Agrégation Interne 2001 - Liste des sites Web des établissements

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Agreg Interne 2001 Corrigé des exercices d’induction I
Agrégation Interne 2001
Exercices d’induction I
Corrigé
Exo n°1 :
1. La machine est un générateur (transformation d’énergie potentielle de pesanteur en énergie élec-
trique), donc la force de Laplace sera résistante. Cas de Lorentz, donc méthode du champ électromo-
teur :
BvEm
. La vitesse est dirigée suivant Oz, le champ magnétique suivant Ox, donc le champ
électromoteur est dirigé suivant Oy. En module :
vBEm
, puis
vBadlEe
Cm..  
, car seule la barre
n’est pas fixe. Circuit purement résistif :
)()( tv
R
Ba
ti 
.
2. Force de Laplace :
CziBaFBdliF .. 
, d’où l’équation mécanique en projection sur l’axe
Oz :
(M) .iBamg
dt
dv
m
. Equation électrique :
)E( )()(. tRitvBae
. On élimine le courant :
g
v
dt
dv
v
R
Ba
Bamg
dt
dv
m  .
, avec
mR
aB 22
. Avec la condition initiale
0)0( v
, on obtient :
 / 1.)( t egtv
. Courbe classique d’un régime transitoire qui dure 6,9.
 Si
:t
on fait un DL :
2
2
1
.)( gtz
dt
dzt
gtv 
, on retrouve la loi de la chute libre. Au dé-
but du mouvement, la vitesse est faible, le courant & la force résistante de Laplace aussi.
 Si
:t
le régime permanent est atteint, alors
cste gv
(vitesse limite, comme la chute dans
l’air). La vitesse augmente, le courant & la force résistante de Laplace aussi, & l’équation (M)
donne :
Ba
mg
iRP 
.
3. Bilan de puissances : on forme les combinaisons
vM
&
iE
. On obtient :
ivBamgv
dt
dv
mvv.:(M) 
&
2
.:)E( RiviBai
, on élimine le terme de couplage
viBa.
, & on obtient
le bilan de puissances sous la forme générale :
dt
dW
pertesfournieRP  PP
, où la puissance fournie en
régime permanent est nulle (système isolé), la puissance dissipée dans les pertes vaut
2
RI
pertes P
, &
le système stocke de l’énergie cinétique de translation & de l’énergie potentielle de pesanteur :
mgzmvW 2
2
1
.
Exo n°2 :
1. Alors la dynamo fonctionne en récepteur, & le couple des forces de Laplace est moteur.
Equation électrique :
)E( NErIeE 
. Pour obtenir l’équation mécanique, il faut d’abord cal-
culer le couple moteur  en traduisant que la conversion de puissance est intégrale sur le transducteur,
soit :
 2 .INIeI Ie mecaelec PP
, d’où l’équation mécanique :
(M)
2
2
I
dt
dN
J
dt
d
J
. On élimine le courant :
rNE
I
& on reporte :
o
NN
dt
dN
NE
rdt
dN
J  -
2
2
, avec
2
2
4
 rJ
&
E No
.

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Agreg Interne 2001 Corrigé des exercices d’induction I
Par intégration, compte tenu de la condition initiale N(0) = 0 puisque le circuit est ouvert :
 / 1)( t
oeNtN
. On en déduit le courant :
/
2
2
2
/)(
4.
.
4tt
oe
r
E
tI
rJ
E
I
J
e
N
dt
dN
.
Interprétation :
 Pour t = 0 : N = 0, le circuit est ouvert & la dynamo à l’arrêt ;
r
E
I)0(
:
00  eN
& E = r.I.
 Pour
t
:
o
NN 
, régime permanent. Alors
0 IEe
. Le courant n’existe qu’en régime
transitoire.
