PARTIE A :ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES

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ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES – DIFFÉRENTIELLE
PARTIE A :ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES
I. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES DU 1er ORDRE
I.1 Forme canonique
Une équation différentielle linéaire du 1er ordre à coefficients constants peut se mettre sous la forme canonique
suivante :
()
d
d
et
ss
t
τ
τ
+= . Il n’y pas de forme canonique bien précise pour 2nd membre. On pourrait écrire également :
()
d
d
ssct
t
τ
+=
I.2 Résolution de l’équation différentielle ou intégration de l’équation différentielle
Pour résoudre ou intégrer1 cette équation différentielle, on utilisera les 4 étapes suivantes :
• Recherche de la solution générale de l’équation homogène (ou équation différentielle sans second
membre). En physique, on dit que l’on recherche le régime libre que l’on peut appeler provisoirement
SG
s
.
• Recherche de la solution particulière de l’équation différentielle avec second membre. En physique, on
dit que l’on recherche le régime forcé ou permanent que l’on peut appeler provisoirement SP
s
.
• En math, on peut démontrer le théorème suivant : SG SP
s
ss
=
+.
• Il reste à déterminer la constante d’intégration2 en utilisant les conditions initiales.
I.3 Solution générale de l’équation homogène ou régime libre
On peut démontrer que la solution générale associée à d0
d
ss
t
τ
+
= est : exp
SG
t
sA
τ
=−
A est une constante intégration qui sera calculée uniquement dans la 4ème étape.
I.4 Solution particulière de l’équation différentielle avec second membre ou régime permanent ou régime forcé
On cherche des solutions dont la forme est inspirée par celle du 2nd membre :
- une constante si le second membre est constant
- une fonction t
α
β + si le second membre est de la forme mt n
+
- une fonction
()
cos
mS
St
ω
θ + si le second membre est sinusoïdal de pulsation
ω
:
() ( )
cos
me
et E t
ω
θ =+
On utilisera la méthode des complexes (voir paragraphe I.6b))
- une fonction 1
kt
e α
− si le second membre est de la forme 1 kt
e λ
− (cours cinétique chimique).
CONCLUSION : Il y a de nombreuses confusions. Chercher le régime permanent ne signifie pas
nécessairement sSP = e(t)… Pour trouver le régime permanent ou régime forcé, il faut trouver une fonction
qui soit solution de l’équation différentielle et avoir 0 = 0. Si e dépend du temps, évidemment, on n’a pas sSP =
e…
I.5 Théorème de superposition
Si le second membre est la somme de plusieurs termes :
(
)
(
)
(
)
(
)
123
...et e t e t e t
=
+++, pour trouver la solution
particulière sSP, il suffit de chercher une solution particulière en appliquant à l’entrée uniquement e1 puis e2, puis e3…
1 Attention : le terme intégrer peut prêter à confusion. Il ne s’agit pas de prendre une primitive de l’équation différentielle mais tout simplement de la
résoudre.
2 On a une seule constante d’intégration car on a une équation différentielle du premier ordre.

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t (s)
510 15 20
y (s)
0.5
1
1.5
2
2.5
- Si on applique e1, on cherche sSP1 solution particulière de l’équation différentielle : 1
d
d
e
ss
t
τ
τ
+
=
- Si on applique e2, on cherche sSP2 solution particulière de l’équation différentielle : 2
d
d
e
ss
t
τ
τ
+
=
- Si on applique e3, on cherche sSP3 solution particulière de l’équation différentielle : 3
d
d
e
ss
t
τ
τ
+
=
Alors
() ()
(
)()
123
...
SP SP SP SP
st s ts ts t=+++.
On utilisera ce résultat avec la décomposition en série de Fourier d’un signal périodique.
I.6 Cas particulier d’un second membre constant : e(t) = E
On étudie la réponse à un échelon de tension E : pour 0t
<
,
(
)
0et
=
et pour 0t≥,
(
)
et E=.
