exercices et problèmes complémentaires chapitre 7

EXERCICES ET PROBLÈMES COMPLÉMENTAIRES
CHAPITRE 7
P7– 1. Pendule simple dans différents référentiels
y
H
O
z
g
A
θ
FIG.7.1.
Un pendule simple est formé d’un fil inextensible, de longueur
l, dont une extrémité porte une masselotte A, de masse m,et
l’autre Hest fixée au bâti lié à un référentiel R.Ce référentiel
est rapporté à une origine Oet à une base orthonormée directe
(ex,ey,ez),ezétant vertical ascendant (Fig. 7.1). Dans le plan ver-
tical du mouvement Oyz , la position de Aest caractérisée par le
paramètre angulaire u=(−ez,HA).On note g=−gez,avec
g=9,81 m .s−2,le champ de pesanteur terrestre.
1. Pendule simple dans un référentiel terrestre R=R1
a) Exprimer, en fonction de uet de ses dérivées, l’énergie cinétique de A.
b) Trouver , en fonction de u, l’expression de l’énergie potentielle de pesanteur Ep.On prendra
comme origine sa valeur à u=0.
c) En déduire l’équation différentielle du mouvement en u.
d) Discuter, à partir du graphe Ep(u),la nature du mouvement suivant les valeurs de l’énergie
mécanique Em.
e) Étudier le cas des petits mouvements. Quelle est leur période T1? Application numérique :
l=1m.
2. Le référentiel R=R2par rapport auquel on étudie le mouvement du pendule a un mouvement
de translation, rectiligne et uniforme par rapport à R1,suivant l’axe des y.
a) Établir l’équation différentielle du mouvement en uà partir du théorème du moment cinétique
appliqué en Hdans R2.
b) Comparer la période T2des petites oscillations du pendule dans R2àT1.Pouvez-vous justifier
sans calcul le résultat obtenu ?
3. Le référentiel R=R3par rapport auquel on étudie le mouvement du pendule à un mouvement
de translation d’accélération a3par rapport à R1.
a) Établir le bilan des forces qui s’exercent sur Adans R3.En déduire que , dans ce référentiel,
tout se passe comme si l’on pouvait remplacer le champ de pesanteur gpar un champ de pesanteur
apparent gaque l’on exprimera en fonction de get a3.
b) Que se passe-t-il pour a3=g? Ce cas présente un intérêt en astronautique. Savez-vous com-
ment on le réalise dans un avion ?
c) L’accélération a3est dirigée suivant l’axe horizontal Oy et sa norme est g/2:a3=(g/2)ey.
Montrer que l’énergie de potentielle apparente s’écrit, en adoptant comme origine sa valeur à
u=0:
Ea
p=C1−cos u+1
2sin u
Cétant une constante dont on donnera la dimension physique et que l’on déterminera en fonction
de m,get l.Trouver, à partir de la fonction Ea
p(u),la position d’équilibre stable uedu pendule.
Calculer ue.
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2Mécanique, 7eédition
En développant l’énergie potentielle Ea
pautour de la position d’équilibre u=ue,établir l’ex-
pression de la période T3des petites oscillations en fonction de l,get cos ue.Ce résultat peut être
obtenu très rapidement à partir de la norme du champ de pesanteur apparent. Comment ? Calculer T3.
CHAPITRE 9
P9– 1. Exemple simple de bifurcation en mécanique
Une masselotte A,de masse m,évolue sans frottement sur un guide circulaire G,vertical, de
centre Oet de rayon r.Le contact se maintient au cours du mouvement : concrètement, Apeut
être représenté par une perle enfilée sur G.Ce guide est astreint à tourner uniformément, à la vitesse
angulaire V=Vez(V>0),autour de son diamètre BH (Fig. 9.6a). Ce dernier est dirigé suivant
l’axe vertical descendant Ox d’un référentiel terrestre Rsupposé galiléen. On caractérise la position
de Asur Gpar le paramètre angulaire u=(OB,OA).
1. Trouver les positions d’équilibre de Adans R.Que peut-on dire de la stabilité de ces positions
d’équilibre ?
2. Tracer le graphe donnant la position d’équilibre stable ue=0 enfonctionde V.On précisera
les valeurs de la pente d ue/dVpour V=Vcet VVcavec Vc=(g/r)1/2.Le point B
correspondant à V=Vcest appelé point de bifurcation. Quelles sont les positions d’équilibre stable
pour V=Vc/√2 et pour V=Vc√2.
CHAPITRE 12
P12– 1. Attraction d’un corps par la Terre
Un corps ponctuel Ade masse m, initialement au repos à une distance r0du centre de la Terre, se
met en mouvement sous l’action de la gravitation. On assimile la Terre à une boule sphérique de masse
MTet de rayon RT.
