Autour des théorèmes de Banach et al.

Universit´e Montpellier II Ann´ee universitaire 2014-2015
M1 Math´ematiques et Applications
Analyse Fonctionnelle FMMA103
Feuille d’exercices no3
Autour des th´eor`emes de Baire et de Banach &Co.
Exercice 1 Montrer qu’un ouvert d’un espace m´etrique complet est un espace de Baire.
Exercice 2 Soit X=C([0,1],R) muni de la norme || · ||∞, et D ⊂ Xle sous-ensemble des fonctions
d´erivables en au moins un point. On note Fn={f∈X| ∃t∈[0,1],∀s∈[0,1],|f(t)−f(s)| ≤ n|t−s|}.
1. Justifier que Dest dense dans X.
2. Montrer que D ⊂ ∪∞
n=0Fn.
3. Montrer que chaque Fnest un ferm´e de Xd’int´erieur vide.
4. En d´eduire que X\ D est dense dans X.
Exercice 3 Soit (H, (·,·)) un espace de Hilbert et T:H→Hune application lin´eaire. Montrer que si
(T x, y) = (x, T y) pour tous x, y ∈H, alors Test continue.
Exercice 4 On consid`ere les espaces de Banach L1:= L1(0,1) et L2:= L2(0,1).
1. Montrer que L2est inclus dans L1.
2. Pour tout n≥1 on note Enl’ensemble des fonctions f∈L1telles que R1
0|f(t)|2dt ≤n. Montrer
que Enest un ferm´e de L1. (On pourra utiliser le lemme de Fatou).
3. Construire une suite (fn) de L1qui converge vers la fonction nulle et v´erifie lim ||fn||2= +∞.
Montrer que Enest d’int´erieur vide dans L1.
4. En d´eduire que L2est maigre dans L1, et que L1\L2est dense dans L1.
Exercice 5 (Un th´eor`eme de Grothendieck) Soit Xun sous-espace ferm´e de L2([0,1]) dont chaque ´el´ement
est aussi dans L∞([0,1]). On rappelle que f∈L∞([0,1]) si il existe une constante Mtelle que |f(x)| ≤ M
presque partout sur [0,1]; dans ce cas on note ||f||∞= inf{M∈[0; +∞[,|f(x)| ≤ M p.p.}.
1. D´eduire d’un th´eor`eme du cours qu’il existe une constante C > 0 telle que
∀f∈X, ||f||∞≤C||f||2.
2. On fixe n∈N\ {0}, et une famille orthonormale de X:f1, . . . , fn. Pour x∈Cnon note
Fx=Pn
j=1 xjfj.
(a) Calculer ||Fx||2.
(b) On choisit une partie d´enombrable dense Dde Cn. Montrer qu’il existe N⊂[0,1] de mesure
nulle tel que
∀x∈D, ∀t /∈N, |Fx(t)| ≤ C||x||2.
(c) En d´eduire que ∀x∈Cn,∀t /∈N,|Fx(t)| ≤ C||x||2.
(d) En choisissant xconvenablement, montrer que ∀t /∈N,Pn
j=1 |fj(t)|2≤C2.
3. En d´eduire que Xest de dimension finie.
1

Exercice 6 Soient T:X→Yune application lin´eaire continue surjective entre espaces de Banach.
Montrer qu’il existe c > 0 tel que pour tout y∈Yil existe x∈Xv´erifiant T(x) = yet ||x||X≤c||y||Y.
Exercice 7 Soit Aune famille d’applications lin´eaires d’un espace localement convexe (X, {||·||i}i∈I) vers
un espace localement convexe (Y, {|| · ||j}j∈J).
1. Montrer que Aest ´equicontinue si, et seulement si, pour tout j∈Jil existe une partie finie K⊂I
et c≥0 tels que ||T(x)||j≤c||x||Kpour tout T∈Aet x∈X.