L’équation différentielle s’écrit alors : d
d
s
sE
t
τ
τ
+=
Pour résoudre ou intégrer cette équation différentielle, on utilisera les 4 étapes suivantes :
• solution générale de l’équation homogène ou régime libre :
t
SG
s
Ae
τ
−
=.
• solution particulière de l’équation différentielle avec second membre ou régime forcé ou régime
permanent. On cherche une solution particulière de la même forme, ici le second membre est constant. La
technique générale consiste à réinjecter s2 dans l’équation différentielle avec d
et 0
d
SP
SP
s
scte t ==
, soit
0SP
sE
τ
τ
+=. On obtient donc SP
s
E
=
• exp t
s
AE
τ
−
=+
• Détermination de la constante d’intégration en utilisant les conditions initiales. Supposons qu’à t = 0, s = 0.
On obtient alors
A
E=− et exp 1 exp
tt
sE EE
ττ
−
−
=− + = −
.
CONCLUSION : La solution s est donc la somme de deux termes : régime forcé et régime permanent.
- entre 0 et quelques τ , on dit que l’on est en RÉGIME TRANSITOIRE.
- après quelques τ , le régime libre tend vers 0. Il ne reste que le RÉGIME PERMANENT OU FORCÉ.
a) Temps de réponse à 5%
C’est le temps nécessaire pour que la sortie soit définitivement à 5%
±
de la valeur finale.
On résout : 5%
ss
s
∞
∞
−≤. On trouve 3t
τ
=
CONCLUSION : au bout de 3
τ
, la sortie est égale à la valeur finale à 5% près. Au bout de 5
τ
, la sortie est
égale à la valeur finale à 0,7% près.
b) Exercice : Calculer s en régime sinusoïdal forcé.
On a vu que très rapidement, on est en régime permanent. Dans de nombreux cas, on ne s’intéresse pas au régime
transitoire mais uniquement au régime forcé. Dans ce cas, il est inutile de chercher la solution générale de l’équation
homogène.
Filtre du premier ordre
τ = 5s et E = 3 V

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ÉNONCÉ DE L’EXERCICE: On impose une excitation de la forme
(
)()
cos
me
et E t
ω
θ =+, résoudre l’équation
différentielle en régime permanent. On dit que l’on travaille en régime sinusoïdal forcé. On cherche alors s2 (que
l’on écrit s puisqu’on ne cherche pas dans ce cas s1) sous la forme :
(
)
(
)
cos
mS
st S t
ω
θ =+.
La méthode à connaître est d’utiliser la représentation complexe. On associe une grandeur sinusoïdale
() ( )
cosft t
α
ωϕ =+ une représentation complexe notée
(
)
(
)
expfjt
α
ω
ϕ
=+ ou
()
()
expfjt
α
ω
ϕ
=−+. En
électrocinétique, on utilisera toujours
(
)
(
)
expfjt
α
ω
ϕ
=+ alors que dans d’autres domaines de la physique,
on pourra utiliser l’autre notation. Dans les deux cas,
()
(
)
Reft f=.
On a donc une excitation :
()
(
)
()
()
cos
exp
me
me
et E t
eE j t
ω
θ
ω
θ
= +
=+
. On cherche
(
)
(
)
()
()
cos
exp
mS
mS
st S t
sS j t
ω
θ
ωθ
= +
=+
L’équation différentielle est : d
d
s
se
t
τ
τ
+=. On réécrit cette équation différentielle en complexes : d
d
s
se
t
τ
τ
+=
Le gros avantage est qu’une dérivation revient à multiplier par j
ω
avec la notation
(
)
()
expfjt
α
ω
ϕ
=+
ou
à multiplier par j
ω
− avec la notation
(
)
(
)
expfjt
α
ωϕ =−+.
