Exo7 - Cours de mathématiques - Institut de Mathématiques de

Calcul de Primitives
Pré-requis :
– savoir reconnaître des formes (somme,
produit, composée)
– connaître sans hésitation les formules
sur les dérivées (y compris celles intro-
duites au chapitre précédent)
– savoir calculer sans hésitation des pri-
mitives simples
– savoir décomposer en éléments simples
une fraction rationnelle
Objectifs :
– renforcer les techniques de calculs vues en termi-
nale
– savoir calculer de nouvelles primitives en utilisant
les dérivées introduites au chapitre précédent
– savoir calculer une primitive à l’aide d’une intégra-
tion par parties
– savoir calculer une primitive à l’aide d’un change-
ment de variable
– savoir utiliser une décomposition en éléments
simples pour calculer une primitive
Rappelons le résultat central du calcul intégral :
Théorème 1
Pour toute fonction continue f : I7→R , où I est un intervalle ouvert, il existe une fonction dérivable F : I7→R
telle que F0=f. Une telle fonction Fs’appelle une primitive de f.
Deux primitives F1 et F2 de la même fonction f diffèrent d’une constante additive : la fonction F1−F2 est
constante, et donc une primitive n’est définie qu’à une constante additive près. Une telle fonction F sera notée
Zf dx, pour des raisons qui viennent du calcul intégral.
Si F est une primitive de f , et C une constante, alors F+C en est une autre et, pour tout couple a<b de points de
l’intervalle de définition I, la valeur F(b)−F(a) ne dépend pas du choix de la constante. On la note Zb
a
f(t)dt.
Si a>b , on pose souvent
Rb
af
( t ) dt =−Ra
bf
( t ) dt , de telle façon qu’on ait toujours la formule
Rb
af
( t ) dt =F ( b ) −F ( a ),
et on a la relation de Chasles : pour tous (a,b,c)
Zb
a
f(t)+Zc
b
f(t)dt =Zc
a
f(t)dt.
Cette quantité Rb
af(t)dt est appelée l’intégrale de fentre aet b.
Le but du calcul intégral, que nous ne développerons pas ici, est d’identifier cette quantité
Rb
af
( t ) dt (si f est
positive) comme l’aire de la portion du plan délimitée par l’axe des abscisses, le graphe de la courbe, et les droites
verticales d’équation {x=a}et {x=b}.
Nous avons vu dans le chapitre précédent un certain catalogue de fonctions usuelles, à partir desquelles on peut
fabriquer de nouvelles fonctions en les ajoutant, les multipliant, et en les composant les unes avec les autres.
Pour toutes ces nouvelles fonctions ainsi construites, il est aisé de calculer les dérivées en utilisant les règles
simples suivantes :
(f+g)0=f0+g0(f g)0=f0g+f g0(f(g))0=g0×f0(g)
Il n’en va pas de même pour calculer les primitives. Il arrive souvent qu’avec des fonctions élémentaires, on
fabrique des fonctions dont la (ou les ) primitives ne s’expriment pas à l’aide de fonctions usuelles. Il en va ainsi
de la fonction f : x7→ e−x2 , pour laquelle il n’existe pas d’expression de F=Rf à l’aide de fonctions usuelles. C’est
d’autant plus dommageable que cette fonction F joue un rôle central dans de nombreux champs des mathématiques
et de ses applications.
1

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Pour calculer des primitives, nous sommes donc ramenés à un catalogue de méthodes, qui permettent souvent de
donner (ou de simplifier) l’expression des primitives.
Tout d’abord, nous avons les règles simples :
Z(f+g)(x)dx =Zf(x)dx +Zg(x)dx +C
Za f (x)dx =aZf dx +C,si aest une constante.
Ensuite, c’est un premier exemple élémentaire de changement de variables , pour toute constante a si F ( x ) =
Zf(x)dx, alors
Zf(x+a)dx =F(x+a)+CZf(ax)dx =1
aF(ax)+C
Exercice 1
Vérifiez que ces deux formules sont vraies.
1. Techniques générales
Autant il n’existe pas de méthode systématique, il existe un certain nombre de techniques générales qui permettent
de ramener des calculs de primitives compliquées à des primitives plus simples.
1.1. Intégration par parties
Elle repose sur la formule (f g)0=f0g+g f 0.
Ainsi Zf0gdt =f g −Zf g0dt +C
Exercice 2
En utilisant la formule d’intégration par parties ci-dessus, calculez :
–une primitive de xex
–une primitive de ln x(on utilisera le fait que ln(x)=1×ln(x))
–une primitive de xsin x
–une primitive de xnln x
–une primitive de ln(x2+1)
Exercice 3. Intégrale de Wallis
Le but de cet exercice est de calculez l’intégrale :
Zπ
2
0
cosnxdx avec n∈N
a) Trouvez une relation entre In+2et In.
b) Calculez I0et I1.
c) Déduisez-en In
1.2. Changement de variables
Cela repose sur la formule (f◦u)0=u0×f0◦us’écrivant aussi (F◦u)0=u0×f◦u.
Ainsi,
si Zf(x)dx =Falors Zu0(x)×f(u(x))dx =F◦u
Le plus dur est alors de reconnaître uet f. Voici deux exemples d’utilisation de ces implications :

