Topologie (1) - denischoimet.com

MP*1 2016/2017
Topologie (1)
Espaces métriques et normés
Exercice 1. Soit Aet Bdeux parties d’intérieur vide d’un espace métrique. On pose C=A∪B.
1. Montrer que si Aest fermée, Cest d’intérieur vide.
2. Le résultat subsiste-t-il si An’est pas fermée ?
Exercice 2. Soit (E, d)un espace métrique. On pose δ=d
1+d.
1. Montrer que δest une distance sur E.
2. Comparer les topologies des espaces métriques (E, d)et (E, δ).
Exercice 3. Une partie de Rest dite résiduelle si elle contient une intersection dénombrable d’ouverts
denses.
1. Montrer que R\Qest une partie résiduelle de R.
2. Montrer qu’une partie résiduelle de Rest dense dans R(théorème de Baire).
3. Montrer que si Xest une partie résiduelle de R, alors X+X=R.
4. Soit f:R→Rune fonction quelconque. On pose
ωf(x) = lim
δ→0sup f(]x−δ, x +δ[) −inf f(]x−δ, x +δ[)∈R+pour x∈R
Montrer que, pour tout ε > 0,{x∈R/ωf(x)< ε}est un ouvert de R.
5. Existe-t-il une fonction f:R→Rcontinue en exactement les rationnels ?
Exercice 4. Soit (E, d)un espace métrique. On définit
π:P(E)→P(E), A 7→ Aet ω:P(E)→P(E), A 7→
◦
A.
1. Étudier π◦πet ω◦ω.
2. Montrer que l’ensemble des composées de πet ωa au plus 7 éléments.
3. Montrer que dans le cas de l’espace métrique (R,|·|)il y en exactement 7.
Exercice 5 (Produits dénombrables d’espaces métriques).On considère une suite (En, dn)n∈Nd’es-
paces métriques. On pose E=Qn≥0Enet
d(u, v) =
∞
X
n=0
2−ndn(un, vn)
1 + dn(un, vn)pour u= (un)n≥0∈Eet v= (vn)n≥0∈E.
Pour chaque n≥0, on définit l’application coordonnée
pn:E→En,(uk)k≥07→ un.
1. Vérifier que dest une distance sur E.
2. Soit (vp)p≥0une suite de points de E. Montrer que (vp)p≥0converge dans Esi et seulement si,
pour tout n≥0, la suite (pn(vp))p≥0(de points de En) est convergente.
3. On fixe a= (an)n≥0∈E. Pour tout naturel pet tout ε > 0, on pose
Va(p, ε) = {u∈E/dn(un, an)≤εpour n≤p}.
Montrer que les voisinages de adans Esont exactement les parties de Econtenant un Va(p, ε).
1

Exercice 6. Soit (E, d)un espace métrique, a∈Eet r > 0.
1. Est-il vrai que B(a, r) = B(a, r)?
2. Et si Eest un espace normé ?
Exercice 7. Pour P=Pn≥0anXn∈E=R[X], on pose
kPk1=Z1
0
|P(t)|dt,kPk2=Z1
0
P2(t)dt1/2 ,kPk∞= sup
t∈[0,1]
|P(t)|,
N∞(P) = sup
n≥0
|an|et N1(P) = X
n≥0
|an|.
1. Vérifier qu’on définit ainsi des normes sur E.
2. Sont-elles équivalentes ? On pourra utiliser les polynômes Pn= (1 −X)2n,n∈N.
Exercice 8. Soit (an)n≥1une suite d’éléments de [0,1]. On pose E=C([0,1],R)et
kfk=
∞
X
n=1
|f(an)|
2npour f∈E.
1. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que k·ksoit une norme sur E.
2. Dans ce cas, k·kest-elle équivalente à k·k∞?
Exercice 9 (Un théorème de Grothendieck).Soit Fun sous-espace vectoriel de E=C([0,1],R), et
2≤p < ∞. Pour f∈E, on définit 1
kfkp=Z1
0
|f(x)|pdx1/p et kfk∞= sup
x∈[0,1]
|f(x)|.
On suppose qu’il existe une constante C > 0telle que
kfk∞≤Ckfkppour f∈F.
1. Montrer que
kfkp≤ kfk
2
p
2kfk1−2
p
∞pour f∈E.
2. Montrer que
kfk∞≤Cp
2kfk2pour tout f∈F.
3. Montrer que dim F≤Cp. On pourra pour cela, à la manière de Grothendieck, commencer par
fixer y∈[0,1] et par tester l’inégalité de la question 2. sur un « produit tensoriel »
fy(x) =
n
X
k=1
uk(x)uk(y),
où (uk)1≤k≤nest un système orthonormal de F. On fera ensuite varier y...
Exercice 10. Soit Eun espace vectoriel réel muni d’une norme k · k vérifiant l’identité du parallélo-
gramme :
kx+yk2+kx−yk2= 2(kxk2+kyk2)pour x, y ∈E.
On considère la fonction
ϕ:E2→R,(x, y)7→ 1
4(kx+yk2− kx−yk2).
1. Montrer que
ϕ(x, 2y)=2ϕ(x, y)pour (x, y)∈E2.
1. et on admet qu’on définit ainsi des normes sur E.
2

