Fonctions et continuité

Fonctions et
continuité
I. Définitions
• Les fonctions numériques à variable réelle sont des fonctions
dont les ensembles de départ et d’arrivée sont des parties de R.
• L’ensemble de définition d’une fonction
f
est l’ensemble des
éléments de R ayant une image par
f
.
• Une application est une fonction dont l’ensemble de définition
coïncide avec l’ensemble de départ.
• On munit le plan d’un repère
),,( jiO
, le graphe de
f
est
l’ensemble des points de coordonnées
))(;( xfx
. La courbe
obtenue est la représentation graphique de
f
.
II. Parité et périodicité
!"
Fonction paire
Une fonction
f
, dont l’ensemble de définition est
f
D
, est paire
si et seulement si :
f
Dx ∈∀
,
f
Dx∈−
et
)()( xfxf =−
.
En repère orthogonal, l’axe des ordonnées est alors axe de
symétrie de la courbe représentative de
f
.
!"
Fonction impaire
Une fonction
f
, dont l’ensemble de définition est
f
D
, est impaire
si et seulement si :
f
Dx ∈∀ ,
f
Dx∈−
et )()( xfxf −=− .
L’origine du repère est alors un centre de symétrie de la courbe
représentative de
f
.
!"
Fonction périodique
Soit T un réel non nul. Une fonction
f
, dont l’ensemble de
définition est
f
D
, est périodique de période T si et seulement si :
f
Dx ∈∀ ,
f
DTx ∈+
et )()( xfTxf =+ .
La courbe représentative de la fonction
f
est alors invariante par
translation de vecteur
ikT ⋅
,
Zk∈
III. Changement de repère
Dans le repère
),,( jiO
, M un point quelconque du plan, a pour
coordonnées );(
yx
.
Soit Ω un point du plan de coordonnées
);( µλ
dans ce repère.
Dans le repère
),,( jiΩ
, M a pour coordonnées );(
YX
.
La relation de Chasles
MOOM Ω+Ω=
permet d’écrire :
{
Yy Xx +µ= +λ=
.
La courbe
C
d’équation
)(xfy =
dans le repère
),,( jiO
a
pour équation dans le repère
),,( jiΩ
:
•
µ−+λ= )( XfY
IV. Composition
Soient D, E et F trois sous-ensembles de R.
f
est une fonction définie sur D, à valeurs dans E.
g
est une fonction définie sur E, à valeurs dans F.
On appelle fonction composée de
f
par
g
la fonction définie sur
D, à valeurs dans F. On note :
))(( xfgfg =o
.
V. Maximum, minimum
Soit
f
une fonction définie sur un ensemble D, une partie de R.
Soit
a
un réel tel que :
Da ∈
.
On dit que la fonction
f
présente un maximum en
a
,lorsque l’on
a :
Dx ∈∀
,
)()( afxf ≤
.
• On dit que la fonction
f
présente un minimum en
a
,lorsque l’on
a : Dx ∈∀ ,
)()( afxf ≥
.
VI. Fonctions continues
• Dire que f est continue au point a, c’est dire que f est définie
sur un intervalle ouvert contenant a et qu’elle admet une limite en
ce point qui est f(a) :
)()(lim afxf
ax
=
→
• On dit qu’une fonction f est continue sur R ou sur un intervalle I
ouvert de R si elle est continue en tout point de R ou de I .
VII. Continuité et opérations
• Les fonctions polynômes, la fonction sinus, la fonction cosinus
sont continues sur R. La fonction racine carrée est continue sur
[0 ; +∝[.
• Un fonction rationnelle est continue sur chacun des intervalles où
elle est définie.
• Si f et g sont continues sur I, alors f+g, f x g , fn (n entier naturel
non nul) sont continues sur I. De même, f / g est continue sur
chacun des intervalles où elle est définie.
• Composée :
Si f est continue en a et si la fonction g est continue en f(a) alors
la composée g o f est continue en a.
VIII. La fonction partie entière
Définition : pour tout réel x , il existe un unique entier n tel que
n ≤ x < n+1. On appelle fonction partie entière la fonction notée E,
qui à x de [n ; n+1[ associe l’entier n : E(x)=n.
Cette fonction est une fonction en escalier .
E (3,6)=3
E (-0,4)=-1
MemoPage.com © / 08-2002 / ISSN : 1762 – 5920
Auteur : Nicolas Montétagaud / Expert : C. V.