
0,999 i) 0,993
0,980
0,833
0,623
0,999 0,999 0,996 0,989 0,945 0,828
P(X=5) = P(X≤5) – P(X ≤4)
1,000 0,999 0,999 0,998 0,987 0,945
1,000 0,999 0,999 0,998 0,989
P(X=5) = 0,999 – 0,998 = 0,001
1,000 0,999 0,999 0,999
1,000 1,000 1,000
Pr. A. SOULAYMANI
Probabilité d’un intervalle: P (xi ≤ X ≤ xk)
n=10
x
0
1
2
3
4
5
P(xi
6
7
8
9
10
p
≤
0,10
0,20
0,25
0,30
0,40
0,50
0,348 0,107 0,056 0,028 0,006 0,000
0,736 0,375 0,244 0,149 0,046 0,010
0,929 0,677 0,525 0,382 0,167 0,054
0,987 0,879 0,775 0,649 0,382 0,171
0,998Par
0,967
0,921 0,849 0,633 0,379
définition:
0,980
0,833≤x0,623)
X0,999
≤ xK)0,993
= P(X
≤xi0,952
) – P(X
(k-1)
0,999 0,999 0,996 0,989 0,945 0,828
P(2≤ X ≤4) = P(X≤4) – P(X ≤1)
1,000 0,999 0,999 0,998 0,987 0,945
1,000 0,999 0,999 0,998 0,989
P(X=5)
= 0,998 – 0,736 = 0,262
1,000 0,999 0,999 0,999
1,000 1,000 1,000
Pr. A. SOULAYMANI
Probabilité P ( X ≥ xk)
n=10
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
p
0,10
0,20
0,25
0,30
0,40
0,348 0,107 0,056 0,028 0,006
0,736 0,375 0,244 0,149 0,046
0,929 0,677 0,525 0,382 0,167
0,987 0,879 0,775 0,649 0,382
0,998Par
0,967
0,921 0,849 0,633
définition:
0,999 0,993 0,980 0,952 0,833
P(X
≥xi) = 1 -P(X ≤x(i-1))
0,999 0,999 0,996 0,989 0,945
P( X ≥4) = 1 -P(X≤3)
1,000 0,999 0,999 0,998 0,987
1,000 0,999 0,999 0,998
P(X=5)
= 1 – 0,987 = 0,013
1,000 0,999 0,999
1,000 1,000
0,50
0,000
0,010
0,054
0,171
0,379
0,623
0,828
0,945
0,989
0,999
1,000
Pr. A. SOULAYMANI