Chapitre 7 : Trigonométrie I. Cosinus et sinus dans un triangle rectangle hypoténuse côté adjacent à l'angle ̂ et côté opposé à l'angle ̂ côté adjacent à l'angle ̂ et côté opposé à l'angle ̂ DÉFINITION 1 : dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est égal au quotient du côté adjacent par l'hypoténuse. Sur l'exemple ci-dessus, on a : ( ̂ ) ( ̂ ) EXEMPLE 1 : (̂) ( ) ( ) Donc : ( ) EXEMPLE 2 : (̂) Donc : ( ) DÉFINITION 2 : dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle aigu est égal au quotient du côté opposé par l'hypoténuse. EXEMPLE 1 : ( ̂ ) ( ) Donc : ( ) EXEMPLE 2 : ( ̂ ) ( Donc : ( ) ) II. Angles en radian DÉFINITION 3 : le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1 muni d’une orientation directe (sens inverse des aiguilles d’une montre). L’enroulement de la droite d’équation autour du cercle trigonométrique permet d’associer à tout point du cercle une mesure, appelée « angle en radian », égale à la longueur de l’arc associé. Conversion des degrés en radians (et réciproquement) : Angle en degrés 0° Angle en radians 0 30° 45° 60° 90° 180° 360° Les mesures sont proportionnelles : si l’on se souvient que « 180° correspond à », on peut retrouver toutes les autres mesures. III. Cosinus et sinus d’un nombre réel Rappel : au collège, on ne définit pas le cosinus et le sinus d’un nombre réel. On définit uniquement ces concepts dans le cadre d’un triangle rectangle (avec le côté adjacent, le côté opposé et l’hypoténuse). DÉFINITION 4 : soit et le point du cercle trigonométrique associé à . Le cosinus de est l’abscisse du point . Le sinus de est l’ordonnée du point . On note les coordonnées ainsi : ( ( ) ( )) Conséquences : i. ii. iii. ( ( ( ) ) ) et ( ) et ( ( ) et ( ) ( ) : le cercle trigonométrique est de rayon 1. ) ( ) : rajouter revient à faire un tour de plus. ( ) : voir graphique. ̂ un angle aigu et Lien avec la trigonométrie du collège : on note Dans le triangle rectangle la longueur de l’arc ̂ . , on a : ( ) D’où : ( ) ( ) ( ) De même : ( ) Et donc : ( ) ( ) ( ) Conclusion : les deux définitions du cosinus et du sinus sont équivalentes lorsque notations suivantes : ( ) ( ( ) ) ( ( ) Degrés Radians Les valeurs remarquables à connaitre : Angles en radian Cosinus Sinus 0 √ √ √ √ ) est aigu. Ceci justifie les ( ) Attention à bien configurer la calculatrice !