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Exemple 1. u est une fonction de x: u(x)
On veut calculer une primitive de 1
xln x. On propose le changement de variable u(x)=ln(x).
]0;+∞[R
u=ln
x=exp
u
ln x
x
exp u
Regardons ce qui apparaît alors : du =1
xdx ainsi
Z1
xln xdx =Z1 udu =ln u=ln(ln x)
Exemple 2. xest une fonction de u:x(u)
On veut calculer une primitive de arcsin x . On va cette fois-ci utiliser la formule précédente différemment en
posant x(u)=sin u. Les choses s’écrivent alors ainsi :
[−1;1]h−π
2;+π 2i
u=arcsin
x=sin
u
arcsin x
x
sin u
dx =cos udu et on a :
Zarcsin xdx =Zarcsin(sin(u))cos u du =Zucos udu =
en intégrant par parties cos u+usin u
et comme u(x)=arcsin xon obtient :
Zf(x)dx =cos(arcsin x)+xarcsin x=xarcsin x+p1−x2
Question : sur quel intervalle a-t-on déterminé une primitive de arcsin x?
Remarque 1
Tout ceci n’a de sens que lorsque u est une fonction dérivable bijective . Il faut donc faire attention à
l’intervalle sur lequel les calculs sont menés. Vous reviendrez plus en détail sur ce théorème lors d’un
prochain cours de calcul intégral.

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Exercice 4
En utilisant la formule de changement de variable ci-dessus, calculer :
–une primitive de pxcos¡px¢
–une primitive de cos2(x)sin(x)
En utilisant la notation u0(t)=du
dt , on a du =u0(t)dt et ceci se ramène à
Zf(u)u0(t)dt =Zf(u)du
Dans la pratique, il arrive que le changement de variable ne soit pas évident, ou que ce soit l’expression f ( u ) u0 ( t )
qui soit plus simple à intégrer que f ( t ) elle même. Par exemple, si on doit calculer
Rf
( t ) dt , on pose t=h ( s ) et
dt =h0 ( s ) ds . Alors, on se ramène à
Rf
( h ( s )) h0 ( s ) ds . Il faut ensuite faire le changement de variable inverse à la fin.
Ainsi, en posant pour x∈[−1,1] x=sin tavec cos t>0,
Zp1−x2dx =Zp1−sin2tcos tdt =Zcos2tdt =t
2+sin2t 4,
puis on obtient
Zp1−x2dx =arcsin x
2+1 4sin(2arcsin x)+C=arcsin x 2+xp1−x2 2+C.
Exercice 5
Calculez une primitive des fonctions suivantes. On précisera également un ensemble de définition où les
calculs ont un sens.
1. x7→ epx.
2. t7→ t2exp(t3)
2. Primitives de fonctions usuelles
La première source de calcul est d’avoir un catalogue de primitives de fonctions connues (voir tableau 1, que
l’étudiant pourra compléter à son goût).
A partir de ces primitives classiques, on peut en calculer de nouvelles en décomposant les fonctions à intégrer en
sommes d’éléments plus simples.
Ainsi, pour tout polynômes P(x)=a0+a1x+···anxn,
ZP(x)dx =C+a0x+a1
2x2+··· an n+1xn+1.
Exercice 6
Calculez : Zx7dx
Z(x+px)dx
Zµ1
x2+2
xpx+3¶dx
On aura donc intérêt à décomposer la fonctions à intégrer en briques élémentaires donc on pourra intégrer chaque
élément.

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TA B L E 1 – Primitives classiques à connaître par coeur
Fonction fUne primitive FRemarques
xaxa+1
aa6=−1 - L’ensemble de définition de Fdépend de a.
x−1=1
xln(x)x∈R+∗
sin(x)−cos(x)x∈R
cos(x)sin(x)x∈R
exexx∈R
ln x xln(x)−x x ∈R
1
1+x2arctan x x ∈R
1
p1−x2arcsin x x ∈]−1;1[
1
px2−1Argch x x ∈]1;+∞[
1
px2+1Argsh x x ∈R
2.1. Intégration des fractions rationnelles
Nous avons vu que les fractions rationnelles se décomposent (sur R ) en éléments simples. Pour intégrer une
fraction rationnelle, il suffit donc de savoir intégrer :
•les polynômes
•les fonctions 1
(x−a)p(avec pÊ1)
•αx+β
(ax2+bx +c)p(avec pÊ1) qui se ramène au calcul des primitives de la forme :
–Z2ax +b
(ax2+bx +c)pdx
–Z1
(1 +x2)pdx
Traitons avec plus de détails les cas énoncés ci-dessus :
Pour p=1
Zdx
x−a=ln(x−a)+C,
et pour pÊ2,
Zdx
(x−a)p=1 p−1
1
(x−a)p−1.
Le cas des termes de la forme
αx+β
(ax2+bx +c)p
est un peu plus délicat. On se restreint bien sûr au cas où le
dénominateur n’a pas de racines réelles. On peut également considérer sans perte de généralité que a>0.