4 Diagonalisation et changement de base

Yves Lafont. Calcul matriciel. Mars 2005. 13
4 Diagonalisation et changement de base
4.1 Valeurs propres et vecteurs propres
Définition : On dit que le scalaire λest une valeur propre de l’application linéaire f:Rp→Rps’il existe un
vecteur u6= 0 tel que f(u) = λu. Un tel us’appelle un vecteur propre de fassocié à la valeur propre λ.
Exercice 99 : Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de f:R2→R2dans les cas suivants : symétrie
centrale,homothétie de rapport ρ,symétrie orthogonale,projection orthogonale,affinité orthogonale de rapport ρ,
rotation d’angle θ.
Remarque : Le scalaire 0 est une valeur propre de fsi et seulement si le noyau ker f={u∈Rp|f(u) = 0}
contient des vecteurs non nuls, c’est-à-dire si fn’est pas injective, autrement dit, si det f= 0.
Exercice 100 : Montrer que le scalaire λest une valeur propre de fsi et seulement si on a det(f−λid) = 0.
Les valeurs propres de fsont donc les racines du polynôme Γdéfini par Γ(λ) = det(f−λid). C’est un polynôme
de degré p(et de coefficient directeur 1), appelé polynôme caractéristique de f.
Les valeurs propres, les vecteurs propres et le polynôme caractéristique d’une matrice carrée Asont celles et ceux
de l’application linéaire fde matrice A. En particulier, le polynôme caractéristique de Aest Γ(λ) = det(A−λI).
Remarque : Dans le cas où p= 2, on doit résoudre une équation du second degré. Selon le cas, il y a deux valeurs
propres réelles, ou une seule valeur propre réelle, ou aucune valeur propre réelle. Pour trouver les vecteurs propres
associés, on résout un système linéaire.
Exercice 101 : Quelles sont les valeurs propres réelles des matrices suivantes?
1 0
0 2,0 1
1 0,0 1
−1 0, 1
2
1
2
1
2
1
2!.
Dans chaque cas, on donnera les vecteurs propres et une interprétation géométrique.
Remarque : Si la matrice Aest diagonale, c’est-à-dire de la forme a0
0b, alors ses valeurs propres sont aet b.
Exercice 102 : Soit A=a b
c d. On note λet µles racines du polynôme caractéristique de A.
1. Exprimer la somme λ+µet le produit λµ en fonction des coefficients a, b, c, d.
2. Montrer que si det A < 0, alors Aa deux valeurs propres réelles de signes opposés.
3. Montrer que si bet cont le même signe, alors Aa deux valeurs propres réelles distinctes.
4.2 Diagonalisation en dimension 2
Définition : Une base de R2est la donnée de 2 vecteurs u, v non colinéaires. Autrement dit, det(u, v)6= 0.
Exercice 103 : Montrer que, dans ce cas, pour tout w∈R2, il existe un unique (x, y)∈R2tel que w=xu +yv.
[Un système linéaire à 2 équations et 2 inconnues dont le déterminant est non nul a une solution unique.]
Remarque : Si u, v est une base de R2, alors toute application linéaire f:R2→R2est de la forme suivante :
f(xu +yv) = (ax +by)u+ (cx +dy)v, où a, b, c, d sont donnés par au +cv =f(u)et bu +dv =f(v).
Définition : Dans ce cas, on dit que a b
c dest la matrice de fdans la base u, v.
Définition : Soit f:R2→R2l’application linéaire de matrice Adans la base canonique. On dit que f(ou A) est
diagonalisable s’il existe une base de vecteurs propres de f, autrement dit, s’il existe une base telle que la matrice
de fdans cette base est diagonale. En particulier, un matrice diagonale est diagonalisable.
Exercice 104 : Montrer que si f:R2→R2a deux valeurs propres réelles distinctes, alors elle est diagonalisable.
[Choisir un vecteur propre pour chaque valeur propre, puis montrer que ces deux vecteurs forment une base.]
Exercice 105 : Réciproquement, montrer que si une matrice carrée d’ordre 2 est diagonalisable et non diagonale,
alors elle a deux valeurs propres réelles distinctes.
Exercice 106 : Parmi les matrices suivantes, lesquelles sont diagonalisables?
1 0
0 2,2 0
0 2,1 2
0 1,1 1
0 2,1 1
−1 1,2 1
−1 0.
Le cas échéant, on donnera une base de vecteurs propres.

