Les fonctions trigonométriques

Les fonctions trigonométriques
Définitions et propriétés
r
x
y
Θ
rΘ
P
Q
O
Les fonctions trigonométriques sinus, cosinus et tangente sont définies
par les relations
sin θ=y
r,cos θ=x r,tan θ=y x=sin θ cos θ.(1)
On utilise aussi quelquefois les fonctions cotangente, sécante et cosécante :
cot θ=1
tan θ,sec θ=1 cos θ,csc θ=1 sin θ.
L’angle θpeut être mesuré en radians (un nombre décimal compris entre 0
et 2π) ou en degrés (entre 0◦et 360 ◦). Lorsque θest exprimé en radians,
la longueur de l’arc de cercle P Q est égale à rθ. On passe des degrés aux
radians par la formule
radians =π
180 degrés.
1

On peut calculer le sinus et le cosinus de n’importe quel nombre (même non
compris entre 0et 2π) en utilisant leur périodicité :
sin (θ+ 2π) = sin θ, cos (θ+ 2π) = cos θ . (2)
Les fonctions trigonométriques satisfont les relations suivantes :
cos2θ+ sin2θ= 1 (3)
cos (−θ) = cos θ , sin (−θ) = −sin θ , tan (−θ) = −tan θ(4)
cos (θ+φ) = cos θcos φ−sin θsin φ(5)
sin (θ+φ) = sin θcos φ+ cos θsin φ(6)
tan (θ+φ) = tan θ+ tan φ
1−tan θtan φ(7)
Les graphes de ces fonctions ont l’allure suivante :
-6
-4
-2
2
4
6
Θ
-1.0
-0.5
0.5
1.0
cos Θ
sin Θ
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
Θ
-5
5
tan Θ
Le graphe de sinus est celui de cosinus décalé vers la droite. La fonction
tangente devient infinie aux points θ=±π/2.
Quelques valeurs remarquables :
cos 0 = 1 cos π/4=1/√2 cos π/3=1/2 cos π/2 = 0 cos π=−1 cos 3π/2=0
sin 0 = 0 sin π/4=1/√2 sin π/3 = √3/2 sin π/2 = 1 sin π= 0 sin 3π/2−1
Exemple
•Les degrés (◦)sont divisés en 60 minutes (0), elles-même divisées en 60
secondes (”) d’arc. Donc
1radian =180
π
◦= 57,2958 ◦= 57 ◦17,7480= 57 ◦17045”.
2

•En faisant θ=φdans les formules d’addition, on obtient :
cos 2θ= 2 cos2θ−1,sin 2θ= 2 sin θcos θ , tan 2θ=2 tan θ
1−tan2θ.
•Lorsque l’angle θest très petit, il se confond pratiquement avec son
sinus :
lim
θ→0
sin θ
θ= 1.
Exercices
1. Convertir 30 ◦en radians et π/3radians en degrés.
2. Utiliser les formules d’addition pour calculer sin 2π/3et cos 2π/3.
3. Calculer tan π/4et tan π/3.
Pour en savoir plus
?http://www.alphaquark.com/Mathematique/Trigonometrie.htm
?http://fr.wikipedia.org/wiki/Portail:Mathématiques
Réponses
1. π
6,60 ◦2. √3 2,−1 23. 1,√3
3