activité : la trigonométrie

Activité-cours
Les fonctions trigonométriques
2nde
y
I. Abscisse curviligne
Le plan est muni d'un repère orthonormal (O,I,J).
Soit C le cercle de rayon 1 et de centre O. Soient I' et J' les points du
cercle C diamétralement opposés respectivement à I et J.
Soit K le point de coordonnées (1;1). On appelle (d) la droite (IK),
munie du repère (I, K).
1
J
K
1. Quelle est la longueur du cercle C ? de l'arc I I’ ?
On suppose que l'on enroule la droite (d) autour du cercle C., de sorte
qu'à tout point N d'abscisse x de (d) correspond un point M du cercle
trigonométrique.
Le réel x s'appelle alors abscisse curviligne du point M.
2. Quel point de C coïncide avec le point d’abscisse Error! de (d) ?
3. Compléter le tableau suivant :
Point M du cercle C
I
I'
1I
0
x
J'
J
I'
J'
Abscisse curviligne de M
Remarque : Un point M de C a une infinité d'abscisses curvilignes de la forme : x + …...
Vocabulaire : Le cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens direct (sens giratoire des rondspoints en France), est appelé cercle trigonométrique.
II. Radians et angles orientés
On se place sous les mêmes hypothèses qu'en I.
a. Notion de radian
Définition : Le radian est une unité de mesure des angles.
C’est la mesure de l'angle au centre qui intercepte sur C un arc de longueur 1.
Remarque : Pour un angle géométrique entre 0° et 180°, sa mesure en radian est ……………… à sa
mesure en degrés.
1. Combien vaut, en degrés, un angle de  radians ?
2. Calculer la valeur en radian d'un angle droit.
3. Compléter le tableau suivant :
Mesure de  en degrés
0
30
60
45
90
120
135
150
180
Mesure de  en radian
b. Des angles orientés
Un point M, partant de I, se déplace sur le cercle trigonométrique.
A tout nombre réel x positif, on fait correspondre une position unique du point M : x est la distance
parcourue par ce point lorsque celui-ci tourne dans le sens direct.
A tout nombre réel x négatif, on fait correspondre une position unique du point M : x est la distance
parcourue par ce point lorsque celui-ci tourne dans le sens indirect.
Le réel x est appelé mesure en radian de l’angle orienté (

;OI,

;OM).
Exercice : Dessiner un cercle trigonométrique puis y placer les points correspondant aux angles (en
radian) suivants : Error! ;-Error! ; Error! ; Error! ; -Error! ; Error! ; -Error!
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III. Fonctions sinus et cosinus
a. Sinus et cosinus d’un réel x.
Soit M un point de C d'abscisse curviligne x.
On appelle cosinus du réel x, noté cos x, l'abscisse de M
dans le repère (O,I,J).
On appelle sinus du réel x, noté sin x, l'ordonnée de M
dans le repère (O,I,J).
1. D’après cette définitions, quelles sont les valeurs que peuvent prendre cos x et sin x ?
2. En utilisant le théorème de Pythagore, démontrer l’égalité cos2 x + sin2 x = 1
3. Remplir le tableau de valeurs remarquables suivant, où x est exprimé en radian.
x
0
Error!
Error!
Error!
Error!

cos x
sin x
b. Etude des fonctions sinus et cosinus
Définition :
La fonction cosinus est la fonction, définie sur R, qui à tout réel x associe cos x.
La fonction sinus est la fonction, définie sur R, qui à tout réel x associe sin x.
- Tracer, dans un même repère, les courbes représentatives des fonctions sinus et cosinus.
- Quelles remarques peut-on faire (parité, périodicité) ?
- Donner le tableau de variations des fonctions sinus et cosinus sur [-  ; + ].
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