Mathématiques Maria-Paula Gomez-Aparicio

UNIVERSITÉ PARIS 7 - DENIS DIDEROT
INSTITUT DE MATHÉMATIQUES DE JUSSIEU
Thèse de Doctorat
Spécialité : Mathématiques
présentée par
Maria-Paula Gomez-Aparicio
pour obtenir le grade de
Docteur de l’Université Paris 7
Propriété (T) et morphisme de Baum-Connes tordus
par une représentation non unitaire
soutenue le 14 décembre 2007 devant le jury composé de :
M. Jean-Benoît Bost Examinateur
M. Alain Connes Examinateur
M. Vincent Lafforgue Directeur de thèse
M. Hervé Oyono-Oyono Rapporteur
M. Georges Skandalis Examinateur
M. Alain Valette Rapporteur

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Résumé
Cette thèse concerne des variantes de la propriété (T) de Kazhdan et de la conjec-
ture de Baum-Connes tordues par des représentations de dimension finie qui ne sont
pas nécessairement unitaires.
Soit Gun groupe localement compact et (ρ, V )une représentation de dimension fi-
nie non nécessairement unitaire de G. Dans le Chapitre 1, si ρest irréductible, nous
allons définir une version tordue de la propriété (T) en considérant des produits
tensoriels par ρde représentations unitaires de G. Nous allons alors définir deux
algèbres de Banach tordues,Aρ(G)et Aρ
r(G), analogues aux C∗-algèbres de groupe,
C∗(G)et C∗
r(G), et nous allons définir la propriété (T) tordue par ρen termes de
Aρ(G). Nous allons ensuite montrer que la plupart des groupes de Lie semi-simples
réels ayant la propriété (T) ont la propriété (T) tordue par n’importe quelle repré-
sentation irréductible de dimension finie.
Les Chapitres 2et 3seront consacrés au calcul de la K-théorie des algèbres tordues.
Nous allons, en effet dans le Chapitre 2, définir une application d’assemblage tor-
due du membre de gauche du morphisme de Baum-Connes, noté Ktop(G), dans la
K-théorie de Aρ
r(G). Nous allons ensuite montrer, dans le Chapitre 3, que ce mor-
phisme de Baum-Connes tordu est bijectif pour une large classe de groupes vérifiant
la conjecture de Baum-Connes.
Dans le Chapitre 4, nous allons voir que le produit tensoriel par ρdéfinit un mor-
phisme de Aρ
r(G)dans C∗ r(G)⊗End(V)qui fournit un morphisme de groupes de
K(Aρ
r(G)) dans K(C∗ r(G)). Nous allons calculer ce morphisme sur l’image de l’ap-
plication d’assemblage tordue. Pour cela, nous allons définir une action de l’anneau
des représentations de dimension finie de Gsur Ktop(G)qui sera compatible avec le
produit tensoriel par ρainsi qu’avec le morphisme de Baum-Connes tordu.

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A mis papas