1. a) En supposant le champ de gravitation uniforme et égal à sa valeur à la surface de la Terre,
calculer la durée que mettrait Apour atteindre la surface de la Terre dans le cas où r0=384 000 km .
b) Quelle serait la valeur de r0pour t=9 jours.
2. Le champ de gravitation n’est pas uniforme, mais varie avec rselon une loi newtonienne.
a) Établir la relation suivante entre tet r0,si r0RT:
t2
r3
0
=p2
8GMT
Commenter ce résultat, en le comparant à la troisième loi de Kepler. On donne pour x01:
∞
1
x
x0−x
1/2
dx=x0arctan u−2u
1+u2
∞
0
avec u=x
x0−x
1/2
b) Calculer la nouvelle valeur de r0pour t=9 jours.
c) Quelle serait la durée de chute de la Lune immobilisée et tombant sur la Terre, sachant que la
distance Terre-Lune est prise égale à 384 000 km ?
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Mécanique, 7eédition 3
3. Transposer le résultat précédent à l’atome de Bohr en calculant la durée que mettrait l’électron
de l’atome d’hydrogène pour atteindre le proton, si on pouvait l’immobiliser.
CHAPITRE 13
P13– 1. Satellite en interaction avec la Terre et la Lune
Un satellite S,de masse msest soumis aux seules interactions gravitationnelles de la Terre et de la
Lune (Fig. 13.1). On désigne par Cle centre de masse des centres Tet Lde la Terre et de la Lune. On
souhaite établir les équation différentielles auxquelles satisfait le mouvement de Sdans le plan Cxy du
référentiel R=Cxyz,non galiléen, tel que Cx soit orienté selon le vecteur TL,de longueur constante.
1. En supposant le système Terre-Lune isolé, trouver la nature du mouvement de Rpar rapport
au référentiel de Copernic R0.On appellera Vle vecteur vitesse angulaire caractérisant la rotation de
l’axe Cx par rapport à R0.
2. Appliquer la loi fondamentale de la dynamique au mouvement de Sdans R.
3. On introduit n=mL/(mL+mT)et la distance D=TL.Quelles sont les équations différen-
tielles auxquelles satisfont les coordonnées (x,y)de S?
L
T
S
C
θ
x
y
x0
y0
FIG. 13.1.
P13– 2. Exoplanètes ou planètes extrasolaires
La première planète extrasolaire a été découverte par l’astrophysicien suisse M. Major, en 1995, en
observant depuis l’Observatoire de Haute Provence (OHP) l’étoile Pégase 51, analogue au Soleil.
1. On considère le système isolé d’une planète A1et d’une étoile A2, de masses respectives m1et
m2. On désigne par Cle centre de masse de l’ensemble et par Ep(r)l’énergie potentielle de gravitation,
rétant la norme du vecteur A2A1.
a) Rappeler brièvement en quoi consiste la réduction à un seul point fictif Ade ce problème.
b) Écrire, en les justifiant, les deux premières lois de conservation dans le référentiel du centre
de masse R∗? En déduire l’équation différentielle du premier ordre à laquelle satisfait le mouvement
radial (en r).
c) Donner l’allure du graphe donnant l’énergie potentielle effective Ep,ef (r). Quelle est la nature
de la conique suivant la valeur de l’énergie mécanique ?
d) Quelle équation permet de relier la période Tdu mouvement de révolution de la planète à l’aire
de l’ellipse qu’elle décrit ?
c
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4Mécanique, 7eédition
e) Établir la relation suivante entre le carré de la période et le cube du demi-grand axe de l’ellipse :
T2
a3=4p2 G(m1+m2)
Pour cela, on utilisera l’expression pab de l’aire de l’ellipse décrite, ainsi que les deux expressions du
paramètre de la conique p=b2/aet p=L2/(m|K|),a,b,L,met Kétant des quantités dont on
précisera la signification.
f) Déterminer, à l’aide de la relation précédente, appliquée aux deux couples Soleil-Terre et Soleil-
Jupiter, la distance qui sépare les centres du Soleil et de Jupiter, en unité astronomique (UA).
