La courbe représentative de la fonction translation de vecteur kT ⋅ i , f est alors invariante par k ∈Z III. Changement de repère Dans le repère ( O , i , j ) , M un point quelconque du plan, a pour coordonnées ( x ; y ) . Soit Ω un point du plan de coordonnées ( λ ; µ ) dans ce repère. VI. Fonctions continues • Dire que f est continue au point a, c’est dire que f est définie sur un intervalle ouvert contenant a et qu’elle admet une limite en ce point qui est f(a) : lim f ( x ) = f ( a ) x→ a • On dit qu’une fonction f est continue sur R ou sur un intervalle I ouvert de R si elle est continue en tout point de R ou de I . • La relation de Chasles OM = O Ω + Ω M permet d’écrire : VII. Continuité et opérations Dans le repère ( Ω , i , j ) , M a pour coordonnées {xy == λµ ++ XY La courbe C d’équation y = f (x ) ( X ;Y ) . . dans le repère ( O , i , j ) a • • pour équation dans le repère ( Ω , i , j ) : • Y = f (λ + X ) − µ • IV. Composition Soient D, E et F trois sous-ensembles de R. Les fonctions polynômes, la fonction sinus, la fonction cosinus sont continues sur R. La fonction racine carrée est continue sur [0 ; +∝[. Un fonction rationnelle est continue sur chacun des intervalles où elle est définie. Si f et g sont continues sur I, alors f+g, f x g , fn (n entier naturel non nul) sont continues sur I. De même, f / g est continue sur chacun des intervalles où elle est définie. Composée : Si f est continue en a et si la fonction g est continue en f(a) alors la composée g o f est continue en a. Définition : pour tout réel x , il existe un unique entier n tel que n ≤ x < n+1. On appelle fonction partie entière la fonction notée E, qui à x de [n ; n+1[ associe l’entier n : E(x)=n. f par g la fonction définie sur D, à valeurs dans F. On note : g o f = g ( f ( x )) . VIII. f est une fonction définie sur D, à valeurs dans E. g est une fonction définie sur E, à valeurs dans F. On appelle fonction composée de V. Maximum, minimum Soit f une fonction définie sur un ensemble D, une partie de R. Soit a un réel tel que : a ∈ D . La fonction partie entière Cette fonction est une fonction en escalier . E (3,6)=3 E (-0,4)=-1 On dit que la fonction f présente un maximum en a ,lorsque l’on f ( x ) ≤ f (a ) . a : ∀x ∈ D , f présente un minimum en a ,lorsque l’on ∀ x ∈ D , f ( x ) ≥ f (a ) . • On dit que la fonction a: ∀x ∈ D f , et x + T ∈ Df f ( x + T ) = f ( x) . Soit T un réel non nul. Une fonction f , dont l’ensemble de définition est D f , est périodique de période T si et seulement si : Fonction périodique !" MemoPage.com © / 08-2002 / ISSN : 1762 – 5920 Auteur : Nicolas Montétagaud / Expert : C. V. L’origine du repère est alors un centre de symétrie de la courbe représentative de f . f , dont l’ensemble de définition est D f , est impaire si et seulement si : ∀ x ∈ D f , − x ∈ D f et f (−x) = − f ( x) . Une fonction Fonction impaire !" symétrie de la courbe représentative de f. si et seulement si : ∀ x ∈ D f , − x∈ D f et f (−x) = f ( x) . En repère orthogonal, l’axe des ordonnées est alors axe de Fonction paire !" Une fonction f , dont l’ensemble de définition est D f , est paire II. Parité et périodicité f est ( x ; f ( x )) . La courbe obtenue est la représentation graphique de f . l’ensemble des points de coordonnées • On munit le plan d’un repère ( O , i , j ) , le graphe de éléments de R ayant une image par f . • Une application est une fonction dont l’ensemble de définition coïncide avec l’ensemble de départ. • L’ensemble de définition d’une fonction f est l’ensemble des • Les fonctions numériques à variable réelle sont des fonctions dont les ensembles de départ et d’arrivée sont des parties de R. I. Définitions Fonctions et continuité