2. Formuler cette propri´et´e `a l’aide de la norme subordonn´ee, lorsque Xet Ysont des espaces vectoriels
norm´es.
3. On suppose que A= (Tn) est une suite ´equicontinue d’applications lin´eaires qui converge simplement
vers une application T:X→Y. Montrer que :
(a) Test lin´eaire et continue;
(b) (Tn) converge uniform´ement vers Tsur tout compact de X;
(c) Pour tout suite (xn) de Xqui converge vers x∈X, la suite (Tn(xn)) converge vers T(x).
4. Montrer que les propri´et´es (a), (b) et (c) de la question 3 restent vraies si Yest complet et on suppose
seulement que la suite ´equicontinue (Tn) converge simplement sur un sous-ensemble partout dense
de X.
Exercice 8 Soient Xet Ydeux espaces de Fr´echet et Zun espace localement convexe (donc s´epar´e,
suivant les conventions du cours). Soit b:X×Y→Zune application bilin´eaire telle que b(·, y) (resp.
b(x, ·)) soit continue sur X(resp. Y) pour tout point y∈Y(resp. x∈X) fix´e.
1. Soit (xn, yn) une suite de points de X×Yqui converge vers (0,0). Pour tout x∈Xon pose
fn(x) = b(x, yn). Montrer que la suite (fn) est ´equicontinue sur X. En d´eduire que lim b(xn, yn) = 0.
2. Montrer que best continue sur X×Y.
Exercice 9 Soit Xun espace de Fr´echet. On dit qu’un sous-espace ferm´e Fde Xadmet un suppl´ementaire
topologique s’il existe un sous-espace ferm´e Gde Xtel que X=F⊕G.
1. Montrer qu’un sous-espace ferm´e Fadmet un suppl´ementaire topologique si, et seulement si, Fest
l’image d’un projecteur continu p:X→X.
2. D´eduire d’un r´esultat du cours que tout sous-espace ferm´e de Xde codimension finie admet un
suppl´ementaire topologique.
Exercice 10 Soit Xun espace localement convexe, Yun espace de Fr´echet, et (Tn) une suite d’applications
lin´eaires continues de Xdans Y. On note Cl’ensemble des points x∈Xtels que la suite (Tn(x)) converge.
1. Montrer que Cest un sous-espace de X. En d´eduire que si Cn’est pas maigre, alors Cest partout
dense et la suite (Tn) est ´equicontinue.
2. Montrer que si Cn’est pas maigre, alors C=X. (On pourra remarquer que (Tn)converge simple-
ment sur C.)
Exercice 11 Soit Xun espace de Fr´echet, Fun sous-espace de Xde dimension finie, {f1, . . . , fn}une
base de Fet {f∗
1, . . . , f∗
n}la base duale.
1. Montrer que f∗
1, . . . , f∗
nsont des formes lin´eaires continues sur F.
2. Montrer que Fadmet un suppl´ementaire topologique. (On pourra utiliser le th´eor`eme de Hahn-
Banach et la question 1 de l’exercice 9.)
Exercice 12 (Parties born´ees et faiblement born´ees) Soit Xun espace de Banach.
1. Soit B∗une partie de X∗telle que l’ensemble {f(x), f ∈B∗}soit born´e pour tout x∈X. Montrer
que B∗est une partie born´ee de X∗(pour la norme subordonn´ee, not´ee ||| · |||).
2

2. Soit Bune partie de Xtelle que l’ensemble {f(x), x ∈B}soit born´e pour tout f∈X∗. Pour tout
b∈Bon note Tb:X∗−→ R
f7−→ f(b)
T:X−→ X∗∗
b7−→ Tb.
(a) Montrer que la famille {Tb, b ∈B}est ´equicontinue.
(b) En d´eduire que T(B) est une partie born´ee de X∗∗, puis montrer que sup|||f|||=1 |f(b)|=||b||.
(Pour montrer l’in´egalit´e ≥on pourra utiliser un corollaire du th´eor`eme de Hahn-Banach).
