Théorèmes de Banach et al. - Université de Montpellier

Master 1 Math´ematiques Universit´e de Montpellier
Analyse Fonctionnelle HMMA113 Ann´ee universitaire 2016-2017
Feuille d’exercices no2
Th´eor`emes de Banach &al., topologies faibles
Exercice 1 Soit l∞:= {(xn)∈RN|supn∈N|xn|<+∞}, et Cle sous-espace des suites convergentes.
Pour toute suite (xn)∈l∞on note lim sup xn:= limn→∞ supk≥n{xk}. Montrer qu’il existe λ∈(l∞)0
telle que λ((xn)) = limn→∞ xnpour toute suite (xn)∈C, et λ((xn)) ≤ |lim sup xn|pour toute suite
(xn)∈l∞.
Exercice 2 Soit (H, (·,·)) un espace de Hilbert et T:H→Hune application lin´eaire. Montrer que si
(T x, y)=(x, T y) pour tous x, y ∈H, alors Test continue.
Exercice 3 On consid`ere les espaces de Banach L1:= L1(0,1) et L2:= L2(0,1).
1. Montrer que L2est inclus dans L1.
2. Pour tout n≥1 on note Enl’ensemble des fonctions f∈L1telles que R1
0|f(t)|2dt ≤n. En utilisant
le lemme de Fatou, montrer que Enest un ferm´e de L1.
3. Construire une suite (fn) de L1qui converge vers la fonction nulle et v´erifie lim ||fn||2= +∞.
Montrer que Enest d’int´erieur vide dans L1.
4. En d´eduire que L1\L2est dense dans L1.
Exercice 4 (Un th´eor`eme de Grothendieck) Soit Xun sous-espace ferm´e de L2([0,1]) dont chaque ´el´ement
est aussi dans L∞([0,1]). On rappelle que f∈L∞([0,1]) si il existe une constante Mtelle que |f(x)| ≤ M
presque partout sur [0,1]; dans ce cas on note ||f||∞= inf{M∈[0; +∞[,|f(x)| ≤ M p.p.}.
1. D´eduire d’un th´eor`eme du cours qu’il existe une constante C > 0 telle que
∀f∈X, ||f||∞≤C||f||2.
2. Soit f1, . . . , fnune famille orthonormale d’´el´ements de X, et pour tout x∈Cn,Fx=Pn
j=1 xjfj.
(a) Calculer ||Fx||2.
(b) On choisit une partie d´enombrable dense Dde Cn. Montrer qu’il existe N⊂[0,1] de mesure
nulle tel que
∀x∈D, ∀t /∈N, |Fx(t)| ≤ C||x||2.
(c) En d´eduire que ∀x∈Cn,∀t /∈N,|Fx(t)| ≤ C||x||2.
(d) En choisissant xconvenablement, montrer que ∀t /∈N,Pn
j=1 |fj(t)|2≤C2.
3. En d´eduire que Xest de dimension finie.
Exercice 5 Soient T:X→Yune application lin´eaire continue surjective entre espaces de Banach.
Montrer qu’il existe c > 0 tel que pour tout y∈Yil existe x∈Xv´erifiant T(x) = yet ||x||X≤c||y||Y.
Exercice 6 Soient Xet Ydeux espaces vectoriels norm´es, et (Tn) une famille ´equicontinue d’applications
lin´eaires de Xvers Y. On suppose que (Tn) converge simplement vers une application T:X→Y.
1. Montrer que :
(a) Test lin´eaire et continue;
1

(b) (Tn) converge uniform´ement vers Tsur tout compact de X;
(c) Pour tout suite (xn) de Xqui converge vers x∈X, la suite (Tn(xn)) converge vers T(x).
2. Montrer que si Yest complet et on suppose seulement que la suite (Tn) converge simplement sur
un sous-ensemble partout dense de X, alors les propri´et´es (a)-(b)-(c) restent vraies.