2. La trajectoire de Aest circulaire.
a) Établir les expressions suivantes des rayons r∗
1et r∗ 2des trajectoires de A1et A2dans le
référentiel du centre de masse R∗, en fonction des masses et de la période de révolution :
r∗
1=aG(m1+m2)
4p2T21/3
et r∗
2=(1−a)G(m1+m2)
4p2T21/3
aétant un facteur que l’on exprimera en fonction du rapport des deux masses.
b) En déduire les expressions suivantes des vitesses v∗
1et v∗ 2de A1et A2sur leurs trajectoires :
v∗
1=av∗et v∗ 2=(1−a)v∗avec v∗=2pG(m1+m2)
T
1/3
c) Dans le cas où m1=m2/3 , représenter dans R∗, à un instant donné, les points A,A1,A2,
avec leurs vitesses respectives v∗,v∗
1et v∗ 2.
d) Calculer les rayons de ces trajectoires, ainsi que leurs vitesses, dans le couple Soleil-Jupiter.
3. Le flux lumineux issu d’une étoile rend difficile l’observation directe d’une éventuelle planète
qui graviterait autour d’elle. Aussi la période de révolution Test-elle déterminée à partir du déplace-
ment de cette étoile dans R∗. On suppose que l’orbite de l’exo-planète, de masse mp, autour de son
étoile, de masse ms,avec mpms, est circulaire.
a) Donner une expression approchée du rayon r∗
pde l’orbite de la planète dans R∗,enfonction
de mset T. Application pour ms=1,1MSet T=3,52 jours.
b) Établir la relation entre r∗
p, le rayon r∗ sde l’orbite de l’étoile dans R∗et les masses. En
déduire mpsachant que le suivi, au cours du temps, de la position de l’étoile dans le ciel, a donné la
valeur absolue suivante de r∗
s:3,8×106m.
On consultera le tableau des constantes du système solaire.
P13– 3. Impact d’un astéroïde sur une planète du système solaire
Un astéroïde assimilé à un corpuscule A, de masse m, s’approche d’une planète, de centre P,
de masse M, avec une vitesse vipar rapport au référentiel R, d’origine Pet dont les axes sont
parallèles à ceux du référentiel de Copernic. Sur la figure 13.2, viest la vitesse de Alorsque ce dernier
est infiniment éloigné de P. L’influence du Soleil et des autres planètes est négligeable. En outre, le
rapport des masses m/Mest très inférieur à l’unité, de telle sorte que ce problème à deux corps peut se
ramener à celui de Adans R.
1. a) Pourquoi le mouvement de Adans le voisinage de la planète est-il plan ?
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Mécanique, 7eédition 5
B
Planète
OP
x
b
w
FIG. 13.2.
b) Exprimer, en la justifiant, la loi de conservation du moment cinétique en fonction de m,viet
du paramètre d’impact bi, distance de Pà la direction de vi.
2. a) Quelle est, en fonction de la distance r=PA , l’expression de l’énergie potentielle de gravi-
tation entre Aet P? On prendra comme origine la position initiale de Ainfiniment éloigné de P.
b) Exprimer, en la justifiant, la loi de conservation de l’énergie mécanique. En déduire une relation
entre la vitesse vde A, sa vitesse initiale viet r.
3. a) L’énergie de l’astéroïde étant suffisante, sa trajectoire est une hyperbole. Commenter qualita-
tivement ce résultat.
b) On rappelle que, dans le problème à deux corps, l’équation polaire de la trajectroire conique de
la particule fictive s’écrit :
r=p
1+ecos(w−w0)avec p=L2 m|K|et e=1+2EL2 mK2
1/2
Donner la signification et le nom des différents termes utilisés. Quelle est la valeur de w0? Sachant que
m/M1 , exprimer pet een fonction de vi,biet M.
c) Dans le système d’axes cartésiens OXY de la figure, l’équation de l’hyperbole précédente s’écrit
X2/a2−Y2/b2=1 . La distance séparant les foyers symétriques des deux branches d’hyperbole vaut
alors 2cavec c2=a2+b2. On donne les relations suivantes :
a=p
e2−1et c=ea =pe e2−1
En déduire ben fonction de pet e.
4. a) Exprimer la distance minimale rmin (péricentre) entre Pet A,enfonctionde pet de e.
b) Écrire l’équation polaire de la trajectoire, ainsi que les expressions de a,bet c,enfonction
de rmin et e.
c) En utilisant les propriétés du triangle rectangle PBO , montrer que bis’identifie à b.
5. a) On introduit F=pb2
i/(pR2), appelé facteur de section efficace de la planète, Rétant le
rayon de sa surface sphérique. Proposer une justification intuitive de l’intérêt d’un tel facteur.
b) Exprimer la conservation de l’énergie entre la position de Ainfiniment éloignée de Pet celle
au péricentre, dans le cas où l’astéroïde Afrôle la surface de la planète. En déduire, en utilisant la
conservation du moment cinétique, la relation suivante :
F=1+v2
l
v2
i
dans laquelle vlest une quantité caractéristique de la planète que l’on exprimera en fonction de M
et R.
c
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