Chapitre 1 ‐ Trigonométrie

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Chapitre!1!‐!Trigonométrie!!
Généralités et rappels
Notations
Pour un triangle quelconque, on utilisera souvent les notations suivantes.
Pour chaque sommet, on utilise une majuscule, ici A, B ou C.
Pour un côté, on utilise la minuscule correspondant à la majuscule qui désigne le sommet
opposé, ici a en face de A, b en face de B et c en face de C.
Pour un angle, on utilise la lettre grecque minuscule correspondant à la majuscule qui désigne
le sommet en lequel se trouve l'angle, ici α en A, β en B, γ en C.
Et si, au lieu d'utiliser A, B et C, on utilisait L, M et N, qu'est-ce que cela donnerait ?
Les notations ne seront pas toujours nécessairement conformes à ce qui est indiqué ici. Ce qui est
important c'est que, dans toute situation, les notations soient clairement introduites.
Pour un triangle rectangle, on pourra avoir
ou
1"
Triangle ABC a = longueur du côté [BC].
b = longueur du côté [CA].
c = longueur du côté [AB].
α = amplitude de l'angle en A.
β = amplitude de l'angle en B.
γ = amplitude de l'angle en C.
"
Triangle LMN. = longueur du côté [ ].
= longueur du côté [ ].
= longueur du côté [ ].
= amplitude de l'angle en
= amplitude de l'angle en
= amplitude de l'angle en
"

et on peut en imaginer autant que l'on veut :
Exercices
1) On a planté dans le sol un mât de 6 m. Entre le sommet de ce mât et le sol, on a tendu
un câble de 10 m. On mesure une distance de 8,54 m entre la base du mât et le point
de fixation du câble sur le sol.
a) Le mât est-il planté bien droit ?
b) Qu'observerait-on s'il l'était ?
2) On souhaite déterminer la hauteur d'un arbre mais on ne peut pas en atteindre le sommet,
ni par soi-même, ni avec un instrument.
a) Comment peut-on faire ?
b) Donner un ensemble cohérant de grandeurs qui illustrent cette méthode.
3) Il est question, dans un catalogue, d'un écran de télévision de 42'' au format 16:9.
2"
Déterminer analytiquement, en cm et au mm près, la largeur
et la hauteur de cet écran. Faire un dessin bien proportionné.
Quelques précisions utiles.
Quand on parle de format 16:9, cela signifie que
la hauteur vaut 9/16 de la largeur.
Quand on parle d'un écran de 42'', cela signifie que
la diagonale de l'écran mesure 42 pouces.
1'' = 1 pouce = 2,54 cm exactement.

Triangles rectangles
Soit un triangle ABC rectangle en A.
Théorème de Pythagore
€
a2=b2+c2
"Le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la
somme des carrés des longueurs des deux autres côtés".
Sinus
€
sin γ=c
a
"Le sinus d'un angle non droit d'un triangle rectangle est le rapport de
la longueur du côté opposé à cet angle par la longueur de l'hypoténuse".
Cosinus
€
cos γ=b
a
"Le cosinus d'un angle non droit d'un triangle rectangle est le rapport de
la longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur de l'hypoténuse".
Tangente
€
tan γ=c
b
"La tangente d'un angle non droit d'un triangle rectangle est le rapport de
la longueur du côté opposé à cet angle par la longueur du côté adjacent "
Question
Que deviennent ces quatre formules dans
le cas d'un triangle ABC rectangle en B ?
3"

Corrigé des exercices
1) Notations : A = base du mât, B = sommet du mât, C = point de fixation du câble sur le sol.
On utilisera aussi les notations habituelles pour un triangle ABC : a, b, c pour les longueurs
des côtés et α, β et γ pour les amplitudes des angles.
Données
a = longueur du câble = 10 m
b = distance entre la base du mât et le point de fixation du câble sur le sol = 8,54 m
c = longueur du mât = 6 m
Inconnue
Le mât est-il planté bien droit ? Cela revient à se poser la question suivante : l'angle,
d’amplitude α, entre le sol et le mât, est-il un angle droit ?
Résolution
a) Si le mât est planté bien droit, le triangle ABC est rectangle en A. Le théorème de
Pythagore doit dans ce cas s'appliquer et on doit avoir
a2 = b2 + c2.
Or, nous avons
€
a2=10 m
( )
2=100 m2
et
€
b2+c2=8,54 m
( )
2+6 m
( )
2≈108,93 m2
donc a2 ≠ b2 + c2
donc le mât n'est pas planté bien droit.
b) Si le mât était planté bien droit, on aurait a2 = b2 + c2
donc
€
b2=a2−c2=10 m
( )
2−6 m
( )
2=100 m2−36 m2=64 m2
€
b=64 m2=8 m
Si le mât était planté bien droit, on mesurerait 8 m entre la base du mât et le point
de fixation du câble sur le sol.
Ce que l'on a : Ce que l'on aurait dû avoir :
Nous n'avons pas encore les outils pour déterminer la valeur d'α. Avant Pâques, nous les
aurons et nous pourrons calculer que α ≈ 85°.
mât câble mât câble
sol sol
4"

2) a) Choisissons un point A du sol, appelons B la base de l'arbre et C son sommet.
ABC est un triangle rectangle en B. Utilisons les notations habituelles a, b, c
pour les longueurs des côtés et α, β et γ pour les amplitudes des angles.
Effectuons deux mesures :
c = distance du point A à la base B de l'arbre.
α = amplitude l'angle par rapport au sol sous lequel,
placé en A, on voit le sommet C de l'arbre.
L'inconnue est : a = hauteur de l'arbre.
Résolution :
€
tanα=a
c
donc
€
a=c tan α
.
b) Si l'on mesure c
€
=
10 m et α
€
=
50°,
€
a=ctanα=10 m •tan50°≈11,92 m
donc l'arbre est haut de 11,92 m.
3)
1re méthode : nombres trigonométriques.
€
cosα=
d
;
€
sinα=h
d
;
€
tanα=h
.
De la formule de tan α et de la donnée du format (16:9), on tire
€
α=arctan h
=arctan 9 16 ≈29,36°
Des formules de cos α et de sin α, on tire
€
=dcosα=42''cos arctan 9
16
 ≈42 . 2,54 cm . cos29,36°≈93,0 cm
€
h=dsinα=42''sin arctan 9
16
 ≈42 . 2,54 cm . sin29,36°≈52,3 cm
d
h
α
€
Notations :
€
d = longueur de la diagonale de l'écran
= largeur de l'écran = longueur du grand côté, horizontal, de l'écran
h= hauteur de l'écran = longueur du petit côté, vertical, de l'écran
f= format de l'écran = /h
α= angle entre l'horizontale et la diagonale
"
Données :
€
d =42''
f=16
9
Inconnues :
€
h
"
5"