Exercice 1 Nombres transcendants 1. Prouver que l`ensemble Q[ X

ENS de Lyon TD 2 18-20/09/2012
Topologie et Calcul Différentiel
Exercice 1 Nombres transcendants
1. Prouver que l’ensemble Q[X]est dénombrable.
2. Prouver que l’ensemble Ades nombres complexes algébriques, c’est-à-dire qui sont
racine d’un polynôme de Q[X]non nul, est dénombrable.
3. En déduire l’existence de nombres transcendants (c’est-à-dire non algébriques)
Exercice 2 Soient (E, d)et (F, δ)des espaces métriques, ainsi que f:E→Fune
application continue.
1. Soit A⊂E. Si Aest ouvert, f(A)est-il ouvert ? Si Aest fermé, f(A)est-il fermé ?
2. Soit B⊂F. Montrer que f−1(B)⊂f−1(B). Que dire de l’inclusion réciproque ?
3. Soit B⊂F. Montrer que f−1(˚ B)⊂˚
\
f−1(B). Que dire de l’inclusion réciproque ?
Exercice 3
1. Soient f:X→Yet g:Y→Zdeux applications continues, où X, Y et Zsont des
espaces métriques. Montrer que g◦fest continue.
2. Soit (E, d)un espace métrique. Soient x∈Eet r > 0. Montrer que la boule fermée
B(x, r) = {y/d(x, y)≤r}est fermée.
3. Montrer que l’intersection de deux boules ouvertes est un ouvert.
4. Montrer que tout ouvert de Eest une union de boules ouvertes.
5. Montrer que dans un espace vectoriel normé, l’adhérence de la boule ouverte de
centre aet de rayon r > 0est la boule fermée de centre aet de rayon r. Qu’en est-il
dans le cas d’un espace métrique ?
6. Soient Eet Fdeux espaces métriques. Donner une métrique naturelle sur E×F.
Vérifier que si Uest un ouvert de Eet Vun ouvert de F, alors U×Vest un ouvert
de E×F.
Exercice 4
1. Montrer que toute suite réelle croissante majorée converge.
2. Soit (un)n∈Nune suite réelle strictement croissante et E={un/n ∈N}. Montrer
que Eest fermé dans Rsi et seulement si un→+∞.
Exercice 5 Topologie produit
On munit C= [0,1]Nde d((xn)n∈N,(yn)n∈N) = Pn∈N2−n|xn−yn|.
1. Montrer que dest une distance sur C.
1

2. On fixe n0∈N. Montrer que l’application pn0: (C, d)→(R,|.|)définie par
pn0((xn)n∈N) = xn0est continue.
3. Soit (E, d)un espace métrique et f:E→C. Montrer que fest continue si et
seulement si pn◦fest continue pour tout n∈N.
4. On note Ω = {(xn)n∈N/∀n∈Nxn∈ {0,1}}. Montrer que Ωest fermé dans C.
Exercice 6 Soit (E, d)un espace métrique, et Fune partie non vide de E. Pour x∈E,
on pose dF(x) = infy∈Fd(x, y).
1. Montrer que dF(x)=0si et seulement si x∈F.
2. Montrer que dFest une fonction continue de Edans R.
3. Montrer que tout fermé de Eest l’ensemble des zéros d’un fonction continue f:
E→R.
4. Lemme d’Urysohn : soient Aet Bdeux fermés disjoints de E. Montrer qu’il existe
une fonction continue f:E→[0,1] telle que A=f−1({0})et B=f−1({1}).
5. Soit A⊂Eun fermé. Montrer qu’il existe une fonction continue f:E→Rvérifiant
pour tout x∈E:
–x∈A⇐⇒ f(x)≥0
–x∈∂A ⇐⇒ f(x)=0.
Exercice 7 On définit f:R→Rpar f(x)=0si x∈R\Qet f(x) = 1
|q|si x=p qavec
p∧q= 1. Montrer que fest continue en tout point de R\Qet discontinue en tout point
de Q.
Exercice 8
1. Soit E⊂Run ensemble discret. Montrer que Eest au plus dénombrable.
2. Soit E={1
n/n ∈N∗}∪{0}. Montrer que En’est pas discret. L’ensemble Qest-il
discret ?
3. Soit E⊂Run ensemble dénombrable. Montrer que R\Eest dense dans R.
Exercice 9 Soit (E, d)un espace métrique, et Aune partie de E.
1. Montrer que si A est ouvert, alors ˚ A=A.
2. Montrer que si Aest fermé, alors ˚
˚
A=˚ A.
3. Donner un exemple de partie Ade Rtelle que les ensembles A, A, ˚ A, ˚ A, ˚ A, ˚ Aet ˚
˚
A
soient tous distincts.
Exercice 10 Soit (E, d)un espace métrique séparable.
1. Montrer que tout ouvert de Eest réunion au plus dénombrable de boules ouvertes.
2. Soit F⊂Enon vide. Montrer que (F, d)est séparable.
2