Ici, on a
s
e
js
ω
τ
τ
+=, soit 1
e
sj
ω
τ
=+. Pour identifier deux complexes, on utilise soit les modules et argument,
soit les parties réelles et imaginaires. 1
e
sj
ω
τ
=+ =>
()
()
2
1
arg arg arg 1
m
m
E
S
se j
ωτ
ω
τ
=
+
=− +
, soit
()
2
1
m
m
E
S
t
ωτ
ω
=
+
St
θω += e
θ
ϕ
+
−
On a donc :
()
arg 1 j
ϕ
ωτ =+. Il reste à déterminer
ϕ
avec
()
2
partie imaginaire
tan partie réelle
1
cos 0
1
ϕ
ωτ
ϕ
ωτ
==
= >
+
ATTENTION : La détermination d’un angle pose toujours des difficultés. La connaissance de la tangente est
insuffisante car l’angle serait déterminer à
π
près. Il faut connaître en plus le signe du cosinus ou du sinus.
Ici cos 0
ϕ
≥, on peut en déduire que
ϕ
est compris entre et
22
π
π
−.
II. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES DU 2nd ORDRE
II.1 Forme canonique
Une équation différentielle linéaire du 2nd ordre à coefficients constants peut se mettre sous la forme canonique
suivante :
()
2
0
0
s
sset
Q
ωω
++=
  .
On définit : 0 = pulsation propre
ω
; = facteur de qualitéQ et 1
= coefficient d'amortissement 2Q
σ =.
Il n’y pas de forme canonique bien précise pour le 2nd membre. On rencontre également la forme canonique suivante :
()
2
00
2
s
sset σω ω ++=
  .
Remarque : si le coefficient devant s est négatif, on l’identifie à 2
0
ω
−
II.2 Résolution de l’équation différentielle ou intégration de l’équation différentielle
Pour résoudre ou intégrer cette équation différentielle, on utilisera les 4 étapes suivantes :

Q Cours de Physique (00-101) Page 4 sur 14 JN Beury
• Recherche de la solution générale de l’équation homogène (ou équation différentielle sans second
membre). En physique, on dit que l’on recherche le régime libre que l’on peut appeler provisoirement
SG
s
.
• Recherche de la solution particulière de l’équation différentielle avec second membre. En physique, on
dit que l’on recherche le régime forcé ou permanent que l’on peut appeler provisoirement SG
s
• En math, on peut démontrer le théorème suivant : SG SP
s
ss
=
+
• Il reste à déterminer les constantes d’intégration1 en utilisant les conditions initiales.
II.3 Solution particulière de l’équation différentielle avec second membre ou régime permanent ou régime forcé
On cherche des solutions dont la forme est inspirée par celle du 2nd membre :
- une constante si le second membre est constant
- une fonction t
α
β + si le second membre est de la forme mt n
+
- une fonction
()
cos
mS
St
ω
θ + si le second membre est sinusoïdal de pulsation
ω
:
() ( )
cos
me
et E t
ω
θ =+
On utilisera la méthode des complexes (voir plus loin).
- une fonction
()
1
exp kt α − si le second membre est de la forme
(
)
1
exp kt λ − (cours cinétique chimique).
CONCLUSION : Il y a de nombreuses confusions. Chercher le régime permanent ne signifie pas
nécessairement sSP = e(t)… Pour trouver le régime permanent ou régime forcé, il faut trouver une fonction
qui soit solution de l’équation différentielle et avoir 0 = 0.
II.4 Théorème de superposition
Si le second membre est la somme de plusieurs termes :
(
)
(
)
(
)
(
)
123
...et e t e t e t
=
+++, pour trouver la solution
particulière s2, il suffit de chercher une solution particulière en appliquant à l’entrée uniquement e1 puis e2, puis e3…
- Si on applique e1, on cherche sSP1 solution particulière de l’équation différentielle : 2
0
01
s
sse
Q
ωω
++=
- Si on applique e2, on cherche sSP2 solution particulière de l’équation différentielle : 2
0
02
s
sse
Q
ωω
++=
- Si on applique e3, on cherche sSP3 solution particulière de l’équation différentielle : 2
0
03
s
sse
Q
ωω
++=
Alors
() () () ()
123
...
