Autour des théorèmes de Banach et al.

Université Montpellier II
M1 Mathématiques et Applications
Analyse Fonctionnelle FMMA103
Année universitaire 2014-2015
Feuille d’exercices no 3
Autour des théorèmes de Baire et de Banach & Co.
Exercice 1 Montrer qu’un ouvert d’un espace métrique complet est un espace de Baire.
Exercice 2 Soit X = C([0, 1], R) muni de la norme || · ||∞ , et D ⊂ X le sous-ensemble des fonctions
dérivables en au moins un point. On note Fn = {f ∈ X | ∃t ∈ [0, 1], ∀s ∈ [0, 1], |f (t) − f (s)| ≤ n|t − s|}.
1. Justifier que D est dense dans X.
2. Montrer que D ⊂ ∪∞
n=0 Fn .
3. Montrer que chaque Fn est un fermé de X d’intérieur vide.
4. En déduire que X \ D est dense dans X.
Exercice 3 Soit (H, (·, ·)) un espace de Hilbert et T : H → H une application linéaire. Montrer que si
(T x, y) = (x, T y) pour tous x, y ∈ H, alors T est continue.
Exercice 4 On considère les espaces de Banach L1 := L1 (0, 1) et L2 := L2 (0, 1).
1. Montrer que L2 est inclus dans L1 .
2. Pour tout n ≥ 1 on note En l’ensemble des fonctions f ∈ L1 telles que
que En est un fermé de L1 . (On pourra utiliser le lemme de Fatou).
R1
0
|f (t)|2 dt ≤ n. Montrer
3. Construire une suite (fn ) de L1 qui converge vers la fonction nulle et vérifie lim ||fn ||2 = +∞.
Montrer que En est d’intérieur vide dans L1 .
4. En déduire que L2 est maigre dans L1 , et que L1 \ L2 est dense dans L1 .
Exercice 5 (Un théorème de Grothendieck) Soit X un sous-espace fermé de L2 ([0, 1]) dont chaque élément
est aussi dans L∞ ([0, 1]). On rappelle que f ∈ L∞ ([0, 1]) si il existe une constante M telle que |f (x)| ≤ M
presque partout sur [0, 1]; dans ce cas on note ||f ||∞ = inf{M ∈ [0; +∞[, |f (x)| ≤ M p.p.}.
1. Déduire d’un théorème du cours qu’il existe une constante C > 0 telle que
∀f ∈ X, ||f ||∞ ≤ C||f ||2 .
n
2. On fixe
Pnn ∈ N \ {0}, et une famille orthonormale de X : f1 , . . . , fn . Pour x ∈ C on note
Fx = j=1 xj fj .
(a) Calculer ||Fx ||2 .
(b) On choisit une partie dénombrable dense D de Cn . Montrer qu’il existe N ⊂ [0, 1] de mesure
nulle tel que
∀x ∈ D, ∀t ∈
/ N, |Fx (t)| ≤ C||x||2 .
(c) En déduire que ∀x ∈ Cn , ∀t ∈
/ N , |Fx (t)| ≤ C||x||2 .
(d) En choisissant x convenablement, montrer que ∀t ∈
/ N,
3. En déduire que X est de dimension finie.
1
Pn
j=1
|fj (t)|2 ≤ C 2 .
Exercice 6 Soient T : X → Y une application linéaire continue surjective entre espaces de Banach.
Montrer qu’il existe c > 0 tel que pour tout y ∈ Y il existe x ∈ X vérifiant T (x) = y et ||x||X ≤ c||y||Y .
Exercice 7 Soit A une famille d’applications linéaires d’un espace localement convexe (X, {||·||i }i∈I ) vers
un espace localement convexe (Y, {|| · ||j }j∈J ).
1. Montrer que A est équicontinue si, et seulement si, pour tout j ∈ J il existe une partie finie K ⊂ I
et c ≥ 0 tels que ||T (x)||j ≤ c||x||K pour tout T ∈ A et x ∈ X.
