Feuille d`exercices – Variables aléatoires discrètes - PCSI

PSI : Mathématiques 2015-2016
Feuille d’exercices – Variables aléatoires discrètes
«Soit Aun succès dans la vie. Alors A=x+y+z, où x=travailler,
y=s’amuser, z= se taire. » Albert EINSTEIN (1879-1955)
Variables aléatoires
Exercice 1. Donner l’expression des fonctions de répartition de la loi de
Bernoulli de paramètre 2
3et de la loi géométrique de paramètre 3 4.
Exercice 2. On lance deux dés équilibrés à nfaces. On note Sla somme
des deux dés.
1. Pour tout i∈[|1, n + 1|], montrer que P(S=i) = i−1
n2.
2. Pour tout i∈[|n+ 2,2n|], montrer que P(S=i) = 2n−i+1
n2.
3. Calculer P(S6n+ 1).
Exercice 3. Soit Xune variable aléatoire à valeurs dans N∗. On suppose
qu’il existe k∈]0,1[ vérifiant
P(X=n) = kP(X>n).
Déterminer la loi de X.
Exercice 4. Batman et Superman font une promenade en voiture mais
ne s’apprécient guère. Batman qui est le chauffeur fait exprès de s’arrêter
régulièrement dans les endroits les plus désertiques. Batman a une chance
sur cinq pour qu’après un tel arrêt, il arrive à partir sans Superman. Soit X
la variable aléatoire égale au nombre d’arrêts nécessaires pour que Batman
puisse perdre Superman dans la nature.
1. Établir la loi de probabilité de X.
2. Calculer la probabilité pour que Batman réussisse son coup au quatrième
arrêt.
3. Quel est le nombre maximum d’arrêts que peut comporter un tel circuit
pour que Superman arrive indemne à destination dans la voiture de
Batman avec une probabilité supérieure à 0.6 ?
Espérances et variances
Exercice 5. On considère une variable aléatoire Xà valeurs dans {0,1,2}.
On sait que E(X)=1et V(X) = 1
2. En déduire la loi de X.
Exercice 6. On considère une variable aléatoire réelle Xtelle que X(Ω) =
N∗, et la suite (un)n∈N∗définie par un=1
n(n+1) .
1. Vérifier qu’il existe une probabilité Psur (Ω,T)telle que, pour tout
n∈N∗,P(X=n) = un.
2. Montrer que Xn’est pas d’espérance finie.
3. Montrer que √Xest d’espérance finie (on ne cherchera pas à la calculer).
Exercice 7. Soit Xune variable aléatoire discrète réelle. On suppose que
Xadmet un moment d’ordre n∈N. Montrer que Xadmet un moment à
tout ordre k6n.
Exercice 8. Passe-partout doit se dépêcher d’ouvrir la cellule pour
libérer le prisonnier. Il dispose d’un trousseau de 10 clés à essayer pour
ouvrir la porte (une seule de ces clés l’ouvre et il ne sait pas d’avance
laquelle). Il remet chaque clé dans le trousseau de clés après un essai in-
fructueux. Quel est le nombre moyen d’essais nécessaires pour ouvrir la porte ?
Exercice 9. Un élève de PSI passe la terrible épreuve de sport de Poly-
technique. Il tente de franchir des hauteurs successives numérotées 1,2,..,n,...
et il a droit à un seul essai par hauteur. On suppose que les sauts sont indé-
pendants les uns des autres et que la probabilité de succès au n−ième saut est
1
npour tout n∈N∗. Il s’arrête au premier saut raté. On note Xla variable
aléatoire égale au numéro du dernier saut réussi.
1. Montrer que : ∀n∈N∗, pn=P(X=n) = n
(n+1)! .
2. Calculer E(X+ 1). En déduire E(X).
1

Lois usuelles
Exercice 10. Soient Xet Ydeux variables aléatoires discrètes indépen-
dantes. On suppose que Xet Ysuivent une même loi géométrique de para-
mètre pet q.
1. Déterminer P(X > n)pour n∈N.
2. En déduire la loi de Z= min(X, Y ).
3. Observer que la loi de Zest géométrique.
4. Calculer l’espérance de W= max(X, Y ).
Exercice 11. On dit qu’une variable aléatoire Xsuit une loi binomiale
négative de paramètres net psi
X(Ω) = {n, n + 1, ...}et P(X=k) = k−1
n−1pn(1 −p)k−n.
1. Soit X1, . . . , Xndes variables aléatoires indépendantes suivant toutes une
loi géométrique de paramètre p. Montrer que X1+. . . +Xnsuit une loi
binomiale négative de paramètres net p.
2. En déduire l’espérance et la variance d’une loi binomiale négative de
paramètres net p.
