Exercices sur les espaces affines euclidiens Exercice 1. Cours (1

Exercices sur les espaces affines euclidiens
Exercice 1. Cours
(1) Dans un espace vectoriel euclidien, deux sous-espaces vectoriels non nuls orthogonaux
sont-ils toujours en somme directe ?
(2) Montrer en utilisant la forme r´ eduite que le d´ eterminant d’une isom´ etrie est (−1)codimE1
o` uE1est l’espace propre de valeur propre 1.
(3) Rappeler toutes les isom´ etries du plan euclidien et de l’espace euclidien de dimension
3, en pr´ ecisant leur partie lin´ eaire, leur point fixe, leur axe, leur composante ` a point fixe
et leur composante de glissement.
(4) Rappeler la construction de l’axe radical de deux cercles non s´ ecants.
(5) D´ eterminer le groupe d’isom´ etries d’un segment dans le plan euclidien.
Exercice 2.
Soit Aet Bdeux points fix´ es dans un plan affine euclidien. D´ eterminer le lieu des points M
du plan o` uMA ⊥MB.
Exercice 3.
Le but de cet exercice est de d´ emontrer que le sym´ etrique de l’orthocentre Hd’un triangle
non plat ABC par rapport ` a un des cot´ es (par exemple (AC)) est sur le cercle circonscrit.
Soit ABC un triangle non plat. La hauteur issue de Acoupe (BC)en A0et la hauteur issue
de Ccoupe (AB)en C0. D´ emontrer que les points A0, B, C0et Hsont cocycliques. D´ emontrer
que les angles de droites ((BC0),(BA0)) et ((HC0),(HA0)) sont ´ egaux. Conclure.
Exercice 4.
Deux cercles sont dits orthogonaux si les tangentes aux points d’intersection sont orthogo-
nales. Montrer que les cercles Cet C0sont orthogonaux si et seulement si la puissance du centre
de Cpar rapport ` aC0est ´ egale au carr´ e du rayon de C.
Exercice 5.
Soit Aet Bdeux points d’un plan affine euclidien. D´ eterminer suivant la valeur de la constante k,
(1) l’ensemble des points Mdu plan tels que MA2+MB2=k
(2) l’ensemble des points Mdu plan tels que MA2−MB2=k
(3) et l’ensemble des points Mdu plan tels que MA/MB =k
(4) l’ensemble des points Mdu plan tels que MA/MB < k
1

2
Exercice 6.
En d´ ecomposant les rotations en produits de r´ eflexions, d´ eterminer le centre d’une compos´ ee
de deux rotations dont la somme des angles n’est pas nulle modulo 2π.
Exercice 7. D´ ecomposition des isom´ etries planes
– Que peut-on dire d’une isom´ etrie plane qui a trois points fixes non align´ es ?
– Soit φune isom´ etrie plane qui a deux points fixes distincts Aet B. Soit Cun point hors de
la droite (AB)et C0son image par φ. Si C0est diff´ erent de C, d´ eterminer la m´ ediatrice du
segment [CC0]et montrer que s(AB)◦φest l’identit´ e. En d´ eduire la nature de φ.
– Soit φune isom´ etrie diff´ erente de l’identit´ e qui a un point fixe A. Soit Bun autre point
du plan et B0son image. Si B0est diff´ erent de B, soit dla m´ ediatrice du segment [BB0]
Montrer que sd◦φa deux points fixes. Montrer que φest compos´ ee de r´ eflexions.
– Montrer qu’une isom´ etrie plane qu’une isom´ etrie qui n’a pas de point fixe peut s’´ ecrire
compos´ ee de moins de trois r´ eflexions.
Exercice 8.
On munit le plan affine euclidien d’un rep´ ere orthonorm´ e(O, i, j)et on l’identifie au plan
complexe. Ecrire ` a l’aide des affixes complexes, la sym´ etrie gliss´ ee d’axe d’´ equation (x+y=2)
et de vecteur (3,3).
Exercice 9 (D´ eterminer une rotation ` a partir d’images).
Soit Eun plan affine euclidien muni d’un rep` ere cart´ esien orthonorm´ e. Soient A,B,Cet D
les points de Edont les coordonn´ ees sont
A: (0,3), B : (2,1), C : (2,3) et D: (0,1).
(1) Montrer que les droites (A, B)et (C, D)sont orthogonales et expliciter les coordonn´ ees
de leur point d’intersection.
(2) Prouver l’existence d’une rotation qui envoie Asur C,Csur B,Bsur Det Dsur A.
Expliciter une repr´ esentation matricielle de cette rotation.
Exercice 10 (Trouver l’isom´ etrie).
Soit Eun espace affine euclidien de dimension 3 muni d’un rep` ere cart´ esien orthonorm´ e. On
note vla transformation de Edans Equi envoie le point de coordonn´ ees (x, y, z)sur le point
de coordonn´ ees (x0, y0, z0)d´ efinies par :
x0=2x−2y+z+ 1
3;y0=2x+y−2z+ 2 3;z0=x+ 2y+ 2z+ 5 3.
Montrer que vest une isom´ etrie de E. Pr´ eciser de quel type d’isom´ etrie il s’agit. Expliciter
son axe et son vecteur de glissement.

