Algèbre linéaire, matrices

Lycée Louis-Le-Grand, Paris Samedi 11/04/2015
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
Devoir Surveillé 7 – Algèbre linéaire, matrices
La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté, la précision et la concision des raisonnements
entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
L’usage de tout document et de tout matériel électronique est interdit. Notamment, les téléphones portables doivent être éteints
et rangés.
Problème –Co-diagonalisation (Mines 2001)
Dans tout ce problème, l’entier nest supérieur ou égal à 1(n>1) ; Eest un espace vectoriel complexe de dimension n.
Le but de ce problème est d’étudier les applications semi-linéaires de l’espace vectoriel Edans lui-même. Une application
ude Edans lui-même est semi-linéaire si elle possède la propriété suivante :
Pour tout scalaire aet tout couple (x, y)de vecteurs de l’espace vectoriel E, la relation ci-dessous est
vérifiée :
u(ax +y) = au(x) + u(y).
Le nombre complexe aest le nombre complexe conjugué de a.
Un nombre complexe µest une valeur co-propre de l’application semi-linéaire us’il existe un vecteur xdifférent de 0
tel que la relation ci-dessous soit vérifiée :
u(x) = µx.
Le vecteur xest un vecteur co-propre associé à la valeur co-propre µ.
Partie I –
Le but de cette partie est d’étudier, pour une application semi-linéaire udonnée, les valeurs et vecteurs co-propres.
1. Premières propriétés.
Soit uune application semi-linéaire de l’espace vectoriel E.
(a) Démontrer qu’étant donné un vecteur x, différent de 0, appartenant à l’espace E, il existe au plus un nombre
complexe µtel que la relation u(x) = µx ait lieu.
(b) Démontrer que, si le nombre complexe µest une valeur co-propre de l’application semi-linéaire u, pour tout
réel θ, le nombre complexe µeiθest encore valeur co-propre de l’application semi-linéaire u. Exprimer un
vecteur co-propre associé à la valeur co-propre µeiθen fonction d’un vecteur co-propre xassocié à la valeur
co-propre µet du réel θ.
(c) Étant donnée une valeur co-propre µde l’application semi-linéaire ude E, soit Eµl’ensemble des vecteurs x
de l’espace vectoriel Equi vérifient la relation u(x) = µx :
Eµ={x∈E|u(x) = µx}.
Est-ce que l’ensemble Eµest un espace vectoriel sur C? sur R?
(d) Étant données deux applications semi-linéaires uet v, étudier la linéarité de l’application composée u◦v.
2. Matrice associée à une application semi-linéaire
Soit uune application semi-linéaire de l’espace vectoriel E; soit B= (ei)16i6nune base de l’espace vectoriel E. À
un vecteur x, de coordonnées x1,...,xndans la base Best associée une matrice colonne Xd’éléments x1,...,xn,
appelée (abusivement) vecteur.
1

(a) Démontrer qu’à l’application semi-linéaire uest associée dans la base Bune matrice A, carrée, complexe,
d’ordre n, telle que la relation y=u(x)s’écrive :
Y=AX.
La matrice colonne Xest la matrice conjuguée (coefficient par coefficient) de la matrice colonne X.
(b) Soient Aet Bles matrices associées à une même application semi-linéaire udans les bases Bet Cde E
respectivement. Soit Sla matrice de passage de la base Bà la base C. Exprimer la matrice Ben fonction
des matrices Aet S.
Étant donnée une matrice carrée A, complexe, d’ordre n, le vecteur X, différent de 0, (X6= 0) est un vecteur
co-propre de la matrice carrée A, associé à la valeur co-propre µ, si le vecteur Xet le nombre complexe µvérifient
la relation matricielle ci-dessous :
AX=µX.
On rappelle également que Y6= 0 est vecteur propre associé à la valeur propre λde Asi la relation suivante est
vérifiée :
AY =λY.
Dans la suite, toutes les matrices considérées sont des matrices carrées complexes.
3. Exemples
(a) Soit Ala matrice d’ordre 2 définie par la relation suivante : A= 0−1
1 0 !. Rechercher les valeurs co-
propres µet les vecteurs co-propres X= a
b!associés.
(b) Démontrer que, si une matrice Aest réelle et admet une valeur propre réelle λ, cette matrice a au moins
une valeur co-propre.
4. Correspondance entre les valeurs co-propres de la matrice Aet les valeurs propres de la matrice AA.
Soit Aune matrice carrée complexe d’ordre n.
(a) Démontrer que, si le scalaire µest une valeur co-propre de la matrice A, le nombre réel |µ|2est une valeur
propre de la matrice AA.
(b) Soit λune valeur propre positive ou nulle (λ>0) de la matrice AAet Xun vecteur co-propre associé :
AAX =λX.
Démontrer que le réel √λest une valeur co-propre de la matrice A, en envisageant les deux cas suivants :
(i) les vecteurs AX et Xsont liés ;
(ii) les vecteurs AXet Xsont indépendants.
(c) En déduire que, pour que le réel positif ou nul µsoit une valeur co-propre de la matrice A, il faut et il suffit
qur le réel µ2soit valeur propre de la matrice AA.
5. Cas d’une matrice triangulaire supérieure
Dans cette question, la matrice Aest une matrice triangulaire supérieure (les éléments situés au-dessous de la
diagonale principale sont nuls)
(a) Démontrer que si λest une valeur propre de la matrice A, pour tout réel θ, le nombre complexe λeiθest
une valeur co-propre de la matrice A.
(b) Démontrer que si µest une valeur co-propre de la matrice A, il existe un réel θtel que le nombre complexe
µeiθsoit une valeur propre de la matrice A.
(c) Soit Ala matrice définie par la relation ci-dessous :
A= i 1
0 i!.
Démontrer que le réel 1est valeur co-propre de cette matrice et déterminer un vecteur Xco-propre associé.
Poser X= a+ i b
c+ i d!.
2