Exercice 12. [CCP 2015, PC] Soit (Xn)n∈N∗une suite de variables aléa-
toires définies sur un même espace probabilisé (Ω,A,P)et mutuellement in-
dépendantes. On admet que dans ce cas, pour tout n>2,X1+. . . +Xnet
Xn+1 sont indépendantes. On suppose de plus que pour tout n∈N∗,Xnsuit
la loi de Poisson de paramètre 1. On pose pour tout n∈N∗,Sn=
n
P
k=1
Xket
S∗
n=Sn−n
√n.
1. Montrer que Snsuit une loi de Poisson de paramètre net en déduire son
espérance et sa variance.
2. Déterminer l’espérance et la variance de S∗
n.
3. Montrer que, pour tout n∈N∗,P(S∗
n60) = e−nn
P
k=0
nk
k!.
Exercice 13.
1. Soit Xune variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre
p. Calculer E(1
X).
2. Soit Xune variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre
λ > 0. Calculer Calculer E(1
X+1 ).
Couple de variables, covariance et indépendance
Exercice 14. Soient Xet Ydeux variables aléatoires indépendantes suivant
les lois géométriques de paramètres pet q > 0. Quelle est la probabilité que
la matrice suivante soit diagonalisable ?
X1
0Y.
Exercice 15. Soient Xet Ydeux variables aléatoires à valeurs dans N.On
suppose que la loi conjointe de Xet Yvérifie
P(X=j, Y =k) = a
j!k!,avec a∈R.
1. Déterminer la valeur de a.
2. reconnaître les lois marginales de Xet Y.
3. Les variables Xet Ysont-elles indépendantes ?
Exercice 16. Une urne contient sept jetons portant les numéros
0,1,1,1,2,2,3. On tire sans remise deux jetons dans l’urne. On appelle X
la variable aléatoire qui donne le numéro du premier jeton et Ycelui du
deuxième jeton.
1. Quelle est la loi jointe du couple (X, Y )?
2. Quelle est la première marginale, c’est-à-dire la loi de X?
3. Vérifier que les deux marginales sont égales.
4. Les variables Xet Ysont indépendantes ?
Exercice 17. On suppose que le nombre Nd’enfants d’une famille suit une
loi de Poisson de paramètre λ > 0. Á chaque naissance, on suppose que la
probabilité que l’enfant soit une fille est p∈]0,1[ et celle que ce soit un garçon
est q= 1 −pet que les sexes des naissances successives sont indépendants.
On note Xla variable aléatoire correspondant au nombre de filles par famille
et Ycelle du nombre de garçons.
2

1. Déterminer la loi conjointe du couple (N, X).
2. Quelle est la loi de X, de Y?
Exercice 18. [Entropie] Soit Xune variable aléatoire à valeurs dans un
ensemble fini X. Pour chaque valeur x∈ X, on pose
p(x) = P(X=x).
On appelle entropie de la variable Xle réel
H(X) = −X
x∈X
p(x) log p(x).
où l’on convient que 0 log 0 = 0.
1. Vérifier que H(X)est un réel positif. Á quelle condition celui-ci est-il
nul ?
2. Soient Xet Ydeux variables aléatoires à valeurs dans des ensembles finis
Xet Y. On appelle entropie conjointe de Xet Y, l’entropie de la variable
Z= (X, Y )simplement notée H(X, Y ). On suppose que les variables X
et Yindépendantes, vérifier
H(X, Y ) = H(X) + H(Y).
3. On appelle entropie de Xsachant Yla quantité
H(X|Y) = H(X, Y )−H(Y).
Vérifier que
H(X|Y) = X
y∈Y
P(Y=y)H(X|Y=y),
avec
H(X|Y=y) = −X
x∈X
P(X=x|Y=y) log P(X=x|Y=y).
Exercice 19. Une espèce d’antilope peut avoir des portées de 1 à 4 petits.
La portée se compose d’un seul petit avec probabilité 3/10, 2 petits avec
probabilité 1/5, 3 petits avec probabilité 1/2. Mais la loi de la jungle est dure
et chaque petit n’a qu’une chance sur 3 de survivre jusqu’â l’âge de un an,
et ce indépendamment du devenir des autres petits. On note Xle nombre de
petits dans une portée et Yle nombre de petits d’une portée qui arrivent à
l’âge de un an.
1. Quelles sont les valeurs prises par la variable X? par la variable Y?
2. Quelle est la loi de Yconditionnellement à X= 3 ?
3. Quelle est la loi jointe du couple (X, Y )? On pourra la représenter sous
forme d’un tableau.
4. En déduire la loi de Y.
5. Calculer la covariance du couple (X, Y ). Pouvait-on prévoir son signe ?
6. Par l’argument de votre choix, justifier que Xet Yne sont pas indépen-
dantes.
