activité : la trigonométrie

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Activité-cours
L
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2nde
I. Abscisse curviligne
Le plan est muni d'un repère orthonormal (O,I,J).
Soit C le cercle de rayon 1 et de centre O. Soient I' et J' les points du
cercle C diamétralement opposés respectivement à I et J.
Soit K le point de coordonnées (1;1). On appelle (d) la droite (IK),
munie du repère (I, K).
1. Quelle est la longueur du cercle C ? de l'arc I I’ ?
On suppose que l'on enroule la droite (d) autour du cercle C., de sorte
qu'à tout point N d'abscisse x de (d) correspond un point M du cercle
trigonométrique.
Le réel x s'appelle alors abscisse curviligne du point M.
2. Quel point de C coïncide avec le point d’abscisse
Error!
de (d) ?
3. Compléter le tableau suivant :
Point M du cercle C
I
J
I'
J'
Abscisse curviligne de M
Remarque : Un point M de C a une infinité d'abscisses curvilignes de la forme : x + …...
Vocabulaire : Le cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens direct (sens giratoire des ronds-
points en France), est appelé cercle trigonométrique.
II. Radians et angles orientés
On se place sous les mêmes hypothèses qu'en I.
a. Notion de radian
Définition : Le radian est une unité de mesure des angles.
C’est la mesure de l'angle au centre qui intercepte sur C un arc de longueur 1.
Remarque : Pour un angle géométrique entre 0° et 180°, sa mesure en radian est ……………… à sa
mesure en degrés.
1. Combien vaut, en degrés, un angle de  radians ?
2. Calculer la valeur en radian d'un angle droit.
3. Compléter le tableau suivant :
Mesure de  en degrés
0
30
60
45
90
120
135
150
180
Mesure de  en radian
b. Des angles orientés
Un point M, partant de I, se déplace sur le cercle trigonométrique.
A tout nombre réel x positif, on fait correspondre une position unique du point M : x est la distance
parcourue par ce point lorsque celui-ci tourne dans le sens direct.
A tout nombre réel x négatif, on fait correspondre une position unique du point M : x est la distance
parcourue par ce point lorsque celui-ci tourne dans le sens indirect.
Le réel x est appelé mesure en radian de l’angle orienté (;OI, ;OM).
Exercice : Dessiner un cercle trigonométrique puis y placer les points correspondant aux angles (en
radian) suivants :
Error!
;-
Error!
;
Error!
;
Error!
; -
Error!
;
Error!
; -
Error!
I
J
I'
J'
K
0 1
1
x
y
I
J
I'
J'
K

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III. Fonctions sinus et cosinus
a. Sinus et cosinus d’un réel x.
Soit M un point de C d'abscisse curviligne x.
On appelle cosinus du réel x, noté cos x, l'abscisse de M
dans le repère (O,I,J).
On appelle sinus du réel x, noté sin x, l'ordonnée de M
dans le repère (O,I,J).
1. D’après cette définitions, quelles sont les valeurs que peuvent prendre cos x et sin x ?
2. En utilisant le théorème de Pythagore, démontrer l’égalité cos2 x + sin2 x = 1
3. Remplir le tableau de valeurs remarquables suivant, où x est exprimé en radian.
x
0
Error!
Error!
Error!
Error!
cos x
sin x
b. Etude des fonctions sinus et cosinus
Définition :
La fonction cosinus est la fonction, définie sur R, qui à tout réel x associe cos x.
La fonction sinus est la fonction, définie sur R, qui à tout réel x associe sin x.
- Tracer, dans un même repère, les courbes représentatives des fonctions sinus et cosinus.
- Quelles remarques peut-on faire (parité, périodicité) ?
- Donner le tableau de variations des fonctions sinus et cosinus sur [-  ; + ].