Préparation à l’évaluation Semaine du 7 décembre Technico-sciences 5e secondaire 1. Mireille est actuaire ; c'est-à-dire une professionnelle du monde des affaires qui appliquent les mathématiques dans le secteur financier. Une des tâches de Mireille est le calcul des barèmes des primes d’assurance. Pour ce faire, elle doit entre autres faire appel à ses connaissances en algèbre et en statistique. Par exemple, pour assurer les biens (meubles, électroménagers, appareils électroniques, etc.) d’un appartement, la compagnie pour laquelle Marie travaille exige 50$ de frais de base en plus de 15$ par tranche complète ou partielle de 1000$. a) Soit x représentant la valeur monétaire des biens à assurer et f(x) le coût de la prime, quelle est la règle représentant cette situation ? b) À partir de la règle, déterminez quel sera le coût de la prime si la valeur des biens à assurer est de 25 875$. c) Un des clients de cette compagnie paie une prime de 860$ pour assurer ses meubles, quelles sont les valeurs possibles du total de ses biens assurables. 2. Clément, un biologiste de la vie marine, s’intéresse à différents écosystèmes. Plusieurs données sont alors prises en considération dont la pression agissant sur ces derniers. À la surface, la pression est de 1 bar et elle augmente de 1 kg / cm2, c'est-à-dire 1 bar, à tous les 10 mètres de profondeur. Afin de simplifier ses calculs, Clément considère que l’augmentation de la pression ne se fait pas graduellement, mais qu’elle augmente par saut de 1 bar à tous les 10 mètres de profondeur. a) Soit x représentant la profondeur de l’écosystème et E(x) la pression en bars, déterminez la règle qu’il utilisera afin de déterminer la pression exercé sur l’écosystème. b) Lors de cette étude, Clément a découvert une bactérie dite barophile, c'està-dire une bactérie que l’on retrouve surtout dans les écosystèmes où la pression est supérieure à 400 bars. Déterminez la profondeur minimale des écosystèmes dans lesquels se développe cette bactérie. 3. Un informaticien travaille à la conception d’un nouveau logiciel qui sera utilisé en comptabilité. Il doit intégrer une nouvelle fonction permettant d’arrondir les nombres. a) Puisque les comptables travaillent avec des valeurs monétaires, déterminez la fonction qui permet d’arrondir les nombres positifs au centième inférieur ou égal. b) Déterminez la fonction qui permet d’arrondir les nombres négatifs au centième supérieur ou égal. 4. L’énergie cinétique d’un objet en en mouvement est donné par l’équation suivante : mv 2 où m est la masse de l’objet (en kg) Ec 2 v est la vitesse de l’objet (en m/s) et Ec est l’énergie cinétique (en joules). a) Déterminez l’équation de la vitesse de l’objet en fonction de l’énergie cinétique de ce dernier. b) Représentez graphiquement cette fonction sachant que le masse du mobile est de 5 kg. c) Sachant que la vitesse du mobile est de 10 m/s, déterminez l’énergie cinétique de ce dernier. 5. Un climatologue tente d’établir que la vitesse d’un tsunami (en m/s) est reliée à la profondeur de l’océan (en m). Voici les données qu’il a recueillies : Profondeur de l’océan (en m) Vitesse du tsunami (en km/h) 0 0 500 70 2000 140 4500 210 a) Quelle est la règle de cette fonction ? b) Représentez graphiquement cette fonction. c) Quelle est la vitesse du tsunami si la profondeur de l’océan est : 1) 3000 mètres 2) 5500 mètres 3) 7000 mètres 8000 280 6. En économie, on utilise souvent des fonctions pour représenter la demande et l’offre d’un produit en fonction de son prix. La demande d’un produit augmente lorsque son prix diminue. L’offre, quant à elle, augmente lorsque le prix du produit augmente. Le prix d’équilibre d’un produit correspond au point d’intersection de l’offre et de la demande. La demande d’un produit selon son prix est donnée par la fonction D(x) = 240 – 8 et l’offre par la fonction O(x) = 0,4x, où x représente le prix du produit. En tentant de trouver le prix d’équilibre de ce produit, Maude a obtenu un résultat d’environ 2238 $. En observant son graphique, elle se rend compte que ce résultat est impossible. Aidez-la à déterminer le prix d’équilibre et expliquez d’où provient son erreur. 7. Lorsqu’un corps tombe en chute libre, et que sa vitesse initiale est nulle, on peut déterminer la hauteur de l’objet à l’aide de l’équation suivante. h = h0 + at2, où h est la hauteur de l’objet ; h0 est la hauteur initiale de l’objet ; a = –9,8 m/s2 est l’accélération gravitationnelle ; t est le temps en secondes. Un objet est lâché du toit d’un édifice de 80 m de hauteur. On veut connaître le temps que met l’objet avant de toucher le sol. a) Trouvez une fonction permettant de calculer le temps écoulé depuis que l’objet a été lâché, en fonction de la hauteur de l’objet. b) Représentez graphiquement cette fonction et indiquez, sur le graphique, les points correspondant au moment où l’objet est lâché et au moment où l’objet touche le sol. c) Estimez le temps de chute de l’objet. 8. Anna, qui est pâtissière, confectionne au moins 60 gâteaux par semaine. La préparation de chaque gâteau nécessite 400 g de farine, qu’Anna achète en sacs de 2 kg. Un ami lui fait remarquer qu’en achetant des sacs de 5 kg elle économiserait au moins 30 $ par semaine. Que pensez-vous de cette affirmation, sachant qu’un sac de 2 kg de farine coûte 3 $ alors qu’un sac de 5 kg coûte 5,50 $ ? 9. Martin hésite entre deux forfaits proposés par deux compagnies de service Internet, qui imposent toutes deux une limite de téléchargement de 30 gigaoctets par mois. Le tarif de base de la première compagnie est de 32 $ par mois, auquel s’ajoutent des frais de 6 $ pour chaque tranche complète de 1 gigaoctet supplémentaire. Dans le cas de la seconde, les frais de base sont de 45 $ et il faut payer 5 $ pour chaque gigaoctet complet supplémentaire. Expliquez à Martin dans quelle circonstance le forfait de la première compagnie est le plus avantageux et dans quelle circonstance c’est l’autre. 10. Olivier veut concevoir un jardin rectangulaire sur son terrain. La largeur du jardin sera de 2,5 m, mais la longueur reste à déterminer. Olivier estime qu’un sac de terre devrait être suffisant pour couvrir une surface de 3 m2 et il ne veut pas acheter plus de 10 sacs pour son jardin. Déterminez la longueur que pourrait avoir le jardin si Olivier se sert de 10 sacs de terre exactement.