3. Soit (Ui)i∈Iune famille d’ouverts disjoints et non vides de E. Montrer que Iest au
plus dénombrable.
4. Montrer que le cardinal de Eest au plus celui de R.
Exercice 11 Montrer que les espaces métriques suivants sont séparables :
1. L’espace c0des suites à valeurs réelles tendant vers 0à l’infini, muni de la norme
kuk= supn∈N|un|.
2. L’espace des fonctions continues de [0,1] dans R, muni de la norme sup.
Montrer que les espaces métriques suivants ne sont pas séparables :
1. L’espace des fonctions bornées de [0,1] dans R, muni de la norme sup.
2. L’espace `∞des suites à valeurs réelles bornées, muni de la norme kuk= supn∈N|un|.
Exercice 12 La distance SNCF
On considère l’application d:R2×R2→R+définie par d(X, Y ) = kX−Yk2si Xet
Ysont linéairement dépendants, kXk2+kYk2sinon.
1. Montrer que dest une distance sur R2. Dérive-t-elle d’une norme ?
2. Soit x= (1,0). Déterminer les boules Bd(x, 1), Bd(x, 2).
3. Montrer que l’application identité de (R2, d)dans (R2,k.k2)est continue.
4. Trouver les points où l’application identité de (R2,k.k2)dans (R2, d)est continue.
5. Montrer que les translation non triviales de (R2, d)dans lui-même ne sont pas conti-
nues.
6. Montrer que (R2, d)n’est pas séparable.
Exercice 13 Soient (E, d)et (F, d0)deux espaces métriques connexes.
1. Montrer que E×Fest connexe.
2. Soient A⊂Eet B⊂Ftels que A6=Eet B6=F. Montrer que (E×F)\(A×B)
est connexe.
Exercice 14
1. Montrer que le complémentaire d’un ensemble fini de points du plan complexe est
connexe. Et pour un ensemble dénombrable de points ?
2. Montrer que le groupe GLn(C)est connexe. (si Aet Bsont deux matrices de GLn(C),
considérer le polynôme P(z) = det(zA + (1 −z)B)).
3. Montrer que GLn(R)n’est pas connexe. Décrire ses composantes connexes.
Exercice 15 Montrer qu’il n’existe pas d’homéomorphisme h:R→Rnpour n≥2.
3

Exercice 16
1. Montrer qu’une fonction continue f:R→Rtelle que f(Q)⊂Qinduit une fonction
continue de Qdans Q. Donner un exemple de fonction continue de Qdans Qqui
n’est pas la restriction d’une fonction continue de Rdans R.
2. Les fonctions continues de Qdans Qvérifient-elles le Théorème des Valeurs Inter-
médiaires ?
3. Soit f:R→Rcontinue. Si fest injective sur Q, est-elle nécessairement injective
sur R? Et si elle est injective sur R\Q?
Exercice 17 Topologie p-adique
On dit qu’une distance dest ultramétrique si elle vérifie d(x, z)≤max(d(x, y), d(y, z)).
1. Soit pun nombre premier. On définit la norme p-adique d’un élément de Qpar
pva
b
p
=p−vsi p-ab. Montrer que la distance sur Qdéfinie par d(x, y) = |x−y|p
est ultramétrique.
2. Calculer limN→∞ PN
n=0 2npour la topologie 2-adique sur Q.
Exercice 18
1. Soit fune fonction croissante sur R. Montrer que l’ensemble des points de discon-
tinuité de fest au plus dénombrable.
2. Soit f:R→Rmonotone. On suppose f(R)dense dans R. Montrer que fest
continue.
3. Soient Aet Bdeux parties dénombrables denses dans R.
(a) Construire, à l’aide d’une récurrence, une bijection strictement croissante ϕde
Adans B.
(b) En utilisant l’ordre, montrer que ϕse prolonge en une application ϕstrictement
croissante de Rdans R.
(c) Montrer que ϕest un homéomorphisme.
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