Topologie (1) - denischoimet.com

MP*1
2016/2017
Topologie (1)
Espaces métriques et normés
Exercice 1. Soit A et B deux parties d’intérieur vide d’un espace métrique. On pose C = A ∪ B.
1. Montrer que si A est fermée, C est d’intérieur vide.
2. Le résultat subsiste-t-il si A n’est pas fermée ?
Exercice 2. Soit (E, d) un espace métrique. On pose δ =
d
1+d .
1. Montrer que δ est une distance sur E.
2. Comparer les topologies des espaces métriques (E, d) et (E, δ).
Exercice 3. Une partie de R est dite résiduelle si elle contient une intersection dénombrable d’ouverts
denses.
1. Montrer que R \ Q est une partie résiduelle de R.
2. Montrer qu’une partie résiduelle de R est dense dans R (théorème de Baire).
3. Montrer que si X est une partie résiduelle de R, alors X + X = R.
4. Soit f : R → R une fonction quelconque. On pose
ωf (x) = lim sup f (]x − δ, x + δ[) − inf f (]x − δ, x + δ[) ∈ R+ pour x ∈ R
δ→0
Montrer que, pour tout ε > 0, {x ∈ R/ωf (x) < ε} est un ouvert de R.
5. Existe-t-il une fonction f : R → R continue en exactement les rationnels ?
Exercice 4. Soit (E, d) un espace métrique. On définit
◦
π : P(E) → P(E), A 7→ A et ω : P(E) → P(E), A 7→ A.
1. Étudier π ◦ π et ω ◦ ω.
2. Montrer que l’ensemble des composées de π et ω a au plus 7 éléments.
3. Montrer que dans le cas de l’espace métrique (R, | · |) il y en exactement 7.
Exercice 5 (Produits dénombrables
d’espaces métriques). On considère une suite (En , dn )n∈N d’esQ
paces métriques. On pose E = n≥0 En et
d(u, v) =
∞
X
n=0
2−n
dn (un , vn )
pour u = (un )n≥0 ∈ E et v = (vn )n≥0 ∈ E.
1 + dn (un , vn )
Pour chaque n ≥ 0, on définit l’application coordonnée
pn : E → En , (uk )k≥0 7→ un .
1. Vérifier que d est une distance sur E.
2. Soit (vp )p≥0 une suite de points de E. Montrer que (vp )p≥0 converge dans E si et seulement si,
pour tout n ≥ 0, la suite (pn (vp ))p≥0 (de points de En ) est convergente.
3. On fixe a = (an )n≥0 ∈ E. Pour tout naturel p et tout ε > 0, on pose
Va (p, ε) = {u ∈ E/dn (un , an ) ≤ ε pour n ≤ p}.
Montrer que les voisinages de a dans E sont exactement les parties de E contenant un Va (p, ε).
1
Exercice 6. Soit (E, d) un espace métrique, a ∈ E et r > 0.
1. Est-il vrai que B(a, r) = B(a, r) ?
2. Et si E est un espace normé ?
P
Exercice 7. Pour P = n≥0 an X n ∈ E = R[X], on pose
Z
kP k1 =
1
Z
1
|P (t)|dt, kP k2 =
0
1/2
P (t)dt
, kP k∞ = sup |P (t)|,
2
0
t∈[0,1]
N∞ (P ) = sup |an | et N1 (P ) =
n≥0
X
|an |.
n≥0
1. Vérifier qu’on définit ainsi des normes sur E.
2. Sont-elles équivalentes ? On pourra utiliser les polynômes Pn = (1 − X)2n , n ∈ N.
Exercice 8. Soit (an )n≥1 une suite d’éléments de [0, 1]. On pose E = C([0, 1], R) et
kf k =
∞
X
|f (an )|
n=1
2n
pour f ∈ E.
1. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que k · k soit une norme sur E.
2. Dans ce cas, k · k est-elle équivalente à k · k∞ ?
Exercice 9 (Un théorème de Grothendieck). Soit F un sous-espace vectoriel de E = C([0, 1], R), et
2 ≤ p < ∞. Pour f ∈ E, on définit 1
Z
1
p
1/p
|f (x)| dx
kf kp =
et kf k∞ = sup |f (x)|.
