Arithmétique

13 – Probabilités
I – Loi de probabilité sur un ensemble fini
1) Définitions
Définition
Une expérience est dite aléatoire lorsqu’elle a plusieurs issues (ou résultats) possibles et que l’on ne
peut ni prévoir, ni calculer laquelle de ces issues sera réalisées.
Notation : On note
l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire.
Exemple
Pour un lancé de dé à six faces , on a
.
Définition
Définir une loi de probabilité sur E, c’est associer à chaque issue
telle façon que
.
Ce nombre est appelé probabilité de l’issue .
un nombre
, positif ou nul de
Remarque
Exemple
Si le dé de l’exemple précédent est équilibré, chacune des faces a la même probabilité d’apparaitre,
donc :
On présente la loi de probabilité sous forme d’un tableau :
1
2
3
4
5
6
Définition-Propriété
Dans le cas où l’on associe à chacune des n issues d’une expérience aléatoire la même probabilité p, on
parle de loi équirépartie. On a alors p = 1/n.
2) Modélisation d’une expérience aléatoire
Modéliser une expérience aléatoire dont les issues constituent l’ensemble E, c’est un choisir une loi de
probabilité sur E qui représente au mieux les chances de réalisation de chaque issue.
Exemple 1
Imaginons une étude statistique sur très grand nombre de lancés d’un dé truqué pour établir la loi de
probabilité….
Exemple 2
En France, 51 % des nouveau-nés sont des garçons. Un jour donné, on choisit au hasard un nouveau-né
et on note son sexe. Quelle est la loi de probabilité de cette expérience aléatoire ?
Sexe
Probabilité
Garçon
Fille
II – Probabilité d’un évènement
1) Notion d’évènement
Définition
Un évènement A est une partie (ou sous-ensemble) de l’ensemble E des issues d’une expérience
aléatoire.
Vocabulaire-Notations
 On note A E.
 Dire que issue a de l’expérience aléatoire réalise l’évènement A signifie que a est un élément de
A. On note a A.

est appelé évènement impossible, aucune issue ne le réalise.
 E est appelé évènement certain, toutes les issues le réalisent.
Exemple
On lance un dé à six faces numérotées de 1 à 6.
A : « Obtenir 7 » est l’évènement impossible. A = .
B : « Obtenir un résultat inférieur ou égal à 6 » est l’évènement certain. A = E.
2) Probabilité d’un évènement
Définition
Une loi de probabilité étant définie sur un ensemble E, la probabilité d’un évènement A est la somme
des probabilités des issues qui le réalisent. On la note p(A).
Propriétés
 p( ) = 0.
 p(E) = 1.
 0 p(A)
1.
Exemple
Voici la loi de probabilité d’un dé truqué :
Face
1
2
3
4
5
6
Probabilité
La probabilité de l’évènement A « Obtenir un résultats pair » est :
Propriété
Dans le cas d’une loi équirépartie, la probabilité d’un évènement A est :
3) Intersection et réunion d’évènements
Définitions
Soient A et B deux évènements.
 L’intersection de A et B est l’évènement formé des issues qui réalisent à la fois l’évènement A
et l’évènement B. Il est noté A B.
 La réunion de A et B est l’évènement formé des issues qui réalisent l’évènement A ou
l’évènement B. Il est noté A B.
Exemple
On tire une boule dans une urne contenant des boules numérotées de 1à 10, indiscernable au touché.
Ecrire en extension les évènements :
A : « Le nombre tiré est divisible par 5 » : ………………………………………………..
B : « Le nombre tiré est strictement inférieur à 5 » : …………………………………………….
A B : …………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………
A B : ……………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………….
Propriété
Pour tous les évènements A et B, on a : p(A B) = p(A)+p(B)-p(A B).
Remarque
Lorsque A B= , on dit que A et B sont incompatibles et on a alors p(A B) = 0 et p(A B) =
p(A)+p(B)
4) Evènement contraire
Définition
L’évènement contraire de A est l’évènement formé des issues qui ne réalisent pas A. Il est noté .
Propriété
Pour tout évènement A, p(A)+p( ) = 1, ou encore p( ) = 1-p(A).