Exercice 7 Soient Xet Ydeux espaces de Banach, Zun espace vectoriel norm´e, et b:X×Y→Zune
application bilin´eaire telle que pour tout point y∈Y(resp. x∈X) fix´e l’application b(·, y) (resp. b(x, ·))
est continue sur X(resp. Y).
1. Soit (xn, yn) une suite de points de X×Yqui converge vers (0,0). Pour tout x∈Xon pose
fn(x) = b(x, yn). Montrer que la suite (fn) est ´equicontinue sur X. En d´eduire que lim b(xn, yn) = 0.
2. Montrer que best continue sur X×Y.
3. On munit l’espace vectoriel Edes fonctions polynomiales `a une variable et `a coefficients r´eels de la
norme ||P|| =R1
0|p(t)|dt. Montrer que l’application b:E×E→R, (P, Q)7→ R1 0P(t)Q(t)dt, est
s´epar´ement continue mais non continue sur E×E. Pourquoi ce r´esultat n’est-il pas en contradiction
avec ceux des questions pr´ec´edentes ?
Exercice 8 Soit Xun espace de Banach. On dit qu’un sous-espace vectoriel ferm´e Fde Xadmet un
suppl´ementaire topologique s’il existe un sous-espace vectoriel ferm´e Gde Xtel que X=F⊕G.
1. Montrer qu’un sous-espace ferm´e Fde Xadmet un suppl´ementaire topologique si, et seulement si,
Fest l’image d’un projecteur continu p:X→X.
2. Soit Fun sous-espace de Xde dimension finie, {f1, . . . , fn}une base de F, et {f∗
1, . . . , f∗
n}la base
duale.
(a) Justifier que les formes lin´eaires f∗
1, . . . , f∗
nsont continues sur F.
(b) Montrer que Fadmet un suppl´ementaire topologique. (Utiliser le th´eor`eme de Hahn-Banach
et la question 1.)
3. D´eduire d’un r´esultat du cours de L3 que tout suppl´ementaire (alg´ebrique) d’un sous-espace ferm´e
de Xde codimension finie est un suppl´ementaire topologique.
4. Exemple. Soit N⊂X0un sous espace de dimension p, et F={x∈X, f(x) = 0,∀f∈N}. En
utilisant l’exercice 20 (2), montrer que si f1, . . . , fpest une base de N, alors l’application ϕ:E→Rp,
x7→ (f1(x), . . . , fp(x)), est surjective. En d´eduire que Fadmet un suppl´ementaire topologique.
5. Dans le cas o`u Xest un espace de Hilbert, pouvez-vous d´efinir un suppl´ementaire topologique
canonique associ´e `a tout sous-espace ferm´e Fde X?
Exercice 9 Soit Xun espace vectoriel norm´e, Yun espace de Banach, et (Tn) une suite d’applications
lin´eaires continues de Xdans Y. On note Cl’ensemble des points x∈Xtels que la suite (Tn(x))
converge.
1. Montrer que Cest un sous-espace de X. En d´eduire que si Cn’est pas maigre, alors Cest partout
dense et la suite (Tn) est ´equicontinue.
2. Montrer que si Cn’est pas maigre, alors C=X. (Utiliser la convergence simple de (Tn)sur C.)
Exercice 10 Soit (an)∈CNtelle que pour toute suite complexe (xn)∈lp, on a (anxn)∈lp. Montrer
que (an)∈l∞. (Indication : montrer que l’application (xn)7→ (anxn)est continue.)
Exercice 11 Soit Xun espace vectoriel norm´e. Montrer que ||x|| = supT∈X0,|||T|||=1 |T(x)|pour tout
x∈X, et que la borne sup est atteinte. En quoi ce r´esultat est-il surprenant ?
Exercice 12 (Parties born´ees et faiblement born´ees) Soit Xun espace de Banach.
2

1. Soit B0une partie de X0telle que l’ensemble {f(x), f ∈B0}soit born´e pour tout x∈X. Montrer
que B0est une partie born´ee de X0(pour la norme subordonn´ee, not´ee ||| · |||).