2. Montrer que, pour tout y∈E, la fonction x7→ ϕ(x, y)est additive.
3. Montrer finalement que k·kest euclidienne.
Exercice 11. Soit Aune partie non vide de Rtelle que, pour tout x∈R, il existe un unique a∈A
tel que d(x, A) = |x−a|. Que dire ?
Exercice 12. L’espace Rnest muni de sa structure euclidienne canonique. On note (e1, . . . , en)sa
base canonique, et on pose
X=
n
[
i=1 B(ei,1) ∪B(−ei,1).
Montrer que 0est un point intérieur à X.
Exercice 13. Soit Fun fermé de R.
1. Montrer qu’il existe une partie Dde F, au plus dénombrable et dense dans F.
2. Montrer qu’il existe une suite réelle (un)n≥0dont l’ensemble des valeurs d’adhérence soit exac-
tement F.
Exercice 14. Soit f:R→Rde classe C1et telle que f(0) = 0 et |f0(0)|<1. On pose
Ω = {x∈R/fn(x)→0}
(où la notation fnest à comprendre au sens de la composition). Montrer que Ωest un ouvert de R.
Exercice 15. Dans l’espace `∞des suites réelles bornées, muni de k · k∞, déterminer l’adhérence de :
1. l’ensemble des suites nulles à partir d’un certain rang,
2. l’ensemble des suites convergentes,
3. l’ensemble des suites croissantes,
4. l’ensemble des suites admettant 0comme valeur d’adhérence.
Exercice 16 (Fonctions à zéros simples).On note El’espace des fonctions de classe C1de [0,1] dans
Rmuni de la norme k·kdéfinie par kfk=kfk∞+kf0k∞.
1. On pose
Ω = {f∈E/(f(x), f0(x)) 6= (0,0) pour x∈[0,1]}.
Montrer, si f∈Ω, que f−1({0})est fini.
2. Montrer que Ωest ouvert dans (E, k·k).
3. Soit fdans Ωtelle que f(0) 6= 0 et f(1) 6= 0. Si gest dans Ωet suffisamment proche de f,
montrer que
|g−1({0})|=|f−1({0})|.
Exercice 17. Soit P∈C[X]non constant.
1. Montrer que, pour tout fermé Fde C,P(F)est fermé.
2. Montrer que, pour tout ouvert Ude C,P(U)est ouvert.
Exercice 18. On note Tle cercle unité de C, et on pose
P(z) = z2pour z∈T.
On note Rl’ensemble des z∈Tpour lesquels il existe une application ϕ:N→Nstrictement croissante
telle que Pϕ(n)(z)→z(la puissance est au sens de ◦).
1. Montrer que Rest dense et non-fermé dans T.
2. Montrer que T\Rest dense dans T.
3. Caractériser les θ∈Rtels que Pn(e2iπθ), n ∈Nsoit dense dans T.
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