Première S/Encore de l`analyse

Première S/Encore de l’analyse
1. Valeur absolue et distance
:
solutions des inéquations suivantes :
Exercice 349
Compléter les pointillés :
a. |x + 2| > 2
b. |x − 3| ⩽ 5
c. |2x + 1| > −1
Exercice 332
1. |2 − x| ⩽ 1
équivaut à x ∈ :::::::::
2. |x + : : : | : : : 1
équivaut à x ∈ [2 ; 4]
1. Quels sont les points qui sont à une distance de 5 du
nombre 3.
3. 3×|x + 2| ⩽ 1
équivaut à x ∈ :::::::::
2. Résoudre les équations suivantes :
4. |x + 5| ⩾ 2
équivaut à x ∈ :::::::::∪:::::::::
Exercice 312
1. Traduire les équations suivantes en terme de distance et
donner leurs solutions :
√
√
√
a. |x+2| = 5
b. |x−ı| = 2
c. |x− 2| = |x+2 2|
2. Résoudre les équations suivantes de manière algébrique :
√
a. |x − 3| = 1
b. |x − 3| = 3
c. |2x + 1| = |3x − 4|
c. |x − 4| = 7
d. |x + 2| = 3
e. |x − 4| = 0
f. |x − 2| = −1
Traduire les équations ou inéquations suivantes en termes de
distance, puis les résoudre :
a. |x − 2| = 1;5
b. |x + 1| = 1
c. |2x − 1| = 3
d. |x − 3| ⩽ 2
e. |x + 4| ⩽ 1
f. |x − 3| ⩾ 1
:
trie.
Exercice 2302
On considère la fonction f définie sur R\{2} par la relation :
x2 − 4x + 7
f (x) =
2x − 4
Montrer que le point I(2 ; 0) est le centre de symétrie de la
courbe Cf
2. Montrer que la fonction g définie sur R\{−1} par :
x2 + 4x + 2
x+1
admet le point I(−1 ; 2) comme centre de symétrie.
g(x) =
Exercice 3505
Soit f une fonction f définie sur R vérifiant la limite suivante :
Exercice 2807
On considère la fonction f définie sur R − {−3} dont l’image
de x est donnée par la relation :
x2 + 10x + 20
2x + 6
Montrer que la courbe Cf représentative de la fonction f admet pour centre de symétrie le point K(−3 ; 2)
f (x) =
Exercice 2171
1. Montrer que la fonction f définie sur R par :
f (x) =
b. |x − 2| = 1
Exercice 1911
3. Dans chaque cas, représenter sur une droite graduée les
2. Axe et centre de symétries de courbes
a. |x| = 3
6
1 2
x +x+2
2
admet la droite d’équation x = −1 comme axe de symé-
f (2+h) − f (2)
1
=−
h7→0
h
2
lim
1. Que peut-on dire de la dérivabilité de la fonction f en 2.
2. Supposons que la fonction f est paire :
a. Déterminer le nombre dérivée de la fonction f en −2.
b. A main levée, représenter une courbe Cf et ses deux
tangentes en −2 et 2 vérifiant une telle situation.
3. Supposons que la fonction f est impaire :
a. Déterminer le nombre dérivée de la fonction f en −2.
b. A main levée, représenter une courbe Cf et ses deux
tangentes en −2 et 2 vérifiant une telle situation.
Première S - Encore de l’analyse - http://chingatome.net
3. Composée de fonctions
:
a. f (x) = 3x + 1
Exercice 2300
[
]
On considère une fonction f définie sur −5 ; 4 dont le tableau de variation est donnée ci-dessous :
x
−5
1
−2
4
b. f (x) = x2
et g(x) = x − 4
c. f (x) = x − 4 et g(x) = x2
√
d. f (x) = x et g(x) = 3x + 2
e. f (x) = 3x + 2
Variation
de f
1
3
−2
f. f (x) = −2x + 1
−3
b. h : x 7−→ −2·f (x)
1
x
et g(x) = 2x + 1
On considère la fonction f , définie sur R, dont l’image d’un
nombre x est définie par :
(
)2
f (x) = −3 2x − 1 + 1
On note g, la fonction affine définie par :
c. j : x 7−→ f (x−2) + 1
g : x 7−→ 2x − 1.