2. Soit Bune partie de Xtelle que l’ensemble {f(x), x ∈B}soit born´e pour tout f∈X0. Pour tout
b∈Bon note
Tb:X0−→ R
f7−→ f(b)
T:X−→ X00
x7−→ Tx.
(a) Montrer que T(B) est une partie born´ee de X00 , puis que sup|||f|||=1 |f(b)|=||b||.
(b) En d´eduire que Best une partie born´ee de X.
Exercice 13 Soit Kun compact d’un espace de Banach. Montrer que toute suite dans Kfaiblement
convergente est fortement convergente.
Exercice 14 On consid`ere l’espace E=C([0,1],R) muni de la norme sup k·k∞.
1. Montrer que si une suite (fn) de Econverge pour la topologie faible σ(E, E0), alors elle converge
simplement.
2. Pour tout entier nnon nul on pose fn(x) := (1 −nx).1[0,1/n](x). Montrer que fnest dans la sph`ere
unit´e de E, mais qu’aucune suite extraite de (fn)n∈Nne peut converger faiblement vers un ´el´ement
de E.
3. Que peut-on en d´eduire ?
Exercice 15 Soit Xun Banach r´eflexif.
1. Montrer que la boule unit´e ferm´ee BX(0,1] de Xest faiblement compacte (Indication : montrer
que l’inverse de l’application canonique J:X→X00 est continue de X00 muni de σ(X00, X0)vers
σ(X, X0)).
(NB: un th´eor`eme de Kakutani affirme que, r´eciproquement, si BX(0,1] est faiblement compacte
alors Xest r´eflexif.)
2. En d´eduire que tout born´e de Xest relativement faiblement compact.
3. Montrer que tout convexe ferm´e fort et born´e de Xest faiblement compact (Utiliser l’exercice 19).
Exercice 16 Soient Xet Ydeux espaces de Banach et T:X→Ylin´eaire. On rappelle que Test
compacte si T(BX(0,1]) est compacte dans Y.
1. V´erifier que tout compact d’un espace vectoriel norm´e est born´e, et en d´eduire que si Test compacte,
alors Test continue.
2. Montrer que si T:X→Yest compacte, alors Tv´erifie la propri´et´e (P) suivante : si (xn) est
une suite de Xqui converge faiblement vers 0, alors T(xn) converge (fortement) vers 0. (Montrer
que {T(xn)}nest relativement compact, puis, en utilisant le th´eor`eme d’approximation, que 0est
la seule valeur d’adh´erence de la suite (T(xn))n.)
3. Si de plus Xest r´eflexif, montrer que si Tv´erifie la propri´et´e (P) de la question 2., alors Test
compacte (Utiliser l’exercice 15 (1).).
4. Montrer que si Xest de dimension infinie et Test compacte, alors Tne peut pas ˆetre bijectif.
Exercice 17 Montrer que toute suite dans la boule unit´e ferm´ee de L2(R) admet une sous-suite faiblement
convergente. Trouver une suite faiblement convergente dans cette boule sans sous-suite convergente.
Exercice 18 Soit Xun espace vectoriel norm´e. Montrer que tout sous-espace vectoriel ferm´e de Xest
´egal `a l’intersection des hyperplans ferm´es qui le contiennent.
Exercice 19 Soit Xun R-espace vectoriel norm´e.
3

1. Soit Cun convexe de Xcontenant l’origine, et a /∈C.
(a) Montrer que si Cest ouvert, alors il existe T∈X0tel que T(x)< T (a) pour tout x∈C.
(Utiliser Hahn-Banach et la jauge de C.)
(b) Montrer que si Cest ferm´e, alors il existe T∈X0et α∈Rtels que T(x)< α < T (a) pour
tout x∈C. (Consid´erer un voisinage de 0de la forme C+B(0, r)), et utiliser (a).)