3
Exercice 11 (Compos´ ee d’isom´ etries).
Soit Eun espace affine euclidien de dimension 3muni d’un rep` ere cart´ esien orthonorm´ e
(O, i, j, k). On d´ esigne par Dla droite d’´ equation (x= 0, z = 1) et par D0la droite d’´ equation
(y= 0, z = 0). On note SDla sym´ etrie par rapport ` a la droite Det Rθla rotation d’axe D0et
d’angle θ(en consid´ erant la base (j, k)comme directe). On pose ϕ=SD◦Rθ.
(1) ´ Ecrire dans la base (i, j, k)la matrice de −→ SD, celle de −→ Rθet celle de −→ ϕ.´ Ecrire les
expressions analytiques de SDet de Rθdans le rep` ere (O, i, j, k).
(2) Montrer que ϕest une sym´ etrie ´ eventuellement gliss´ ee d’axe une droite ∆.
(3) Pour tout point Mde E, prouver que les milieux de M, s∆(M)et de M, ϕ(M)sont
sur ∆.
(4) En utilisant le point O, montrer que ∆passe par le point de coordonn´ ees (0,0,1). et est
contenue dans le plan affine d’´ equation x= 0.
(5) Donner les composantes du vecteur de glissement de ϕen fonction de θ.
Exercice 12.
Soit Cun cercle et −→ uun vecteur. Construire une corde [AB]du cercle Ctelle que −→ AB =−→ u.
Construire un segment [AB]connaissant son milieu Iet sachant que Aappartient ´ e une droite
donn´ ee det B´ e un cercle donn´ eC.
Construire un carr´ eABCD sachant que Aet Csont sur une droite donn´ ee d1que Best sur
une droite donn´ ee d2et que Dest sur une droite donn´ ee d3.
Exercice 13.
Soit dune droite. Soit Cun cercle et Aun point de C. Construire un cercle tangent ` a la droite
det tangent en Aau cercle C.
Exercice 14.
On consid´ ere le plan muni d’un un rep` ere orthonorm´ e (O, −→ ı , −→ ) et la courbe (C) d’´ equation
x2+xy +y2+x−y= 0
1) Montrer que cette courbe poss´ ede un centre de sym´ etrie Ωet donner son ´ equation dans le
rep` ere (Ω,−→ ı , −→ )
2) Montrer que dans le rep` ere (Ω,−→ ı , −→ ) la premi` ere bissectrice ∆est axe de sym´ etrie.
3) On consid` ere le rep` ere orthonorm´ e direct (Ω,−→ I , −→ J) o` u−→ Iest un vecteur unitaire de ∆.
Donner l’´ equation de (C) dans ce rep` ere.
4) Montrer que dans le rep` ere (Ω,−→ ı , −→ ) la seconde bissectrice ∆0est axe de sym´ etrie.
Donner les ´ equations de ∆et ∆0dans le rep` ere (O, −→ ı , −→ ).
Sachant que (C) est une ellipse tracer (C) dans le rep` ere (O, −→ ı , −→ ).

4
Exercice 15.
Reprendre l’exercice pr´ ec´ edent mais en utilisant la th´ eorie des formes quadratiques et leur
application aux coniques. Notamment retrouver les axes de (C).
Exercice 16.
On consid´ ere le plan muni d’un un rep` ere orthonorm´ e (O, −→ ı , −→ ) et la courbe (C) d’´ equation
x2−3xy + 2y2+ 2x−3y+ 1 = 0
1) Montrer que cette courbe poss` ede un centre de sym´ etrie Ωet donner son ´ equation dans le
rep` ere (Ω,−→ ı , −→ )
2) En d´ eduire que (C) est la r´ eunion de deux droites dont on donnera les ´ equations dans le
r` epere (O, −→ ı , −→ )
Exercice 17.
On consid` ere le plan muni d’un un rep` ere orthonorm´ e (O, −→ ı , −→ ) et la courbe (C) d’´ equation
2x2+ 3xy −2y2−10 = 0
1) V´ erifier que Oest un centre de sym´ etrie. Trouver une base orthonormale tel que l’´ equation
de (C) soit de la forme x2
a2−y2 b2= 1 (a, b r´
eels).
2) Donner l’´ equation des asymptotes de (C) et tracer (C) dans le rep` ere orthonorm´ e (O, −→ ı , −→ ).
Exercice 18.
On consid` ere le plan euclidien muni d’un un rep` ere orthonorm´ e (O, −→ ı , −→ ) et la courbe (C)
d’´ equation
4x2−4xy +y2−3x−y−1=0
1) Montrer que (C) est une parabole.
2) Trouver un rep` ere orthonorm´ e (S, −→ u1,−→ u2) tel que (C) ait une ´ equation de la forme x2= 2py
dans ce rep` ere.