Bilan de puissances : on forme les combinaisons
IE
&
M
, homogènes à des puissances. On
obtient :
NII
dt
d
JMNIrIEII  2 :. ,:.E 2
, & on élimine le terme de couplage
NI
. On obtient alors la forme générale :
dt
dW
pertesfournieRP  PP
, où la puissance fournie en régime
permanent vaut
EI
fournieRPP
, la puissance dissipée dans les pertes vaut
2
rI
pertes P
car il n’y a pas
de frottements, donc pas de pertes mécaniques, & le système stocke l’énergie
2
2
1 JW
(énergie ciné-
tique de rotation).
2. Les conditions initiales sont alors
0 , INN o
(valeurs du régime permanent). Alors la dynamo
devient générateur & le couple des forces de Laplace devient résistant, donc négatif dans l’équation mé-
canique. La conversion intégrale de puissance ayant toujours lieu, seul le signe change, donc :
(M)
2
2  I
dt
dN
J
. Le générateur est alors la fem e, donc :
)(E 0dt
dI
LN
dt
dI
Le 
. Pas
d’élimination directe, il faut dériver une équation :
dt
dI
dt
Nd
J
dt
d
 2 2 :
)M( 2
2
& on élimine
dt
dI
:
0
2
22
2
2
2
2
 N
dt
Nd
N
L
dt
Nd
J
, avec
L
r
LJ 
 1
42
2
2
donc homogène. Par intégration :
tBtAtN  sincos)(
. Condition initiale :
ANN o)0(
. On en déduit le courant :
t
LB
t
L
N
IN
Ldt
dI o
cossin
. Condition initiale :
BI  0)0(
, & donc finalement :
t
L
N
tItNtN o
o
 sin)( ,cos)(
.
Interprétation : on est en courant alternatif, la tension
NE 
aux bornes de l’inductance L est en qua-
drature sur le courant, & l’on a bien :
 L
I
E
Zm
m
comme il se doit. Période des grandeurs :
LJT 2
42
. Bilan de puissances :
NII
dt
d
JM
dt
dI
LINIeII  2 :. ,:.E
,
& on élimine le terme de couplage
NI
. Il reste :
cste
2
1
2
122 
LIJW
dt
dI
LI
dt
d
j
, résultat
normal pour un oscillateur harmonique.
3. L’équation mécanique n’est pas modifiée ; l’équation électrique devient :
)(E .R.I
dt
dI
LNIR
dt
dI
Le 
. On dérive :
dt
dI
R
dt
Id
L
dt
dN  2
2
, & on élimine
dt
dN
:

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0
44 2
2
2
2
2
2
2
 I
LJ
dt
dI
L
R
dt
Id
dt
dI
R
dt
Id
LI
J
. On retrouve la même pulsation propre .
Si on pose
 2
L
R
, le régime cesse d’être oscillant pour
J
L
R
LJ
L
Rc
c
c
 2
2
.
Exo n°3 :
1. Conducteur en mouvement dans un champ magnétique permanent, la roue est le siège de phénomènes
d'induction (cas de Lorentz). Origine : forces de Lorentz sur les électrons. Pour
0
, la force est diri-
gée de I1 vers O1, donc le courant & la fem en sens inverse. On calcule e avec le champ électromoteur,
car la roue n’est pas un circuit filiforme, & donc le flux n’est pas défini :
1
1 0
..
I
O
adrrBdlBve 
.
2. La conversion d’énergie a lieu dans le sens mécanique -> électrique, la machine est donc génératrice,
donc le couple est résistant d’après la loi de Lenz, donc
0
. Le courant I circule dans un conducteur
massif, constitué de circuits élémentaires filiformes parcourus par le courant dI. Pour un élément
dl
de
circuit, le couple élémentaire est donné par :
z
udrdIBrBdldIrFdrd 
 .
22 
. Par intégra-
tion :
z
a
zudIudrdIBrd   
0
.
, tous colinéaires, donc
IuI z 
.
3. L’opérateur fournit la puissance mécanique
IMopm 
.P
, & la machine génératrice fournit la
puissance électrique
IeI 
. Il y a donc conservation de l’énergie, ce qui n’est pas étonnant puisqu’il
n’y a pas de frottements (donc de pertes mécaniques), & que l’énoncé aurait dû dire que la résistance
électrique du disque était négligeable.
