Partie Mécanique TD 2 Dynamique du point en référentiel galiléen

Lycée Kérichen
MPSI 2
2013-2014
Méthode de traitement des exercices:
•Définissez le système sur lequel vous travaillez
•Identifiez le référentiel dans lequel vous étudiez le mouvement
•Faites un bilan des forces s'exerçant sur le système et représentez-les sur un schéma
•Choisissez une base de projection adaptée au système
•Appliquez la loi de la quantité de mouvement au système et projetez la relation vectorielle
obtenue sur chacun des axes choisis
•Intégrez ou résolvez les équations différentielles obtenues en tenant compte des
conditions initiales suivant chaque axe
Exercice 1: Frottements proportionnels au carré de la vitesse:
1. Une sphère en plomb de rayon r = 1,00 cm et de masse volumique ρ = 11,34 g.cm-3 est
suspendue à un point fixe O par un fil et se trouve placée dans une soufflerie. La vitesse
du vent, horizontale, a pour valeur v0 = 10,0 m.s-1 et le fil fait alors un angle α = 1,68.10-2
rad avec la verticale.
Sachant que la résistance de l'air est de la forme
f=kπr2v0
2
, déterminez le
coefficient k et précisez son unité dans le système international.
2. Cette sphère est maintenant lâchée sans vitesse initiale dans l'air. La résistance de l'air
est alors
f=kπr2v2
avec v la vitesse de la sphère.
a) Déterminez la loi de vitesse de la chute en faisant apparaître une vitesse limite vl et un
temps caractéristique τ .
b) Déduisez-de la question précédente la loi horaire z(t). Comment varie z(t) pour t>>τ ?
c) Représentez graphiquement v(t) et z(t).
d) Que devient l'expression de z(t) à très faible vitesse ?
3. Approche numérique : Utilisation de Python
Données :
∫du
1−u2=argth(u)+C
Développement limité de ch(x) au voisinage de zéro :
ch (x)=1+x2
2!+x4 4!+...
Développement limité de ln(1+ x) au voisinage de zéro :
ln(1+x)=x−x2
2+x3 3+...
Partie Mécanique
TD 2 Dynamique du point en
référentiel galiléen

Exercice 2: Youpi!
Le jeune esquimau Aputik de masse m est assis au sommet d'un igloo sphérique de rayon R0 . Il
commence à glisser en partant du repos et en supposant que le mouvement se fait sans frottement
.
Exercice 3: Professeur Tournesol en action !
C'est bien connu, l'éminent professeur Tryphon Tournesol ne se sépare jamais de son pendule.
Pourtant, vous êtes-vous déjà demandé quel angle formait le fil avec la verticale ?
On suppose que Tryphon Tournesol parvient à faire tourner son pendule autour de l'axe Oz dans le
plan passant par O à une vitesse angulaire constante ω dans le référentiel lié au laboratoire.
La direction du fil fait alors un angle α avec l'axe Oz.
Modélisons cette affaire-là :
On peut assimiler le pendule à un point matériel M de masse m suspendu à un fil inextensible de
longueur L attaché en un point O1 fixe d'un axe Oz.
Déterminez l'expression de l'angle α entre la direction du fil et l'axe Oz en fonction de ω, L, et
du champ de pesanteur g.
1. Donnez l'expression de la force de contact entre
l'homme et l'igloo en fonction de l'angle θ, de m et du
champ de pesanteur g.
2. Déterminez l'angle θ0 pour lequel l'esquimau quitte
l'igloo.
Notion essentielle pour réussir les exercices qui suivent :
Lorsqu'un corps est plongé dans un fluide au repos (sans contact avec les parois), la
résultante des forces de pression se nomme « Poussée d'Archimède »
⃗
Π
et est égale au
poids du volume de fluide déplacé.
⃗
Π=−ρ fluide V ⃗ g
pour un corps de volume V.

Exercice 4 : Bien plus grand qu'il n'y paraît :
On considère un iceberg cubique de côté a flottant à la surface de l'océan. A l'équilibre, l'iceberg
émerge d'une hauteur h au-dessus de la surface .
Calculez le rapport
h
a
en supposant que cet iceberg à 0° C flotte sur l'eau à 0°C . Vous
justifierez les hypothèses faites (s'il y en a ).
Données : masse volumique de l'eau liquide ρl = 1,00.103 kg..m-3, masse volumique de la glace ρg =
0,92.103 kg..m-3, masse volumique de l'air ρair = 1,3 kg..m-3
Exercice 5: Bouée à l'entrée d'un port:
Une bouée munie d’un éclairage, est placée à
l’entrée d’un port. Le poids de l’ensemble sans
lest est de 300 daN.
1. Déterminez le volume minimal du lest et
sa masse.
Exercice 6: Plate-forme pétrolière:
Quelques résultats:
Exercice 1: 1) k =
4r ρg
3v0
2⋅tan α=0,25 kg.m−3
2) vlim =
√
4rρg
3k =77 m.s−1=277 km.h−1
Exercice 2:
1) R = mg (-2 + 3 cos θ) ;2) θ0 = 48,2 °
Exercice 3: cos α = g / (Lω2)
Exercice 4 : h / a = 0,08
Exercice 5: Vlest = 0,51 m3 et mlest = 1229 kg
Exercice 6: mplateforme = 25680 tonnes
Une plate-forme est utilisée pour la recherche
pétrolière. Elle se compose de deux flotteurs
parallélépipédiques (100 ×12 ×10) liés à la plate-forme
par quatre piliers cylindriques de diamètre 8 m. Les
flotteurs sont enfoncés de 5 m sous la surface de l’eau.
Déterminez la masse totale de l’ensemble.