Exercice 1159
On considère la fonction
( f dont
) la courbe représentative est
donnée dans le repère O ; I ; J ci-dessous :
3
1. Déterminer l’intervalle I tel que :
( )
g I = R+
2. Justifier que la fonction f est monotone sur I.
3. Préciser le sens de variation de la fonction f sur chacun
des intervalles I et R\I.
C5
C3
et g(x) =
Exercice 2162
Déterminer le tableau de variation des fonctions associées à
f présentées ci-dessous :
a. g : x 7−→ f (x+2)
et g(x) = 2 − x
2
Exercice 2164
J
C4
-4
-3
-2
-1
O
I
2
3
4
Donner le sens de variation des fonctions ci-dessous sur l’intervalle précisé. Aucune justification n’est demandée :
]
√
2]
a. f : x,−−−−−→ 2−3x sur −∞ ;
3
b. g : x,−−−−−→2(3−x)2 +1 sur [3 ; +∞[
-1
-2
Cf
C2
C1
-3
Dans ce repère est également donnée les courbes représentatives associées à la fonction f dont voici les expressions
algébtiques :
g : x 7→ f (x+2)
; h : x 7→ f (2·x)
k : x 7→ 2·f (x)
; ‘ : x 7→ f (x) − 2
; j : x 7→ f (x−2)
Associer à chacune de ces fonctions sa courbe représentative.
c. h : x,−−−−−→
2
+1 sur ]−∞ ; −1[
(x+1)2
d. j : x,−−−−−→x2 −3x+2 sur R−
√
e. k : x,−−−−−→−3 x −1 sur R+
√
f. ‘ : x,−−−−−→−2 3−x +1 sur ]−∞ ; 3]
Exercice 2197
Soit f la fonction définie dont l’image de x est définie par :
f (x) =
x−1
x−2
x−1
1
= 1+
x−2
x−2
On note g la fonction inverse. A la question précédente, nous
venons d’établir que :
f (x) = g(x−2) + 1
1. Etablir l’égalité suivante :
Exercice 2154
Dans chacune
( des )questions suivantes, donner l’expression algébrique de f ◦ g (x) en fonction de x :
2. Par quelle transformation du plan, obtient-on la courbe
Cf représentative de la fonction f à partir de l’hyperbole
Cg représentative de la fonction inverse ?
La figure ci-dessous représente l’hyperbole obtenu par la fonction inverse et I sont centre de symétrie.
3. Placer correctement le repère pour que cette courbe soir
la représentation de la fonction f .
Première S - Encore de l’analyse - http://chingatome.net
f définie par :
f : x 7−→ x2 + 2x + 4
La fonction g est définie, explicitement par la fonction f ,
par la relation suivante :
g(x) = f (x+¸) + ˛ où ¸ ∈ R et ˛ ∈ R.
a. Déterminer, à l’aide des représentations de ces deux
fonctions, les valeurs des nombres réels ¸ et ˛.
Cf
b. Déduire la forme développée réduite de l’expression de
f (x).
6
I
5
C1
C4
C2
4
3
C3
2
J
Exercice 2702
On considère les deux repères (O ; I ; J) dans lesquels ont été
tracées des courbes représentatives de polynômes de second
degré :
9
-3
-2
-1
O
-1
2
I
-2
3
C6
-3
8
Cg
-4
Cf
7
-5
6
C5
-6
2. Les courbes C1 à C6 sont les représentations de fonctions
définie par la relation :
x 7−→ ¸ · x2 où ¸ est un nombre réel.
5
4
Déterminer pour chaque fonction la valeur de ¸.
3
Exercice 4652
2
J
-3
-2
-1
O
I
2
3
-1
1. La courbe Cf est la courbe représentative de la fonction
On considère la fonction f définie sur R+ par la relation :
(
√ )2
f (x) = 1 − x
[
]
1. Pour
( x∈) 0 ; 1 , établir l’égalié suivante :
f ◦ f (x) = x
[
[
2. Pour x ∈ 1 ; +∞ , déterminer une expression simplifiée
de la fonction f ◦ f .
4. Suite homographique :
1
un − 1
( )
a. Déterminer les trois premiers termes de la suite vn .
Exercice 2416
vn =
( )
On considère la suite un n∈N définie par la relation de récurrence :
8un + 1
un+1 =
−un + 10
b. Etablir la relation suivante :
1
vn+1 − vn = −
9
dont le premier terme est :
u0 = −5
1. Donner
la valeur des trois premiers termes de la suite
( )
un .
( )
2. On considère la suite vn n∈N définie par la relation :
( )
c. Donner la nature de la suite vn et donner l’expression du terme vn en fonction de n.