4. La loi de Pouillet conduit à l'équation électrique du système :
)( ERIe
L’équation méca-
nique sera donnée par le théorème du moment cinétique en projection sur Oz, dans un repère galiléen :
)( MI
dt
d
JOz
dt
Ozd
. Pour obtenir des grandeurs homogènes à des puissances, on
forme les combinaisons (M). & (E).I. On obtient :
I
dt
d
JMRIIIE   :).( & :).(2
. On
élimine le terme de couplage I, & on obtient :
 22 2
1
0J
dt
d
RI
, bilan de puissances de la
forme :
dt
dW
PertesFournie  PP
. Le système n’étant pas alimenté en énergie, l’énergie stockée W (de
forme cinétique) diminue pour être dissipée en effet Joule. Par élimination de I entre (E) & (M), on ob-
tient :
0
2
dt
d
Rdt
d
J
, où l’on a introduit la constante de temps
2
 JR
. Compte tenu de
la condition initiale
o
t )0(
, on obtient la loi suivante :
 / )( t
oet
. Avec l’équation (M), on
déduit :
/ )( t
oeItI
, avec
R
e
E
Ioo
o
cohérent.
5. La roue R1 ayant au départ une énergie de forme mécanique est génératrice, alors que la roue R2 ali-
mentée en courant se met en mouvement & fonctionne en moteur. Le couple
1
résistant va freiner, donc
1 & e1 vont diminuer, tandis que le couple
2
étant moteur, 2 & e2 vont augmenter, & ceci jusqu'à

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0
21  Iee
& disparition des effets mécaniques. On doit tendre vers un régime permanent, avec
deux vitesses de rotation constantes & égales. Les deux roues sont en série, donc parcourues par le
même courant I(t). e1 est une fem, alors que e2 est une fcem, d’où la nouvelle équation électrique :
2121
:)'(  RIeeE
. On a maintenant deux équations mécaniques, avec un couple résistant
pour la roue R1 & moteur pour la roue R2, soit :
I
dt
d
JMI
dt
d
JM 
2
2
21
1
1:)( & :)(
.
On effectue tout d’abord le bilan de puissances :
2
2
21
1
121
2 , ,
 I
dt
d
JI
dt
d
JIRI
d’où on déduit en éliminant les deux termes
de couplage
21 & II
:
 2
2
2
1
22
1
2
1
0JJ
dt
d
RI
du même type qu’avant. La combinaison
(M1) + (M2) donne :
o
 cste
21
. En utilisant l’équation électrique, on obtient :
2
'1
11
21 o odt
d
dt
dJ
RRI 
, avec
2
'
.
Compte tenu des conditions initiales :
'/'/'/
1
'/
1)(,1
2
)( ,1
2
)(    t
o
t
o
t
o
t
oe
R
eItIetet
.
L'obtention d'un état final où les deux roues tournent à la même vitesse angulaire est certainement irréa-
liste compte tenu de l'existence de frottements mécaniques qui entraînent inévitablement l'arrêt des deux
roues. Si on tente l'expérience, on n'arrive en fait même pas à mettre une roue en mouvement à l'aide du
courant délivré par le mouvement de l'autre !
Exo n°4 :
1. On calcule d’abord le moment
A
des forces de Laplace sur le rayon OA. La force élémentaire sur un
élément de courant centré au point P vaut :
BdlidFA
& est dirigée vers le bas. Puis :
AA dFOPd
, de sens opposé à
B
. En module :
2
2
1
.. iBadxiBxd AA 
. On calcule ensuite
le moment
B
des forces de Laplace sur le rayon OB parcouru par le courant I - i. La force élémentaire
sur un élément de courant centré au point P’ vaut :
BdliIdFB  )(
& est dirigée vers le haut.
