I. Le cercle trigonométrique, abscisse curviligne. O

Classe de 1S1
Trigonométrie.
I. Le cercle trigonométrique, abscisse curviligne.
 O , I , J  est un repère orthonormal.
1. Le cercle trigonométrique.
Définition
le cercle trigonométrique est le cercle C de centre O de
rayon 1, orienté d'un sens appelé direct et choisi arbitrairement (en
général on choisit le sens contraire des aiguilles d'une montre).
+
2. Enroulement de la droite réelle sur le cercle trigonométrique.
Lorsque le zéro de la droite des réels coïncide avec le point I sur le cercle on enroule la demi-droite
des réels positifs sur le cercle dans le sens positif choisi et la demi-droite des réels négatifs dans le
sens contraire.
Chaque point M du cercle est ainsi recouvert par une infinité
de nombres réels tous appelés abscisses curvilignes du point
M.
Proposition. Si  et  ' sont deux abscisses curvilignes de M
alors elles diffèrent d'un multiple entier de 2  .
Autrement dit il existe un entier k tel que  − ' = k × 2  .
Conséquence : Si  est une abscisse curviligne de M toutes
les autres s'écrivent   k × 2 
✍
Voir exercices corrigés 12 à 17 page 299.
Quelques repérages sur le cercle
trigonométrique
Proposition. Parmi toute les abscisses curvilignes d'un point une seule appartient à l'intervalle
[ − ;  ] : c'est l'abscisse curviligne principale.
S. Baudet
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Trigonométrie.
II Le radian.
Définition. Le radian est la mesure d'un angle au centre qui intercepte sur le cercle de rayon 1 un
arc de longueur 1
Définition (bis) Le radian est la mesure d'un angle
au centre qui intercepte sur le cercle un arc de
longueur égale à son rayon r. (voir exercice 22 page
300)
1
La mesure en radian d'un angle correspond à la longueur de l'arc intercepté par cet angle au centre
sur le cercle trigonométrique.
Proposition. Les mesures en radians et en degrés d'un angle sont proportionnelles





radian
2
3
4
6
degré
180°
90°
60°
45°
30°
✍ Voir exercices 19 et 20 page 300
S. Baudet
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Trigonométrie.
III. Angle orienté et mesure.
Tout couple de vecteurs  u , v  défini un angle
orienté unique. (mais pas de mesure unique !)
Si t est une abscisse curviligne de A et si t ' est une
abscisse curviligne de B alors une mesure de l'angle
 u , v  est : t ' −t (observez bien l'ordre)
β
 et  sont les longueurs des deux arcs 
AB.
Alors deux mesures en radian de l'angle orienté
α
 u , v  sont  et − .
L'une des deux appartient à ]− ,  ] (sur ce schéma − ), c'est la mesure principale de
l'angle  u , v  (elle correspond au plus petit arc géométrique).
Si  est une mesure de l'angle  u , v  toutes les autres sont les nombres :
  k ×2  où k ∈ ℤ
Exemple:
mes(  u , v  )=..............
•
mes(  u , 
w  )=..............
•
mes(  v , 
w  )=..............
Exercices Trouver les mesures principales de :
16 
−127 
31   −23  
5
4
3
6
Angles particuliers.
Dorénavant on identifie l'angle et ses mesures... on écrit  u , v  = sur 5 modulo deux pi » ) ou  u ; v  =
k∈ℤ
•
•
•

 k ×2  ,
5

 2   (lire égal à « pi 5

l'angle nul  u , v  =  u , v  =O=0
 2  l'angle plat  u , −u  = =  2  

l'angle droit  i , j  =  2  
2

 j , i  =−  2   est appelé angle droit indirect .
2
⃗
⃗
( O ; i , j ) et ( O ;⃗
u,⃗
v ) sont des repères orthonormaux directs.
⃗
⃗
( O ; i ,− j ) est un repère orthonormal indirect.
S. Baudet
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