Modèle mathématique.

Trigonométrie
I) Relations trigonométriques dans le triangle rectangle
1) Cosinus d'un angle aigu
Quel que soit l'angle aigu x d'un triangle rectangle, on a :
cos x
hypoténuse
adjacentcôté
cos ;ABC
BC
AB
cos ;ACB
BC
AC
Il faut mettre la calculatrice en mode degré !
 Calculer cos 60°.
 Calculer à 0,001 près cos 30° (  0,866).
 Calculer
L
ˆ
tel que cos
L
ˆ
= 0,81.
 Calculer IL à 0,1 près.
Dans NIL rectangle en I, on a : cos ;ILN
NL
IL
.
cosh40°
7
IL
.
ILh= 7  cos 40°  5,4.
 Calculer ;USD à 0,01° près.
Dans USD rectangle en U, on a : cos ;USD
UD
US
.
cosh ;USD
9
4
. ;USD  63,61°.
x

Soit x = ;ABC.
 Calculer BL à 0,1 près.
Dans BOL rectangle en O, on a : cos ;BLO
BL
LO
.
cosh50°
BL
3
.
BLh=
50cos3
 4,67.
2) Sinus d'un angle aigu
Quel que soit l'angle aigu x d'un triangle rectangle, on a :
sin x
hypoténuse
opposécôté
sin ;ABC
BC
AC
. sin
;ACB
BC
AB
.
3) Tangente d'un angle aigu
Quel que soit l'angle aigu x d'un triangle rectangle, on a :
tan x
adjacentcôté opposécôté
tan ;ABC
AB
AC
. tan ;ACB
AC
AB
.
II) Relations entre sinus, cosinus et tangente
1) cos x =
BC
AB
. sin x =
BC
AC
.
(cos x)2 = cos2 x =
2
2
BC
AB
. (sin x)2 = sin2 x =
2
2
BC
AC
.
ABC étant un triangle rectangle en A, on a d'après le théorème de Pythagore : AB2 + AC2 = BC2.

cos2 x + sin2 x =
2
2
2
22
2
2
2
2
BC
BC
BCACAB BC
AC
BC
AB 
.
Donc cos2 x + sin2 x = 1 .
2) tan x =
AB
AC
.
cos x =
BC
AB
; d'où : AB = BC cos x. sin x =
BC
AC
; d'où : AC = BC sin x.
Donc on a : tan x =
xcosxsin xcosBC xsinBC 
.
Donc tan x =
xcos xsin
.
Remarque : dans un triangle ABC rectangle en A :
3) Exemple : Soit x un angle aigu d'un triangle rectangle.
Sachant que cos x = 0,6 , calculer sin x et tan x sans calculer x.
 cos2 x + sin2 x = 1.
0,36 + sin2 x = 1.
sin2 x = 1 – 0,36 = 0,64 .
sin x =
64,0
= 0,80 ; car sin x > 0.
 tan x =
6
8
0,6
0,8
xcosxsin 
.
tan x
3
4
.
 AB < BC.
BC
AB
< 1.
 0 < cos x < 1.
 AC < BC.
BC
AC
< 1.
 0 < sin x < 1.