3.
a. Etablir la relation suivante :
1 + vn
un =
vn
b. Exprimer le terme un en fonction de n.
Première S - Encore de l’analyse - http://chingatome.net
( )
4. Donner la limite de la suite un lorsque n tend vers +∞.
Exercice 2983
(
)
Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormé, on
considère la courbe Cf représentative de la fonction f définie
par la relation :
f (x) = −
La droite (∆) est la première bissectrice du plan.
( )
On considère la suite un n∈N définie par récurrence par :
( )
un+1 = f un
; u0 = −2
1. Graphiquement, placer sur l’axe
( ) des abscisses les cinq
premières valeurs de la suite un .
2. Déterminer, par le( calcul,
la valeur des trois premiers
)
termes de la suite un .
( )
définie par :
3. On définit la suite wn
12x + 36
x − 24
7
1
wn =
un − 6
6
n∈N
a. Etablir l’égalité suivante : wn+1 −wn = −
5
1
18
b. Donner
la ntaure et les caractéristiques de la suite
( )
wn ainsi que l’expression du terme wn en fonction
de n.
4
c. Déterminer l’expression du terme un en fonction de n.
( )
4. En déduire la limite de la suite un
3
2
Cf
-2
(∆)
J
-1
O
I
2
3
4
5
6
-1
6. Factorielle :
Exercice 4103
On dispose de 26 cartes où sont écrites les 26 lettres de l’alphabet. On tire successivement et sans remise trois cartes de
ce jeu.
1. Combien de mots de trois lettres (ayant un sens ou non)
peut être composés ?
26!
Justifier que ce nombre s’écrit :
23!
2.
a. Combien de mots commençant par la lettre B
peuvent-ils être créer ?
b. En déduire la probabilité de l’évènement :
A1 : “Le mot commence par la lettre B”.
3. Déterminer la probabilité de l’évènement :
A2 : “La seconde lettre du mot est la lettre B”.
4. Quelle est la probabilité de l’évènement :
C : “Le mot contient la lettre B”.
Exercice 4181
Déterminer la valeur des expressions suivantes :
9!×12!
8!×11!
Ç å Ç å
15
9
c.
+
13
6
a.
(15!)2
13!×14!
Ç å Ç å Ç å
15
15
16
d.
+
−
7
8
8
b.
Exercice 4182
Résoudre dans N, les équations suivantes :
a. n! = 5040
c. n! = 72×(n − 2)!
b. (n + 1)! = 720
Ç å
8
d.
= 56
k
7. Repérage polaire et cartésien :
Exercice 2265
On considère le plan muni d’un repère (O ; I ; J) orthonormé.
Chaque point ci-dessous est présenté avec ses coordonnées
cartésiennes (x ; y).
Déterminer les coordonnées polaires [ȷ;„] associées (donner
une valeur approchée au dixième le cas échéant) :
Ä
√ ä
a. M −3 ; − 3
Ä√
√ ä
c. P
6;− 2
b. N ( 2 ; −2 )
d. Q( 5 ; 2 )
Exercice 2266
On considère le plan muni d’un repère (O ; I ; J) orthonormé.
1. Chaque point ci-dessous est présenté avec ses coordonnées polaires [ȷ ; „].
Première S - Encore de l’analyse - http://chingatome.net
Déterminer les coordonnées cartésiennes de chacun de
ses points : (donner une valeur approchée au dixième le
cas échéant) :
[ ı]
[
ı]
a. M 3 ;
b. N 2 ; −
4
6
[ √ 5ı ]
[
ı]
c. P 3 2 ;
d. Q 10 ; −
6
12
2. On considère
√ le point R de coordonnée polaire [4 ; „] tel
que tan„ = 3. Peut-on déterminer de manière unique
les coordonnées cartésiennes du point R.
Exercice 2908
(
)
Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J :
1. On considère les deux points A et B définis par leurs
coordonnées cartésiennes :
Ç
√ å
Ä √
ä
1
3
a. A −3 3 ; 3
b. B − ; −
10
10
Déterminer les coordonnées polaires de ces deux points.
2. On considère les deux points C et D définis par leurs
coordonnées polaires :
Å
ã
(√
1
3ı
ı)
a. C
;−
b. D
15 ;
4
4
6
Déterminer les coordonnées cartésiennes de ces deux
points.
Première S - Encore de l’analyse - http://chingatome.net