6. Une caractérisation des valeurs co-propres
Soit Aune matrice carrée complexe d’ordre n; soient Bet Cles matrices réelles définies par la relation suivante :
A=B+ i C.
Démontrer que le nombre complexe µest valeur co-propre de la matrice Asi et seulement si le nombre réel |µ|
est une valeur propre de la matrice D, carrée réelle d’ordre 2n, défini par blocs par la relation suivante :
D= B C
C−B!.
Partie II –
Étant données deux matrices carrées complexes Aet Bd’ordre n, s’il existe une matrice carrée complexe Sd’ordre n
inversible (S∈GLn(C)) telle que la relation
B=SAS
−1
soit vérifiée, les deux matrices Aet Bsont dites co-semblables. La matrice Sest la matrice conjuguée (coefficient par
coefficient) de S.
Si une matrice Aest co-semblable à une matrice diagonale, la matrice Aest dite co-diagonalisable. Le but de cette
partie est de rechercher à quelles conditions une matrice est co-diagonalisable.
1. Une relation d’équivalence
Étant données deux matrices carrées complexes Aet Bd’ordre n, ces matrices sont dites satisfaire la relation ≈
si et seulement si ces deux matrices sont co-semblables :
A≈B⇐⇒ ∃S∈GLn(C), B =SAS
−1.
Démontrer que la relation ≈est une relation d’équivalence dans l’ensemble des matrices carrées complexes
d’ordre n.
2. Indépendance des vecteurs co-propres
Soit Aune matrice carrée complexe d’ordre n, soient X1,...,Xk,kvecteurs co-propres de la matrice Aassociés
à des valeurs co-propres µ1,...,µk; l’entier kest inférieur ou égal à l’entier n(k6n).
Démontrer que, si les valeurs co-propres µp,p= 1,2,...,k, ont des modules différents les uns des autres (p6=
q=⇒ |µp| 6=|µq|), la famille (X1,...,Xk)est libre.
En déduire que, si la matrice AAanvaleurs propres λp,p= 1,2,...,n, positives ou nulles, (λp>0), distinctes
les unes des autres (p6=q=⇒λp6=λq), la matrice Aest co-diagonalisable.
3. Quelques propriétés
(a) Soit Sune matrice carrée complexe d’ordre ninversible (S∈GLn(C)) ; soit Ala matrice définie par la
relation
A=SS
−1.
Calculer la matrice produit AA.
(b) Soit Aune matrice carrée complexes d’ordre ntelle que
AA =In.
Démontrer qu’il existe au moins un réel θtel que la matrice S(θ)définie par la relation ci-dessous
S(θ) = eiθA+ e−iθIn,
soit inversible. Calculer, en donnant au réel θune telle valeur, la matrice AS(θ); en déduire la matrice
S(θ)S(θ)
−1.
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4. Une condition nécessaire
Soit Aune matrice d’ordre nco-diagonalisable. Il existe par suite une matrice Sinversible telle que la matrice
S−1ASsoit diagonale. Démontrer que la matrice AA est diagonalisable, que ses valeurs propres sont positives
ou nulles, et que le rang de la matrice Aest égal au rang de la matrice AA.
5. Une condition suffisante
Soit Aune matrice carrée complexe d’ordre nqui vérifie les trois propriétés suivantes :
(i) la matrice AAest diagonalisable
(ii) les valeurs propres de la matrice AAsont positives ou nulles
(iii) le rang de la matrice Aest égal au rang de la matrice AA.
Soient λ1,...,λkles valeurs propres, deux à deux distinctes, de la matrice AA; elles sont positives et ordonnées
de façon qu’elles vérifient la relation suivante :
λ1>λ2>···>λk>0.
Les valeurs propres λ1,...,λkont respectivement les multiplicités n1,...,nk(la multiplicité d’une valeur propre
est la dimension du sous-espace propre associé). Soit Ipla matrice identité d’ordre p. Une matrice diagonale Λ,
semblable à la matrice AA, s’écrit par blocs, avec les conventions précédentes sous la forme suivante :
Λ = 
λ1In10··· 0
0λ2In2
....
.
.
.
.
.......0
0··· 0λkInk
Par hypothèse, il existe une matrice Sinversible telle que
AA=SΛS−1.
Soit Bla matrice définie par la relation suivante :
B=S−1AS.
(a) Démontrer les relations :
BB=BB;BΛ = ΛB.
(b) Démontrer que la matrice Bs’écrit par blocs sous la forme ci-dessous ; dans cette expression, chaque matrice
Bpest une matrice d’ordre np:
B=
B10··· 0
0B2
....
.
.
.
.
.......0
0··· 0Bk
(c) Démontrer qu’il existe une matrice inversible Pet une matrice diagonale ∆d’ordre ntelles que la relation
ci-dessous ait lieu :
B=P∆P
−1.
En déduire que toute matrice vérifiant les hypothèses (i), (ii) et (iii) est co-diagonalisable.
6. Exemples
(a) Soit Aune matrice symétrique réelle d’ordre n; est-elle co-diagonalisable ?
(On pourra admettre le résultat suivant : toute matrice symétrique réelle de Mn(R)est diagonalisable dans
Mn(R))
(b) Soient A,B,Cet Dles matrices d’ordre 2 suivantes :
A= i 1
0 i!B= 1−1 1 1 !C= 0 1 0 0!D= 1 i i 1!.
Est-ce que ces matrices sont diagonalisables ? co-diagonalisables ?
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