2. Formuler cette propriété à l’aide de la norme subordonnée, lorsque X et Y sont des espaces vectoriels
normés.
3. On suppose que A = (Tn ) est une suite équicontinue d’applications linéaires qui converge simplement
vers une application T : X → Y . Montrer que :
(a) T est linéaire et continue;
(b) (Tn ) converge uniformément vers T sur tout compact de X;
(c) Pour tout suite (xn ) de X qui converge vers x ∈ X, la suite (Tn (xn )) converge vers T (x).
4. Montrer que les propriétés (a), (b) et (c) de la question 3 restent vraies si Y est complet et on suppose
seulement que la suite équicontinue (Tn ) converge simplement sur un sous-ensemble partout dense
de X.
Exercice 8 Soient X et Y deux espaces de Fréchet et Z un espace localement convexe (donc séparé,
suivant les conventions du cours). Soit b : X × Y → Z une application bilinéaire telle que b(·, y) (resp.
b(x, ·)) soit continue sur X (resp. Y ) pour tout point y ∈ Y (resp. x ∈ X) fixé.
1. Soit (xn , yn ) une suite de points de X × Y qui converge vers (0, 0). Pour tout x ∈ X on pose
fn (x) = b(x, yn ). Montrer que la suite (fn ) est équicontinue sur X. En déduire que lim b(xn , yn ) = 0.
2. Montrer que b est continue sur X × Y .
Exercice 9 Soit X un espace de Fréchet. On dit qu’un sous-espace fermé F de X admet un supplémentaire
topologique s’il existe un sous-espace fermé G de X tel que X = F ⊕ G.
1. Montrer qu’un sous-espace fermé F admet un supplémentaire topologique si, et seulement si, F est
l’image d’un projecteur continu p : X → X.
2. Déduire d’un résultat du cours que tout sous-espace fermé de X de codimension finie admet un
supplémentaire topologique.
Exercice 10 Soit X un espace localement convexe, Y un espace de Fréchet, et (Tn ) une suite d’applications
linéaires continues de X dans Y . On note C l’ensemble des points x ∈ X tels que la suite (Tn (x)) converge.
1. Montrer que C est un sous-espace de X. En déduire que si C n’est pas maigre, alors C est partout
dense et la suite (Tn ) est équicontinue.
2. Montrer que si C n’est pas maigre, alors C = X. (On pourra remarquer que (Tn ) converge simplement sur C.)
Exercice 11 Soit X un espace de Fréchet, F un sous-espace de X de dimension finie, {f1 , . . . , fn } une
base de F et {f1∗ , . . . , fn∗ } la base duale.
1. Montrer que f1∗ , . . . , fn∗ sont des formes linéaires continues sur F .
2. Montrer que F admet un supplémentaire topologique. (On pourra utiliser le théorème de HahnBanach et la question 1 de l’exercice 9.)
Exercice 12 (Parties bornées et faiblement bornées) Soit X un espace de Banach.
1. Soit B ∗ une partie de X ∗ telle que l’ensemble {f (x), f ∈ B ∗ } soit borné pour tout x ∈ X. Montrer
que B ∗ est une partie bornée de X ∗ (pour la norme subordonnée, notée ||| · |||).
2
2. Soit B une partie de X telle que l’ensemble {f (x), x ∈ B} soit borné pour tout f ∈ X ∗ . Pour tout
b ∈ B on note
Tb : X ∗ −→ R
T : X −→ X ∗∗
f 7−→ f (b)
b 7−→ Tb .
(a) Montrer que la famille {Tb , b ∈ B} est équicontinue.
(b) En déduire que T (B) est une partie bornée de X ∗∗ , puis montrer que sup|||f |||=1 |f (b)| = ||b||.
(Pour montrer l’inégalité ≥ on pourra utiliser un corollaire du théorème de Hahn-Banach).