(c) Conclure que Best une partie born´ee de X.
(d) Une application. Montrer que si T:X→Yest un op´erateur compact, et (xn) est une suite
de Xqui converge faiblement vers 0, alors T(xn) converge (fortement) vers 0. (On remarquera
que pour tout ϕ∈Y∗, on a ϕ◦T∈X∗et on montrera que toute valeur d’adh´erence de T(xn)
est nulle.)
Exercice 13 Soit Xun espace vectoriel norm´e. Montrer que ||x|| = supT∈X∗,|||T|||=1 |T(x)|pour tout
x∈X, et que la borne sup est atteinte. En quoi ce r´esultat est-il surprenant ?
Exercice 14 Soit Xun espace localement convexe. Montrer que tout sous-espace vectoriel ferm´e de X
est ´egal `a l’intersection des hyperplans ferm´es qui le contiennent.
Exercice 15 Soit Xun espace localement convexe r´eel, Cun voisinage convexe de 0, et a /∈C. Montrer
que :
1. Si Cest ouvert, alors il existe T∈X∗tel que T(a) = 1 et |T(x)|<1 pour tout x∈C. (Utiliser
Hahn-Banach avec semi-norme dominante la fonctionnelle de Minkowski de C.)
2. Si Cest ferm´e, alors il existe T∈X∗tel que T(a)>1 et |T(x)| ≤ 1 pour tout x∈C.
3. En d´eduire que toute partie convexe ferm´ee de Xest ´egale `a l’intersection des demi-espaces ferm´es
qui la contiennent.
Exercice 16 (Hahn-Banach g´eom´etrique) Soit Xun espace localement convexe r´eel, Cune partie
convexe non vide de X, et Mun sous-espace affine de Xtel que C∩M=∅.
1. Soit G=F+Ra, o`u Fest le sous-espace vectoriel de Xtel que M=a+F(a∈X). Montrer que
pour toute forme lin´eaire Tsur Gtelle que M={x∈X, T (x)=1}, on a T(x)≤µC(x) pour tout
x∈F, o`u µCest la fonctionnelle de Minkowski de C.
2. En utilisant le th´eor`eme de Hahn-Banach, d´eduire qu’il existe un hyperplan ferm´e Hde Xpassant
par Mtel que H∩C=∅.
Exercice 17 On consid`ere l’espace de Banach L1([0,2π]) des (classes de) fonctions mesurables `a valeurs
complexes sur l’intervalle [0,2π] int´egrables pour la mesure de Lebesgue. Pour tout entier n∈Zet toute
fonction f∈L1([0,2π]) on note cn(f) = (1/√2π)R2π
0e−intf(t)dt, le n-i`eme coefficient de Fourier de f.
1. (Lemme de Riemann-Lebesgue) Montrer que limn→±∞ cn(f) = 0. (On pourra d’abord supposer f
est continument d´erivable, puis en d´eduire le r´esultat lorsque f∈L1([0,2π]).)
2. Soit C0(Z) = {(cn)∈CN|limn→±∞ cn= 0}, et ϕ:L1([0,2π]) →C0(Z) l’application lin´eaire
d´efinie par ϕ(f) = (cn(f)).
(a) Montrer que C0(Z) muni de la norme ||(cn)|| := supn∈Z|cn|est un espace de Banach.
(b) Montrer que ϕest continue et injective.
(c) Montrer que l’image de ϕest dense dans C0(Z) (Utiliser le th´eor`eme de Stone-Weierstrass.)
3. Montrer que les fonctions fn(t) = 1
2π
sin( 2n+1
2t)
sin( t
2)=1
2πPn
p=−neipt (les noyaux de Dirichlet) v´erifient
limn→∞ ||fn||1= +∞.
4. En utilisant le th´eor`eme de Banach, d´eduire que ϕn’est pas surjective.
5. Montrer que l’image de ϕest maigre dans C0(Z).
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