Les fonctions bijectives (biunivoques).

Les fonctions bijectives (biunivoques).
Soit une fonction f(x) = yune fonction avec domaine D.
•Nous dirons qu’un ensemble Rest un codomaine de la fonction fsi f(x) appartient `a
l’ensemble Rpour tout xdans le domaine Dde f.
–Par exemple, si la fonction f(x) = √xa comme domaine D= “tous les nombres
r´eels non-n´egatifs” on peut d´eclarer comme codomaine R= “tous les nombres
r´eels”. On peut ´egalement d´eclarer comme codomaine “tous les nombres r´eels
>−4” ou encore “tous les nombres r´eels non-n´egatifs”.
–Par contre, l’ensemble de “tous les nombres r´eels plus grands que z´ero ne peut pas
ˆetre d´eclar´e comme codomaine puisque 0 appartient au domaine Dde fet √0 = 0
n’appartient pas `a cet ensemble. Pour que l’ensemble Rsoit le codomaine de la
fonction favec domaine Dil faut absolument que f(x) appartienne `a l’ensemble
Rpeut importe la valeur de xchoisi dans l’ensemble D.
•Supposons que, pour la fonction f(x) = yavec domaine D, on d´eclare l’ensemble R
comme codomaine. Si pour tout ydans l’ensemble Ril existe un xdans l’ensemble
Dtel quel f(x) = ynous dirons que Rest l’image de fsur D.
–Par exemple, pour la fonction f(x) = √xavec domaine D= “tous les nom-
bres r´eels non-n´egatifs” d´ecrite ci-dessus on ne peut pas dire que le codomaine
R=“tous les nombres r´eels plus grand que −4” est l’image de fsur Dpuisque
pour le nombre −1 dans Ril n’existe pas de nombre xdans Dtel que f(x) =
√x=−1.
–Par contre il est clair que l’ensemble R= “tous les nombres r´eels non-n´egatifs”
est l’image de fsur Dpuisque si yappartient `a R, le nombre y2appartient `a D
et f(y2) = py2=y. Donc peu importe la valeur d’ychoisie dans Ril existe un
xdans Dtel que √x=y.
•Si Rest l’image de fsur Don peut dire que la fonction f:D→Rest une surjection.
On peut ´egalement dire que la fonction f:D→Rest surjective. Voir la figure 1. la
page fin de ce fichier.
•Si Rest l’image de fsur Det pour tout ydans le codomaine R, il existe une seule
valeur xdans Dtel que f(x) = yon dit que la fonction fest une injection et que la
fonction f:D→Rest injective. Voir la figure 2. `a la fin de ce fichier.
•Une fonction f:D→Rqui est `a la fois injective et surjective est appel´ee une fonction
bijective ou biunivoque. Consid´erons les exemples suivants.
–Soit la fonction f(x) = x2. Supposons qu’on d´eclare comme domaine D= “tous
les nombres r´eels” et comme codomaine R= “tous les nombres r´eels”
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∗Cette fonction f:D→Rn’est pas surjective puisque, pour y=−4 dans
le codomaine, il n’existe pas de valeur xdans le domaine telle que f(x) =
x2=−4. N’´etant pas surjective elle ne peut donc pas ˆetre bijective (ou
biunivoque).
–Nous red´efinissons un peu notre codomaine. Soit la fonction f(x) = x2avec
domaine D= “tous les nombres r´eels” et comme codomaine R= “tous les
nombres r´eels non-n´egatifs”.
∗Cette fonction f:D→Rest surjective puisque, pour tout ydans le
codomaine R, il existe une valeur xdans le domaine Dtelle que f(x) =
x2=y: il s’agit de la valeur x=√y. On voit que f(√y) = √y2=y.
–Nous avons vu que la fonction f(x) = x2avec domaine D= “tous les nom-
bres r´eels” et comme codomaine R= “tous les nombres r´eels non-n´egatifs” est
surjective. Est-elle injective?
∗Cette fonction f:D→Rn’est pas injective puisque pour le num´ero 4 dans R
il existe les deux num´eros 2 et −2 dans le domaine tel que f(2) = f(−2) = 4.
N’´etant pas injective la fonction f:D→Rainsi d´efinie ne peut pas ˆetre
bijective.
–Nous red´efinissons un peu notre domaine. Soit la fonction f(x) = x2avec do-
maine D= “tous les nombres r´eels non-n´egatifs” et comme codomaine R= “tous
les nombres r´eels non-n´egatifs”.
∗Cette fonction f:D→Rest injective puisque, le domaine n’ayant que des
valeurs positives, pour tout num´ero ydans Ril ne peut y avoir qu’une seule
valeur xdans le domaine telle que f(x) = y. Donc la fonction f:D→R
avec domaine Det codomaine Rainsi d´efinis est bijective (´etant `a la fois
surjective et injective).
Pous s’assurer qu’une fonction f:D→Rest injective plusieurs visualisent la courbe de
cette fonction dans le plan cart´esien en appliquant ce qu’on appelle parfois “la r´egle de la
droite horizontale” qui dit que si aucune droite horizontale coupe la courbe de f(x) = y`a
deux endroits, la fonction f(x) = yest injective.
•Ainsi on peut rapidement conclure, par exemple, que toute fonction lin´eaire f:R→R,
f(x) = mx +b, (m6= 0) est injective. Les domaines et codomaine choisis dans cet
exemple nous permettent de conclure que toutes ces fonctions sont bijectives.
•Puisqu’on consulte parfois des livres en anglais qui touchent `a ce sujet il est utile de
connaˆıtre les termes ´equivalents en anglais:
–“surjective” = “onto” ou “surjective”,
–“injective” = “one-to-one” ou “injective”,
–“bijective” = “one-to-one onto” ou “bijective”.
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Club Pythagore, 2008
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Figure 1: Fonction surjective et non-surjective
Figure 2: Fonction injective et non-injective
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Figure 3: Fonction bijective ou biunivoque
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