B
d
a
le même sens que
A
d
. En module :
2
)(
2
1
.).( BaiIdxBiIxd BB 
, d’où le couple total :
2
2
1IBa
BA 
. C’est un couple moteur, d’où l’équation mécanique :
(M)
2
12
IBa
dt
d
J
.
2. C’est le cas de Lorentz, on utilise donc la méthode du champ électromoteur. Sur le rayon OA :
BvEm
. Le vecteur vitesse est vers le bas, donc le champ électromoteur est dirigé vers O, donc op-
posé à i (loi de Lenz). Puis :
a
OA mA BadxBxdlEe 0
2
2
1
...
, le signe - traduisant (convention
générateur) que ce eA est en opposition sur le courant réel. Sur le rayon OB : le vecteur vitesse est vers le
haut, donc le champ électromoteur est dirigé vers O, donc opposé à I - i (loi de Lenz). On en déduit que
AB ee 
, ces fem ont en commun le point O, & comme la résistance du cercle est négligeable, la ddp
entre les points A & B est nulle, les deux fem sont en parallèle & identiques, & la fem équivalente vaut :
2
2
1Bae
. On en déduit l’équation électrique :
(E)
2
12IBaEeE 
.
3. Bilan de puissances : on forme les combinaisons
M
&
IE
, homogènes à des puissances.

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On a :
 IBaIEIIIBa
dt
d
J222 2
1
:E ,
2
1
:M
. On élimine le terme de couplage
IBa2
2
1
,
& on arrive à la forme générale du bilan de puissances :
dt
dW
pertesfournieRP  PP
, où la puissance
fournie en régime permanent vaut
EI
fournieRPP
, la puissance dissipée dans les pertes vaut
2
I
pertes P
, & le système stocke l’énergie cinétique de rotation
2
2
1 JW
.
4. On revient aux équations (M) & (E), & on élimine le courant I :
o
dt
d
dt
d
Ba
J
BaEI  2
22
2
11
, en posant
42
4
aB
J
&
2
2
Ba
E
o
, formules manifes-
tement homogènes. Compte tenu de la condition initiale
0)0( 
, on obtient la loi :
 / 1)( t
oet
. On en déduit le courant :
//
42
22
/
22 4
2222 ttt
oe
E
e
J
aB
Ba
E
Ba
J
e
Ba
J
dt
d
Ba
J
I
. Interprétation :
 Si
 E It :0
, normal car
00  e
& il ne reste que  & E dans le circuit ;
 Si
o
t :
, c’est le régime permanent. Alors e = E, donc
0I
.
Exo n°5 : 1. La figure montre que toutes les forces élémentaires
dF
sont colinéaires & de
même sens. En supposant que toute la longueur du fil de la bobine est dans l’entrefer,
on a :
)(. tiBlF
. On en déduit l’équation mécanique avec la relation fondamentale
de la dynamique projetée sur l’axe Ox :
)(. tiBlfvkx
dt
dv
m
soit :
)M( )(. tiBlkxfv
dt
dv
m
, le signe + de la force de Laplace traduisant un fonc-
tionnement en moteur.
2. On est dans le cas de Lorentz, d’où calcul par le champ électromoteur :
BvEm
. La figure montre que ce champ est en opposition sur le courant i (con-
formément au fonctionnement en moteur), puis
)(.. tvBldlEe
Cm 
. On en déduit
l’équation électrique par la loi de Pouillet :
)E( )(.).(tvBl
dt
di
LiRrE oo 
. On établit le bilan de
puissances par la combinaison habituelle :
)().(.)( :)()M( 2tvtiBl
dt
dx
kxfv
dt
dv
tmvtv 
)().(.)().()(. :)()E( 2titvBl
dt
di
tiLiRrtiEti oo 
. On élimine le terme commun de couplage
)().(. tvtiBl
& on obtient le bilan sous la forme classique :
dt
dW
RP pertesfournie  PP )(
 22222 2
1
2
1
2
1
.).()(. kxiLmv
dt
d
vfiRrtiE oo