14 Faculté des Sciences de Luminy - Licence MASHS-MI-SPC - Année 1 - Semestre 2.
4.3 Changement de base
Définition : À une base u, v de R2, on associe la matrice de passage dont les colonnes sont les matrices respectives
de uet vdans la base canonique.
Exemple : Si u=~ı +~ et v=~ −~ı, alors P=1−1
1 1 .
Par définition, la matrice Pest toujours inversible. De plus, elle permet de passer d’une base à l’autre :
1. si Xest la matrice colonne de wdans la base u, v, alors la matrice de wdans la base canonique est P X ;
2. si Xest la matrice colonne de wdans la base canonique, alors la matrice de wdans la base u, v est P−1X.
Elle permet aussi de calculer la matrice d’une application linéaire fdans la base u, v à partir de sa matrice Adans
la base canonique. Pour cela, on considère la matrice colonne Xd’un vecteur wdans la base u, v :
1. la matrice de wdans la base canonique est P X ;
2. celle de f(w)dans la base canonique est donc AP X ;
3. celle de f(w)dans la base u, v est donc P−1 AP X ;
On en déduit que la matrice de fdans la base u, v est P−1 AP .
Exercice 107 : Soient fet gles applications linéaires dont les matrices respectives dans la base canonique sont :
0 1
1 0,1 0
0−1.
Calculer les matrices respectives de fet gdans la base u, v, où u=~ı +~ et v=~ −~ı.
Exercice 108 : Si Best la matrice de fdans la base u, v, quelle est la matrice de fdans la base canonique?
Exercice 109 : Si B=P−1 AP et n∈Z, exprimer Bnen fonction de Anet Anen fonction de Bn.
Exercice110 :Montrer que si B=P−1 AP , alors les matrices Aet Bont le même déterminant, le même polynôme
caractéristique, et les mêmes valeurs propres. [Calculer P−1(A−λI)P.]
4.4 Diagonalisation et changement de base en dimension 3
Définition : Une base de R3est la donnée de 3 vecteurs u, v, w non coplanaires. Autrement dit, det(u, v, w)6= 0.
On a de même la décomposition unique de tout vecteur de R3dans la base u, v, w. On a aussi la notion de matrice
d’une application linéaire dans la base u, v, w, ainsi que les notions de matrices diagonales et diagonalisables.
Remarque : Dans ce cas, le polynôme caractéristique Γest de degré 3 (et de coefficient directeur −1). Or un tel
polynôme a au moins une racine réelle. Donc toute matrice carrée d’ordre 3 a au moins une valeur propre réelle.
Exercice 111 : Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de f:R3→R3dans les cas suivants : symétrie
centrale,homothétie de rapport ρ,symétrie orthogonale plane ou axiale,projection orthogonale plane ou axiale,
affinité orthogonale plane de rapport ρ,rotation d’angle θ.
Exercice 112 : Soit Aune matrice carrée d’ordre 3. Montrer que si det A > 0(respectivement det A < 0), alors A
a au moins une valeur propre positive (respectivement négative). [Calculer les limites de Γ(λ)en +∞et en −∞.]
Exercice 113 : Montrer qu’une matrice carrée d’ordre 3 est diagonalisable si et seulement si l’une des conditions
suivantes est satisfaite : elle a trois valeurs propres réelles distinctes; ou elle a deux valeurs propres réelles distinctes
et il existe deux vecteurs propres non colinéaires associés à l’une d’elle; ou elle est de la forme λI.
Exercice 114 : Soit fl’application linéaire dont la matrice dans la base canonique est A=
0 0 1
1 0 0
0 1 0
.
1. Montrer que 1 est une valeur propre de cette matrice, et donner un vecteur propre uassocié.
2. Donner un vecteur vnon nul et orthogonal à u, puis calculer w=u∧v.
3. Donner la matrice de passage Passociée à la base u, v, w et calculer P−1.
4. Montrer que la base formée des vecteurs u′=1
kuku,v′=1 kvkv, et w′=1 kwkwest orthonormée directe :
u′⊥v′, u′⊥w′, v′⊥w′,det(u′, v′, w′) = 1.
5. Montrer que la matrice de passage associée à cette base est de la forme P Q où la matrice Qest diagonale.
6. Calculer la matrice de fdans la base u′, v′, w′. [Calculer (P Q)−1à partir de P−1et Q−1.]
7. En déduire l’interprétation géométrique de f.