Exercice 20. Un péage autoroutier comporte deux barrières. Le nombre
de voiture arrivant à ce péage par jour suit une loi de Poisson de paramètre
λ > 0et chaque voiture choisit arbitrairement et indépendamment des autres
de franchir l’une ou l’autre des deux barrières. On note X1et X2les variables
aléatoires déterminant le nombre de voitures franchissant chacune des deux
barrières dans une journée.
1. Déterminer la loi de X1.
2. En exploitant X1+X2, calculer la covariance de X1et X2
3. Montrer que les variables aléatoires X1et X2sont en fait indépendantes.
Fonctions génératrices
Exercice 21. [CCP 2015, MP] Soit Xune variable aléatoire qui suit une
loi de Poisson de paramètre λ > 0. Déterminer sa fonction génératrice, puis
en déduire son espérance et sa variance.
Exercice 22. On considère deux variables aléatoires indépendantes suivant
chacune une loi de Poisson de paramètres respectifs λet µ. Montrer en
utilisant les fonctions génératrices que Z=X+Ysuit une loi de Poisson
dont on précisera le paramètre.
Exercice 23. Soit X1, . . . , Xndes variables aléatoires mutuellement
indépendantes à valeurs dans N. On note G1, . . . , Gnleurs fonctions généra-
trices respectives. Calculer, pour (λi)16i6n∈Rn, la fonction génératrice de
Y=λ1X1+. . . +λnXn.
Exercice 24. [Centrale 2015, PSI] Soit Net X1, . . . des variables aléatoires
indépendantes à valeurs dans N. On suppose que les variables aléatoires X1, . . .
3

suivent toutes une même loi de fonction génératrice GXet on pose
S=
N
X
k=1
Xk.
1. Établir GS(t) = GN(GX(t)) pour |t|61.
2. On suppose que les variables admettent une espérance. Établir l’identité
de Wald
E(S) = E(N)E(X1).
Inégalités, approximations
Exercice 25. Une usine confectionne des pièces dont une proportion pest
défectueuse. On effectue un prélèvement de npièces et Znest la variable
aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses dans ce prélèvement. On fait
une approximation, ensuite, de ppar la proportion Zn
nde pièces défectueuses
sur cet échantillon. (On suppose que le prélèvement se fait sur une popula-
tion très grande, donc qu’il peut-être considéré comme une suite de ntirages
indépendants avec remise.)
1. Quelle est la loi de Zn?
2. En déduire sa moyenne et sa variance.
3. Montrer que ∀ε > 0
lim
n→+∞
P|Zn
n−p|< ε= 1.
En déduire une condition sur npour que l’approximation utilisée donne
une valeur approchée de pà10−2près avec une probabilité supérieure
ou égale à 95%.
Exercice 26. [Surbooking] Des études effectuées par une compagnie
aérienne montrent qu’il y a une probabilité 0.05 qu’un passager ayant fait
une réservation ne vienne pas à l’aéroport. Un étudiant admissible de PSI
doit monter à Paris passer un oral. L’avion qu’il va prendre a 90 places
et il a été vendu 94 billets. Quelle est la probabilité pour qu’il puisse
y avoir un problème à l’embarquement ? (On suppose que les passagers
sont indépendants les uns des autres). On fera les calculs de deux façons,
directement et en utilisant une approximation.
Exercice 27. Gauthier jette 3600 fois un dé. Minorer la probabilité que le
nombre d’apparitions du 1 soit compris strictement en 480 et 720.
Exercice 28. [Théorème d’approximation de Weierstrass, CCP MP, 2015]
Soit f: [0,1] →Rune fonction continue, nun entier naturel non nul et x∈
[0,1]. On pose Bn(f)(x) =
n
P
k=0 n
kf(k n)xk(1−x)n−k(polynôme de Bernstein).
1. Soit Snune variable aléatoire réelle suivant une loi binomiale B(n, x).
(a) Démontrer que pour tout réel α > 0,P(|Sn−nx|> nα)61
4nα2.
(b) Soit la variable aléatoire f(Sn
n), démontrer que son espérance vérifie :
Ef(Sn
n)=Bn(f)(x).
2. (a) Soit ε > 0, justifier simplement qu’il existe α > 0tel que pour
tout couple (a, b)∈[0,1]2,|a−b|6αentraîne |f(a)−f(b)|< ε,
puis majorer |f(k
n)−f(x)|pour tout entier kentre 0 et nvérifiant
|k
n−x|6α.
(b) Justifier que
X
|k
n−x|>α
(f(k
n)−f(x))P(Sn=k)
62||f||∞P|Sn
n−x|> α.
(c) Démontrer qu’il existe un entier naturel n0tel que pour tout n>n0
et tout réel x∈[0,1],|Bn(f)(x)−f(x)|62εpuis conclure.
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