Exercices de mathématiques MP-MP* et PSI

Exercices de math´ematiques MP-MP* et PSI*
par Abdellah BECHATA
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Table des mati`eres
1 Arithm´etique. 2
2 Polynˆomes. 3
3 Groupes, anneaux, corps. 4
4 Endomorphismes et formes lin´eaires. 5
5 R´eductions des endomorphismes. 9
6 Espaces eucliens et hermitiens. 15
7 R´eduction des endomorphismes autoadjoints. 17
8 Fonctions d’une variable r´eelle. 20
9 Suites num´eriques. 21
10 S´eries num´eriques. 22
11 Suites de fonctions. 24
12 S´eries de fonctions. 25
13 S´eries enti`eres. 27
14 S´eries de Fourier. 29
15 Int´egration 31
16 Int´egrales `a param`etres. 34
17 Equations diff´erentielles lin´eaires. 37
18 Topologie. 38
19 Espaces vectoriels norm´es. 39
20 Espaces pr´ehilbertiens et hilbertiens 42
21 Fonctions de plusieurs variables. 44
22 G´eom´etrie. 46
23 Int´egrales multiples et curvilignes. 47
1

1 Arithm´etique.
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Exercice 1.1
Soit pun nombre premier.
1. Montrer que Ck
p= 0 mod(p)∀k∈ {1, .., p −1}.
2. En d´eduire que ap=a mod(p)∀a∈Z.
Exercice 1.2
L’indicatrice d’Euler est d´efinie sur N×par ϕ(k) = card({1≤q≤ktel que (q, k) = 1}
1. Montrer que ϕ(nm) = ϕ(n)ϕ(m) si (n, m) = 1.
2. Calculer ϕ(pα) lorsque pest un nombre premier et αun nombre entier.
3. En d´eduire le calcul de ϕ(n) lorsque nest un entier quelconque.
4. Montrer que n=P
d|n
ϕ(d).
Exercice 1.3 (MP*)
1. Montrer que 2 -malors 2m+ 1 n’est pas un nombre premier.
2. Supposons que mest de la forme 2q(2k+ 1) o`u qet ksont des entiers sup´erieurs `a 1.Montrer que 2m+ 1 n’est pas un
nombre premier.
3. Soit pun diviseur premier de 22n+ 1.Montrer que l’ordre de 2 dans (Z/pZ)×est ´egale `a 2n+1.En d´eduire que pest
de la forme k2n+1 + 1.
Exercice 1.4 (MP*)
Soit pun nombre premier et mun entier tel que (p, m) = 1.
Montrer que Cpα
pαm=m mod(p) (on pourra consid´erer le polynˆome (X+ 1)n`a coefficients dans Z/pZ).
2

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2 Polynˆomes.
Exercice 2.1
Soient net mdeux nombres entiers. Calculer pgcd(Xn−1, Xm−1).
Exercice 2.2
Soient (ni)1≤i≤k−1une suite d’entiers tels que ni=i(mod k).
Montrer que
k−1
P
j=1
Xj|
k−1
P
j=1
Xnjdans C[X] puis dans Z[X] (seulement pour les MP*).
Exercice 2.3
1. Soit Gun sous groupe born´e de (C×,×).Montrer que G⊂U={z∈Ctel que |z|= 1}.
2. D´eterminer les polynomes Pappartenant `a C[X] tel que P(X2) = P(X)P(X+ 1).
3. Mˆeme question mais avec Pappartenant `a R[X].
Exercice 2.4
D´eterminer les polynomes Pappartenant `a C[X] tel que P(X2) = (X2+ 1)P(X).
Exercice 2.5 (MP*)
∀P∈Z[X]\{0}, on note c(P) (le contenu de P) le pgcd des coefficients du polynˆome P. Le polynˆome Pde Z[X] est dit
primitif si c(P) = 1.
1. (a) Montrer que le produit de deux polynˆomes primitifs de Z[X] est primitif (on pourra travailler modulo un diviseur
premier pde c(P Q)).
(b) Que vaut c(P Q) si Pet Qsont deux polynˆomes non nuls de Z[X] ?
(c) Soient Pet Qdeux polynˆomes de Z[X], premiers entre eux dans Z[X] (leurs seuls diviseurs communs sont les
´el´ements inversibles de l’anneau Z[X]). Montrer qu’ils sont premiers entre eux dans l’anneau Q[X].
(d) En d´eduire que Pappartenant `a Z[X] est irr´eductible dans Z[X] ssi Pest irr´eductible dans Q[X] et c(P) = 1.
2. Applications :
(a) Lemme d’Eisenstien : soit P(X) =
n
P
k=0
akXkun polynˆome appartenant `a Z[X] tel que p|ak∀k∈ {0, ..., n −1},
p2-a0et p-an.Montrer que Pest irr´eductible dans Q[X].
(b) Soit pun nombre premier, montrer que le polynˆome Φp(X) =
p−1
P
k=0
Xkest irr´eductible dans Z[X] (on pourra
consid´erer Φp(X+ 1)).
Exercice 2.6 (MP*)
Soient a1, a2, ..., annnombres entiers relatifs deux `a deux distincts.
Montrer que les polynˆomes suivants sont irr´eductibles dans Q[X] :
a) P(X) = 1 +
n
Q
k=1
(X−ak)2b) Q(X) =
n
Q
k=1
(X−ak)−1.
3