2. En d´eduire que toute partie convexe ferm´ee non vide de Xest ´egale `a l’intersection des demi-espaces
ferm´es qui la contiennent, puis que les convexes ferm´es forts de Xsont ses convexes ferm´es faibles.
3. On suppose que Xest de dimension infinie. Montrer que l’adh´erence faible de la sph`ere unit´e de
Xest ´egale `a sa boule unit´e ferm´ee.(Utiliser l’exercice 23.)
Exercice 20 (Hahn-Banach g´eom´etrique) Soit Xun R-espace vectoriel norm´e, et Aet Bdeux en-
sembles convexes, non vides et disjoints de X.
1. On suppose que Aest un ouvert de X.
(a) Montrer qu’il existe f∈X0tel que f(x)<0 pour tout x∈A−B={a−b, a ∈A, b ∈B}.
(Utiliser l’exercice 19.)
(b) En d´eduire qu’il existe α∈Rtel que f(x)≤αpour tout x∈Aet f(x)≥αpour tout x∈B.
(On dit que l’hyperplan ferm´e {x∈X, f(x) = α}s´epare Aet Bau sens large.)
2. On suppose que Aest ferm´e et B est compact.
(a) Montrer que pour tout ε > 0 assez petit les ensembles Aε=A+B(0, ε) et Bε=B+B(0, ε)
sont des convexes ouverts, non vides et disjoints.
(b) En d´eduire qu’il existe f∈X0,α∈Ret ε > 0 tels que f(x)≤α−εpour tout x∈Aet
f(x)≥α+εpour tout x∈B. (On dit que l’hyperplan ferm´e {x∈X, f(x) = α}s´epare Aet
Bau sens strict.)
Exercice 21 On consid`ere l’espace de Banach L1([0,2π]) des (classes de) fonctions mesurables `a valeurs
complexes sur l’intervalle [0,2π] int´egrables pour la mesure de Lebesgue. Pour tout entier n∈Zet toute
fonction f∈L1([0,2π]) on note cn(f) = (1/√2π)R2π
0e−intf(t)dt, le n-i`eme coefficient de Fourier de f.
1. (Lemme de Riemann-Lebesgue) Montrer que limn→±∞ cn(f) = 0. (On pourra d’abord supposer f
est continument d´erivable, puis en d´eduire le r´esultat lorsque f∈L1([0,2π]).)
2. Soit C0(Z) = {(cn)∈CN|limn→±∞ cn= 0}, et ϕ:L1([0,2π]) →C0(Z) l’application lin´eaire
d´efinie par ϕ(f) = (cn(f)).
(a) Montrer que C0(Z) muni de la norme ||(cn)|| := supn∈Z|cn|est un espace de Banach.
(b) Montrer que ϕest continue et injective.
(c) Montrer que l’image de ϕest dense dans C0(Z) (Utiliser le th´eor`eme de Stone-Weierstrass.)
3. Montrer que les fonctions fn(t) = 1
2π
sin( 2n+1
2t)
sin( t
2)=1
2πPn
p=−neipt (les noyaux de Dirichlet) v´erifient
limn→∞ ||fn||1= +∞.
4. En utilisant le th´eor`eme de Banach, d´eduire que ϕn’est pas surjective.
5. Montrer que l’image de ϕest maigre dans C0(Z).
Exercice 22 Soit Xl’espace l∞muni de la norme || · ||∞. Trouver une suite (fn) de X0telle que
||fn||∞= 1 et (fn) ne poss`ede aucune sous-suite faiblement ∗-convergente. Y-a-t-il contradiction avec le
fait que BX0(0,1] est faiblement-∗compacte ? Que peut-on en conclure sur X?
Exercice 23 Soit Xun espace vectoriel norm´e de dimension infinie.
1. Montrer que tout voisinage faible d’un point x∈Xcontient une droite affine issue de x. (Montrer
que toute intersection finie d’hyperplans de Xest non r´eduit `a {0}, et en d´eduire le r´esultat.)
2. Montrer que la boule unit´e ouverte de Xest d’int´erieur vide pour la topologie faible.
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