(c) Conclure que B est une partie bornée de X.
(d) Une application. Montrer que si T : X → Y est un opérateur compact, et (xn ) est une suite
de X qui converge faiblement vers 0, alors T (xn ) converge (fortement) vers 0. (On remarquera
que pour tout ϕ ∈ Y ∗ , on a ϕ ◦ T ∈ X ∗ et on montrera que toute valeur d’adhérence de T (xn )
est nulle.)
Exercice 13 Soit X un espace vectoriel normé. Montrer que ||x|| = supT ∈X ∗ ,|||T |||=1 |T (x)| pour tout
x ∈ X, et que la borne sup est atteinte. En quoi ce résultat est-il surprenant ?
Exercice 14 Soit X un espace localement convexe. Montrer que tout sous-espace vectoriel fermé de X
est égal à l’intersection des hyperplans fermés qui le contiennent.
Exercice 15 Soit X un espace localement convexe réel, C un voisinage convexe de 0, et a ∈
/ C. Montrer
que :
1. Si C est ouvert, alors il existe T ∈ X ∗ tel que T (a) = 1 et |T (x)| < 1 pour tout x ∈ C. (Utiliser
Hahn-Banach avec semi-norme dominante la fonctionnelle de Minkowski de C.)
2. Si C est fermé, alors il existe T ∈ X ∗ tel que T (a) > 1 et |T (x)| ≤ 1 pour tout x ∈ C.
3. En déduire que toute partie convexe fermée de X est égale à l’intersection des demi-espaces fermés
qui la contiennent.
Exercice 16 (Hahn-Banach géométrique) Soit X un espace localement convexe réel, C une partie
convexe non vide de X, et M un sous-espace affine de X tel que C ∩ M = ∅.
1. Soit G = F + Ra, où F est le sous-espace vectoriel de X tel que M = a + F (a ∈ X). Montrer que
pour toute forme linéaire T sur G telle que M = {x ∈ X, T (x) = 1}, on a T (x) ≤ µC (x) pour tout
x ∈ F , où µC est la fonctionnelle de Minkowski de C.
2. En utilisant le théorème de Hahn-Banach, déduire qu’il existe un hyperplan fermé H de X passant
par M tel que H ∩ C = ∅.
Exercice 17 On considère l’espace de Banach L1 ([0, 2π]) des (classes de) fonctions mesurables à valeurs
complexes sur l’intervalle [0, 2π] intégrables pour la mesure de Lebesgue. Pour tout entier n ∈ Z et toute
√
R 2π
fonction f ∈ L1 ([0, 2π]) on note cn (f ) = (1/ 2π) 0 e−int f (t)dt, le n-ième coefficient de Fourier de f .
1. (Lemme de Riemann-Lebesgue) Montrer que limn→±∞ cn (f ) = 0. (On pourra d’abord supposer f
est continument dérivable, puis en déduire le résultat lorsque f ∈ L1 ([0, 2π]).)
2. Soit C0 (Z) = {(cn ) ∈ CN | limn→±∞ cn = 0}, et ϕ : L1 ([0, 2π]) → C0 (Z) l’application linéaire
définie par ϕ(f ) = (cn (f )).
(a) Montrer que C0 (Z) muni de la norme ||(cn )|| := supn∈Z |cn | est un espace de Banach.
(b) Montrer que ϕ est continue et injective.
(c) Montrer que l’image de ϕ est dense dans C0 (Z) (Utiliser le théorème de Stone-Weierstrass.)
2n+1
Pn
1 sin( 2 t)
1
ipt
3. Montrer que les fonctions fn (t) = 2π
= 2π
(les noyaux de Dirichlet) vérifient
p=−n e
sin( 2t )
limn→∞ ||fn ||1 = +∞.
4. En utilisant le théorème de Banach, déduire que ϕ n’est pas surjective.
5. Montrer que l’image de ϕ est maigre dans C0 (Z).
3