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3 Groupes, anneaux, corps.
Exercice 3.1
Soient nun nombre entier et dun diviseur de n
1. Montrer que Z/nZ'Un={z∈C,tel que zn= 1}.
2. Montrer qu’il existe un unique sous-groupe Hdde Z/nZde cardinal d. Expliciter ce sous-groupe et en d´eduire tous les
sous-groupes de Z/nZ.
3. D´enombrer le nombre d´elements d’ordre dde Z/nZpuis montrer que
n=P
d|n
ϕ(d) (o`u ϕest d´efinie dans l’exercice 1.2).
Exercice 3.2
Soient (n, p)∈(N×)2,A1, ..., Appdes matrices de Mn(R) deux `a deux distinctes et inversibles ; on suppose que {A1, . . . , Ap}
est stable pour la multiplication.
1. ({A1, . . . , Ap},×) est-il un sous-groupe de GLn(R) ? (en justifiant)
2. Montrer que tr(
p
P
i=1
Ai)≡0 [p].
3. Montrer que ({A1, . . . , Ap},×) est un sous-groupe de GLn(R) ssi il est isomorphe `a un sous-groupe fini de GLm(R)
avec m6n.
Exercice 3.3 (MP*)
Soit pun nombre premier. On dit qu’un groupe (non n´ecessairement commutatif) est un p-groupe si son cardinal est une
puissance de p.
Soit Gun p-groupe op`erant sur un ensemble X. On note XG={x∈Xtel que g.x =x∀g∈G}.
1. Montrer que card(X) = card(XG)mod(p) (on pourra consid´erer l’´equation des classes)
2. En d´eduire que le centre ZG={h∈Gtel que gh =hg ∀g∈G}de Gest n’est pas r´eduit `a {1}(On pourra consid´erer
l’action de Gsur lui-mˆeme par congugaison i.e. g.h =ghg−1).
Exercice 3.4 (MP*)
Soit Gun groupe. On suppose que card(G) = pαmavec (m, p)=1.On dit que Hest sous-groupe de Sylow de Gsi Hest
un p-groupe de cardinal pα.
Soit Xl’ensemble des parties `a pα´el´ements de G. On fait agir Gsur Xpar g.A ={ga, a ∈A}o`u g∈Get A∈X.
1. (a) A l’aide l’exercice 1.4, montrer qu’il existe Aappartenant `a Xdont le cardinal de l’orbite n’est pas divisible par
p.
(b) Soit H=StabA.Montrer que H⊂Aa−1pour un certain a∈A.
(c) Montrer que Hest un p-sous-groupe de Sylow.
2. Soient Het H0deux sous-groupes de Sylow de G. On pose X=G/H ={gH, g ∈G}et on fait agir H0sur Xpar
h0.gH =
def h0gH
(a) Calculer le cardinal de X.
(b) A l’aide de la question de l’exercice 3.3, montrer que H0=aHa−1pour un certain a.
Exercice 3.5
SL(2,Z) est le groupe des matrices 2 ×2 `a coefficients entiers et de d´eterminant 1.
1. Montrer (SL(2,Z),×) est un groupe.
2. Montrer que (a b
c d,x y)7→ ax +by cx +dyd´efinie une action du groupe SL(2,Z) sur Z2.
3. Montrer que x
yet x0 y0appartiennent `a la mˆeme orbite ssi pgcd(x, y) = pgcd(x0, y0).
4. En d´eduire que SL(2,Z) est engendr´e par 1 1
0 1et 0 1 −1 0
4

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4 Endomorphismes et formes lin´eaires.
Exercice 4.1
On consid`ere la matrice A=
3−3 2
−1 5 −2
−1 3 0 
∈M3(R).
1. Calculer Anpour n∈N.
2. La matrice Aest-elle inversible ? si oui, expliciter son inverse.
3. Montrer que R3= ker(A−2I3)⊕ker(A−4I3).
4. Montrer qu’il existe matrice P∈GL3(R) telle que P−1AP soit une matrice diagonale
5. D´eterminer une base de ker(A−2I3) et une de ker(A−4I3).
Expliciter une matrice Ppossible pour la question 4.
6. Retrouver An
Exercice 4.2
Soit f∈ L(E).
1. On suppose que ∀x∈E, (x, f(x)) est li´ee. Montrer que fest une homoth´etie.
2. En d´eduire que si fcommute avec tous les ´el´ements de L(E) alors fest une homoth´etie.
Exercice 4.3
Soient p, q deux projecteurs tels que p◦q= 0.Montrer que p+qest un projecteur et le caract´eriser.
Exercice 4.4
1. Soient (a, b, c, d)∈k4.
Montrer que pour tout polynˆome Pde degr´e 4 et unitaire 
1a a2a4
1b b2b4
1c c2c4
1d d2d4
=
1a a2P(a)
1b b2P(b)
1c c2P(c)
1d d2P(d)
En choisissant convenablement P, calculer 
1a a2a4
1b b2b4
1c c2c4
1d d2d4
2. G´en´eraliser cette m´ethode pour calculer les d´eterminants de Vandermond
Exercice 4.5
Soit f∈ L(E).
1. Montrer que la suite (Ker fp)p≥0(resp. (Im fp)p≥0) est une suite croissante (resp. d´ecroissante) d’ensembles.
2. Montrer qu’il existe p0∈Ntel que ∀p≥p0Ker fp=Ker fp0et Im fp=Im fp0.
3. Montrer que p0≤dim(E) et E=Ker fp0LIm fp0
Exercice 4.6
Consid´erons la matrice M=1
3
8−1 1
−1 5 −2
1−2 5 
1. Expliciter ker(M−I3),ker(M−2I3) et ker(M−3I3).
2. Montrer que Mest diagonalisable,diagonaliser Met expliciter un polynˆome annulateur de M.
3. Soit Xune matrice 3 ×3 v´erifiant l’´equation (E) : X2=M. La matrice Xest-elle diagonalisable ?
4. Montrer que si eest un vecteur propre de X, alors eest un vecteur propre de M. En d´eduire les solutions de (E).
5