SP SP SP SP
st s ts ts t=+++
.
On utilisera ce résultat avec la décomposition en série de Fourier d’un signal périodique.
II.5 Solution générale de l’équation homogène ou régime libre
On cherche des solutions du type rt
SG
yAe=. On a donc SG SG yry
=
 et 2
SG SG
yry=
 . En réinjectant dans l’équation
différentielle, on a donc l’équation caractéristique : 22
0
00rr
Q
ωω
+
+=.
On suppose par la suite que Q > 0.
Le discriminant vaut : 2
02
1
41
4Q
ω
∆= −
.
a) Q < ½ ;
∆ > 0 : régime apériodique
On a deux racines réelles et négatives :
10 2
20 2
11
1
24
11
1
24
rQQ
rQQ
ω
ω
=
−− −
=
−+ −
. On a 0
2
rQ
ω
ω
−
=
±.
On en déduit que :
(
)
(
)
(
)
12
exp exp
SG
s
tA rtB rt=+
ou
() () ()
0
-t
2ch t sh
Q
SG
s
te t
ω
αωβω =+
On a un régime apériodique, sSG passe au plus une fois par 0 et lim ( ) 0
SG
tst
→∞ =
1 On a deux constantes d’intégration car on a une équation différentielle du second ordre.

Q Cours de Physique (00-101) Page 5 sur 14 JN Beury
t (s)
1 2 3 4 5 6 7 8
y (s
2
)
1
2
3
4
5
Q=6
Q=500 10
-3
Q=100 10
-3
()
()
SSG
Vt
()
(
)
SSG
VtT
+
b) Q = ½ ; ∆ = 0 : régime critique
On a une racine double : 0
0
2
rQ
ω
ω
=− =− (puisque 1
2
Q
=
).
(
)
(
)
(
)
exp
SG
s
tABt rt=+
On a un régime critique, Q = ½ et le retour à l’équilibre est le plus rapide.
c) Q > ½ ; ∆ < 0 : régime pseudo périodique amorti
On a 2 racines complexes : 00
02
1
1
224
rj j
QQQ
ωω
ω
ω =− ± − =− ± .
On a donc un terme réel 0
2Q
ω
− et un terme complexe 02
1
14Q
ωω =−.
La solution est donc :
(
)( )
(
)
exp terme réel cos terme imaginaire +
SG m
st tS t
ϕ
=× ×
.
() ()
() () ()
0
0
exp cos +
2
ou
exp cos sin
2
SG m
SG
st tS t
Q
s
ttAtBt
Q
ωωϕ
ωωω
−
=
−
=+
Les calculs sont plus simples avec la deuxième expression si on connaît les conditions initiales :
() ()
d
0et 0
d
s
st. Il y
a dans les deux cas deux constantes à déterminer puisqu’on a une équation différentielle du second ordre. Pour
passer de
{
}
,
A
B à
{}
,
m
S
ϕ
, il suffit de développer
(
)
cos + cos cos sin sin
mmm
StStSt
ω
ϕωϕωϕ =− :
22
22
cos ,tan , cos
sin
m
m
m
AS BA
SAB
BS A
A
B
ϕϕϕ
ϕ
=
⇒= + =− =
=− +
.
II.6 Étude d’un cas particulier
On étudie l’équation différentielle suivante : 22
0
00SSS
VVVE
Q
ωωω
++=
  avec les conditions initiales
(
)
00
S
V
=
et
()
00
S
V=
 et T0 = 1 s.
T = écart entre deux maxima successifs
T ≈ T0 ici car Q >>1 (en pratique Q ≥ 5).
V
S