Le théor`eme de Morita

Le th´eor`eme de Morita
´
Equivalences entre cat´egories de modules
Erwan Biland
Universit´e Paris 7 - Universit´e Laval
S´eminaire d’alg`ebre et g´eom´etrie gradu´e
Vendredi 25 f´evrier 2011

Objectifs
1 - Compl´ements sur les cat´egories ab´eliennes
Le foncteur Hom
Objet projectif
Objet g´en´erateur
2 - Bimodules et foncteurs associ´es
Notations sur les bimodules
Produit tensoriel
Le th´eor`eme de Morita
3 - Applications
Alg`ebres simples centrales
Structure locale des groupes finis
Prolongements : ´equivalences stables, d´eriv´ees...
Erwan Biland (Paris 7 - Laval) Le th´eor`eme de Morita SAGG - 25 f´evrier 2011 2 / 17

Qu’est-ce qu’une cat´egorie additive ?
R´ef´erence : Kashiwara, Schapira, Categories and Sheaves
D´efinition. La cat´egorie Cest additive si :
Pour tous objets Xet Y, l’ensemble homC(X,Y) a une structure de
Z-module, et la composition est bilin´eaire ;
Pour tous objets Xet Y, le produit X×Yet le coproduit XtY
sont canoniquement isomorphes (on les note X⊕Y) ;
Il existe un objet nul 0C.
Remarque. On peut en fait donner une d´efinition intrins`eque, sans
r´ef´erence `a la structure de Z-module sur les morphismes, qui apparaˆıt
comme une cons´equence. Ainsi cette structure est en fait unique.
Cons´equence. Soit F:C → C0un foncteur entre cat´egories additives. Si
Fest pleinement fid`ele, alors il est additif (Z-lin´eaire sur les morphismes).
Erwan Biland (Paris 7 - Laval) Le th´eor`eme de Morita SAGG - 25 f´evrier 2011 3 / 17

Qu’est-ce qu’une cat´egorie additive ?
R´ef´erence : Kashiwara, Schapira, Categories and Sheaves
D´efinition. La cat´egorie Cest additive si :
Pour tous objets Xet Y, l’ensemble homC(X,Y) a une structure de
Z-module, et la composition est bilin´eaire ;
Pour tous objets Xet Y, le produit X×Yet le coproduit XtY
sont canoniquement isomorphes (on les note X⊕Y) ;
Il existe un objet nul 0C.
Remarque. On peut en fait donner une d´efinition intrins`eque, sans
r´ef´erence `a la structure de Z-module sur les morphismes, qui apparaˆıt
comme une cons´equence. Ainsi cette structure est en fait unique.
Cons´equence. Soit F:C → C0un foncteur entre cat´egories additives. Si
Fest pleinement fid`ele, alors il est additif (Z-lin´eaire sur les morphismes).
Erwan Biland (Paris 7 - Laval) Le th´eor`eme de Morita SAGG - 25 f´evrier 2011 3 / 17

Qu’est-ce qu’une cat´egorie additive ?
R´ef´erence : Kashiwara, Schapira, Categories and Sheaves
D´efinition. La cat´egorie Cest additive si :
Pour tous objets Xet Y, l’ensemble homC(X,Y) a une structure de
Z-module, et la composition est bilin´eaire ;
Pour tous objets Xet Y, le produit X×Yet le coproduit XtY
sont canoniquement isomorphes (on les note X⊕Y) ;
Il existe un objet nul 0C.
Remarque. On peut en fait donner une d´efinition intrins`eque, sans
r´ef´erence `a la structure de Z-module sur les morphismes, qui apparaˆıt
comme une cons´equence. Ainsi cette structure est en fait unique.
Cons´equence. Soit F:C → C0un foncteur entre cat´egories additives. Si
Fest pleinement fid`ele, alors il est additif (Z-lin´eaire sur les morphismes).
Erwan Biland (Paris 7 - Laval) Le th´eor`eme de Morita SAGG - 25 f´evrier 2011 3 / 17