Les fonctions bijectives (biunivoques).

Les fonctions bijectives (biunivoques).
Soit une fonction f (x) = y une fonction avec domaine D.
• Nous dirons qu’un ensemble R est un codomaine de la fonction f si f (x) appartient à
l’ensemble R pour tout x dans le domaine D de f .
√
– Par exemple, si la fonction f (x) = x a comme domaine D = “tous les nombres
réels non-négatifs” on peut déclarer comme codomaine R = “tous les nombres
réels”. On peut également déclarer comme codomaine “tous les nombres réels
> −4” ou encore “tous les nombres réels non-négatifs”.
– Par contre, l’ensemble de “tous les nombres réels plus grands que zéro ne peut
√ pas
être déclaré comme codomaine puisque 0 appartient au domaine D de f et 0 = 0
n’appartient pas à cet ensemble. Pour que l’ensemble R soit le codomaine de la
fonction f avec domaine D il faut absolument que f (x) appartienne à l’ensemble
R peut importe la valeur de x choisi dans l’ensemble D.
• Supposons que, pour la fonction f (x) = y avec domaine D, on déclare l’ensemble R
comme codomaine. Si pour tout y dans l’ensemble R il existe un x dans l’ensemble
D tel quel f (x) = y nous dirons que R est l’image de f sur D.
√
– Par exemple, pour la fonction f (x) = x avec domaine D = “tous les nombres réels non-négatifs” décrite ci-dessus on ne peut pas dire que le codomaine
R =“tous les nombres réels plus grand que −4” est l’image de f sur D puisque
pour le nombre −1 dans R il n’existe pas de nombre x dans D tel que f (x) =
√
x = −1.
– Par contre il est clair que l’ensemble R = “tous les nombres réels non-négatifs”
est l’image p
de f sur D puisque si y appartient à R, le nombre y 2 appartient à D
et f (y 2 ) = y 2 = y. Donc peu importe la valeur d’y choisie dans R il existe un
√
x dans D tel que x = y.
• Si R est l’image de f sur D on peut dire que la fonction f : D → R est une surjection.
On peut également dire que la fonction f : D → R est surjective. Voir la figure 1. la
page fin de ce fichier.
• Si R est l’image de f sur D et pour tout y dans le codomaine R, il existe une seule
valeur x dans D tel que f (x) = y on dit que la fonction f est une injection et que la
fonction f : D → R est injective. Voir la figure 2. à la fin de ce fichier.
• Une fonction f : D → R qui est à la fois injective et surjective est appelée une fonction
bijective ou biunivoque. Considérons les exemples suivants.
– Soit la fonction f (x) = x2 . Supposons qu’on déclare comme domaine D = “tous
les nombres réels” et comme codomaine R = “tous les nombres réels”
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∗ Cette fonction f : D → R n’est pas surjective puisque, pour y = −4 dans
le codomaine, il n’existe pas de valeur x dans le domaine telle que f (x) =
x2 = −4. N’étant pas surjective elle ne peut donc pas être bijective (ou
biunivoque).
– Nous redéfinissons un peu notre codomaine. Soit la fonction f (x) = x2 avec
domaine D = “tous les nombres réels” et comme codomaine R = “tous les
nombres réels non-négatifs”.
∗ Cette fonction f : D → R est surjective puisque, pour tout y dans le
codomaine R, il existe une valeur x dans le domaine D telle que f (x) =
√
√
√
x2 = y: il s’agit de la valeur x = y. On voit que f ( y) = y 2 = y.
– Nous avons vu que la fonction f (x) = x2 avec domaine D = “tous les nombres réels” et comme codomaine R = “tous les nombres réels non-négatifs” est
surjective. Est-elle injective?
∗ Cette fonction f : D → R n’est pas injective puisque pour le numéro 4 dans R
il existe les deux numéros 2 et −2 dans le domaine tel que f (2) = f (−2) = 4.
N’étant pas injective la fonction f : D → R ainsi définie ne peut pas être
bijective.
– Nous redéfinissons un peu notre domaine. Soit la fonction f (x) = x2 avec domaine D = “tous les nombres réels non-négatifs” et comme codomaine R = “tous
les nombres réels non-négatifs”.
∗ Cette fonction f : D → R est injective puisque, le domaine n’ayant que des
valeurs positives, pour tout numéro y dans R il ne peut y avoir qu’une seule
valeur x dans le domaine telle que f (x) = y. Donc la fonction f : D → R
avec domaine D et codomaine R ainsi définis est bijective (étant à la fois
surjective et injective).
Pous s’assurer qu’une fonction f : D → R est injective plusieurs visualisent la courbe de
cette fonction dans le plan cartésien en appliquant ce qu’on appelle parfois “la régle de la
droite horizontale” qui dit que si aucune droite horizontale coupe la courbe de f (x) = y à
deux endroits, la fonction f (x) = y est injective.
• Ainsi on peut rapidement conclure, par exemple, que toute fonction linéaire f : R → R,
f (x) = mx + b, (m 6= 0) est injective. Les domaines et codomaine choisis dans cet
exemple nous permettent de conclure que toutes ces fonctions sont bijectives.
• Puisqu’on consulte parfois des livres en anglais qui touchent à ce sujet il est utile de
connaı̂tre les termes équivalents en anglais:
– “surjective” = “onto” ou “surjective”,
– “injective” = “one-to-one” ou “injective”,
– “bijective” = “one-to-one onto” ou “bijective”.
c Club Pythagore, 2008
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Figure 1: Fonction surjective et non-surjective
Figure 2: Fonction injective et non-injective
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Figure 3: Fonction bijective ou biunivoque
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