T ES Dérivation et continuité

Dérivation et continuité
I.
Dérivée en a
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de cet intervalle.
Soit C f la courbe représentative de f dans un repère donné.
1) Nombre dérivé
f( a h) f( a)
admet une limite finie quand h tend vers 0, alors la fonction f
h
est dérivable en a.
Si le quotient
La limite de ce quotient est le nombre dérivé de f en a.
f( a h) f( a)
On le note f’(a) et f’(a) = lim
.
h 0
h
2) Tangente en A
Soit A le point d’abscisse a de C f .
La droite T passant par A, de coefficient directeur f’(a), est la tangente en A à la courbe C f.
Son équation réduite est : y = f’(a) ( x – a ) + f(a).
Cette tangente est la représentation d’une fonction affine g.
On admet que g est la meilleure approximation affine de la fonction f en a.
Ainsi, pour tout réel proche de a, on peut écrire : f(x) f’(a) ( x – a ) + f(a).
II. Fonction dérivée
1) Fonction dérivée
Si f est une fonction définie sur un intervalle I telle que :
pour tout x de I le nombre dérivé de f en x existe
alors f est dérivable sur I
et la fonction dérivée de f est la fonction f’ qui, à tout réel x de I associe f’(x).
f’ : x  f’(x)
La définition du nombre dérivé permet le calcul ponctuel d’un nombre dérivé ou permet de
démontrer qu’une fonction est dérivable en une valeur.
La plupart du temps, on applique les règles de calcul ci-dessous :
2) Dérivées de fonctions usuelles
Fonction f
Fonction dérivée f’
f(x) = k ( constante )
f(x) = x
f(x) = x n (n 2 )
1
f(x) =
x
1
f(x) = n
x
f’(x) = 0
f’(x) = 1
f’(x) = nxn-1
1
f’(x) =
x2
n
f’(x) =
xn 1
1
f’(x) =
2 x
f(x) =
x
Ensemble de
dérivabilité
R
R
R
R*
R*
R +*
3) Règles de dérivation
u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I et k un réel ; les formules suivantes
permettent de déterminer la dérivée d’une fonction f obtenue par opérations.
Somme
Produit
Fonction f
Fonction dérivée f’
f=u+v
f’ = u’ + v’
f=ku
f’ = k u’
f=uv
f’ = u’ v + v’ u
1
v
u
f=
v
f=
Quotient
f’ =
v'
2
v
u'v v'u
f’ =
v2
v(x)
0
4) Exemples
Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
x 3 3x 2
3
f(x) =
f’(x) = (x 2 1)
4
4
2
2x
x 8
x2 4
g(x) =
g’(x)
=
x2 4
(x 2 4) 2
1
4
1 8
h(x) =
h’(x) = 2
2
x x
x
x3
III. Dérivée et sens de variation
Théorème
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
Si, pour tout x de I, f’(x) > 0, alors f est strictement croissante sur I.
Si, pour tout x de I, f’(x) < 0, alors f est strictement décroissante sur I.
Si, pour tout x de I, f’(x) = 0, alors f est constante sur I.
Ce théorème permet d’obtenir le tableau de variations d’une fonction et de lire les
extremums, s’ils existent : si la dérivée s’annule en changeant de signe, la fonction f admet
un extremum.
Exemple :
Etudier le sens de variation de la fonction f(x) = x2 ( 2 – x )3.
( f’(x) = x (2 – x )( 4 – 5x ) )
IV. Fonctions composées
1) Fonction gou
Sous réserve de l’existence de cette fonction, l’expression de la fonction composée gou est
donnée par le montage :
x
u
u(x) = X
X
g
g(X) = g(u(x)) = (g o u)(x)
Dans l’écriture f(x) = (g o u)(x), u est placé juste devant x, ce qui indique que l’on applique u à
x, puis on applique g à u(x).
Exemple :
Soit g(x) = x et u(x) = 5-x
Déterminer g o u puis u o g
Déterminer leur ensemble de définition
2) Sens de variation
Soit I un intervalle où la fonction composée gou existe.
Si les deux fonctions ont le même sens de variation, alors leur composée est croissante
sur I.
Si les deux fonctions sont de sens de variation contraires, alors leur composée est
décroissante sur I.
Exemple :
Soit f(x) =
3) Dérivée
5 x , déterminer son sens de variation sur ] -õ ; 5 ]
Soit u et g deux fonctions telles que la composée f = gou existe sur un intervalle I.
Soit x I
Si u est dérivable en x et g est dérivable en u(x), alors la composée f = gou est dérivable en
x et :
f’(x) = g’(u(x)) u’(x)
Dans le cas où g est une fonction usuelle connue et u une fonction dérivable sur I, on obtient
les formules suivantes :
fonction
dérivée
fonction dérivée
f = un
f=
f’ = n un 1 u’ (n ≥ 1)
1
u
f’ =
1
u
2
u'
u'
u
2
( u(x)
0)
Exemples :
Dériver les fonctions suivantes :
f(x) =
g(x) =
V.
100
x2
5
( 4x 1) 2
f’(x) =
f=
u
f’ =
f=
1
un
f’ =
1
2 u
n
u
n 1
u'
u'
u'
( u(x) > 0)
2 u
nu'
u
n 1
( u(x) 0)
x
100 x
40
g’(x) =
( 4x 1) 3
Continuité Equation
1) Notion intuitive de continuité
Une fonction f est continue sur un intervalle I si elle est définie sur cet intervalle et si sa
courbe se trace d’un « trait continu », sans lever le crayon.
Exemples :
f(x) = x
1
g(x) =
x
2) Valeurs intermédiaires
Théorème :
Si f est une fonction continue sur un intervalle [a ; b ], et si k est un réel quelconque situé
entre f(a) et f(b) ( ces deux valeurs comprises), alors il existe au moins un nombre c dans [
a ; b ] tel que f(c) = k
Cas particulier :
Si f est continue sur [a ; b] et que f(a) et f(b) ont des signes opposés, alors l’équation f(x) =
0 admet au moins une solution sur [a ; b].
3) Equation f(x) = k
Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a ; b ], alors pour
tout réel k situé entre f(a) et f(b) ( ces deux valeurs comprises), l’équation f(x) = k admet
une unique solution.