0
x∈[0,1]
On suppose qu’il existe une constante C > 0 telle que
kf k∞ ≤ Ckf kp pour f ∈ F .
1. Montrer que
1− p2
2
kf kp ≤ kf k2p kf k∞
2. Montrer que
pour f ∈ E.
p
kf k∞ ≤ C 2 kf k2 pour tout f ∈ F .
3. Montrer que dim F ≤ C p . On pourra pour cela, à la manière de Grothendieck, commencer par
fixer y ∈ [0, 1] et par tester l’inégalité de la question 2. sur un « produit tensoriel »
fy (x) =
n
X
uk (x)uk (y),
k=1
où (uk )1≤k≤n est un système orthonormal de F . On fera ensuite varier y...
Exercice 10. Soit E un espace vectoriel réel muni d’une norme k · k vérifiant l’identité du parallélogramme :
kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk2 + kyk2 ) pour x, y ∈ E.
On considère la fonction
1
ϕ : E 2 → R, (x, y) 7→ (kx + yk2 − kx − yk2 ).
4
1. Montrer que
ϕ(x, 2y) = 2ϕ(x, y) pour (x, y) ∈ E 2 .
1. et on admet qu’on définit ainsi des normes sur E.
2
2. Montrer que, pour tout y ∈ E, la fonction x 7→ ϕ(x, y) est additive.
3. Montrer finalement que k · k est euclidienne.
Exercice 11. Soit A une partie non vide de R telle que, pour tout x ∈ R, il existe un unique a ∈ A
tel que d(x, A) = |x − a|. Que dire ?
Exercice 12. L’espace Rn est muni de sa structure euclidienne canonique. On note (e1 , . . . , en ) sa
base canonique, et on pose
n
[
X=
B(ei , 1) ∪ B(−ei , 1) .
i=1
Montrer que 0 est un point intérieur à X.
Exercice 13. Soit F un fermé de R.
1. Montrer qu’il existe une partie D de F , au plus dénombrable et dense dans F .
2. Montrer qu’il existe une suite réelle (un )n≥0 dont l’ensemble des valeurs d’adhérence soit exactement F .
Exercice 14. Soit f : R → R de classe C 1 et telle que f (0) = 0 et |f 0 (0)| < 1. On pose
Ω = {x ∈ R/f n (x) → 0}
(où la notation f n est à comprendre au sens de la composition). Montrer que Ω est un ouvert de R.
Exercice 15. Dans l’espace `∞ des suites réelles bornées, muni de k · k∞ , déterminer l’adhérence de :
1. l’ensemble des suites nulles à partir d’un certain rang,
2. l’ensemble des suites convergentes,
3. l’ensemble des suites croissantes,
4. l’ensemble des suites admettant 0 comme valeur d’adhérence.
Exercice 16 (Fonctions à zéros simples). On note E l’espace des fonctions de classe C 1 de [0, 1] dans
R muni de la norme k · k définie par kf k = kf k∞ + kf 0 k∞ .
1. On pose
Ω = {f ∈ E/(f (x), f 0 (x)) 6= (0, 0) pour x ∈ [0, 1]}.
Montrer, si f ∈ Ω, que f −1 ({0}) est fini.
2. Montrer que Ω est ouvert dans (E, k · k).
3. Soit f dans Ω telle que f (0) 6= 0 et f (1) 6= 0. Si g est dans Ω et suffisamment proche de f ,
montrer que
|g −1 ({0})| = |f −1 ({0})|.
Exercice 17. Soit P ∈ C[X] non constant.
1. Montrer que, pour tout fermé F de C, P (F ) est fermé.
2. Montrer que, pour tout ouvert U de C, P (U ) est ouvert.
Exercice 18. On note T le cercle unité de C, et on pose
P (z) = z 2 pour z ∈ T.
On note R l’ensemble des z ∈ T pour lesquels il existe une application ϕ : N → N strictement croissante
telle que P ϕ(n) (z) → z (la puissance est au sens de ◦).
1. Montrer que R est dense et non-fermé dans T.
2. Montrer que T \ R est dense dans T.
3. Caractériser les θ ∈ R tels que P n (e2iπθ ), n ∈ N soit dense dans T.
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