Correction - Colegio Francia

Correction
DVM#5
Exercice 1
Après avoir donné le domaine de définition et de dérivabilité, calculer la dérivée de chacune des fonctions
définies ci-dessous et en déduire les variations de f.
a.
3
( ) 2 (1 3 ²)f x x x
f est définie et dérivable sur IR comme fonction polynôme.
3 2 2
22
'( ) 2(1 3 ²) 2 3 ( 6 ) (1 3 ²) 2(1 3 ²) (1 3 ² 18 ²)
2(1 3 ²) (1 21 ²) 2(1 3 ²) (1 21 )(1 21 )
f x x x x x x x x
x x x x x
f ’ est positive sur
11
[ ; ]
21 21
, donc f y est croissante. Elle est décroissante ailleurs.
b.
² 3 6
() 1
xx
fx x
f est une fonction rationnelle définie et dérivable sur IR \{1}
2 2 2
(2 3)( 1) ( ² 3 6) 1 2 ² 2 3 3 ² 3 6 ² 2 3
'( ) ( 1) ( 1) ( 1)
x x x x x x x x x x x
fx x x x
Le numérateur est un polynôme du second degré qui ne s’annule jamais (<0) et le dénominateur est
positif, donc la dérivée est strictement positive et la fonction f strictement croissante sur IR \{1}.

c.
( ) 2cos 1f x x
Il faut étudier le signe de 2 cos x – 1.
1
2cos 1 0 2cos 1 cos ( 2 ) ( 2 )
2 3 3
x x x x k et x k
f est donc définie sur
;
33
dérivable sur
;
33
.
1
2
1
2
( ) 2cos 1 (2cos 1)
1 sin
'( ) ( 2sin )(2cos 1)
22cos 1
f x x x
x
f x x x x
Pour x  ]-/3 ; 0], la dérivée est positive (sin x est négatif) donc f est croissante, et pour x  [0 ;/3], f est
décroissante.
Exercice 2.
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct
( ; ; )O i j
. Un triangle
ABC isocèle, de sommet principal le point A de coordonnées (-1 ;0), est
inscrit dans le cercle de centre O et de rayon 1.
Le point B est situé au dessus de (Ox), et on note H le pied de la hauteur
issue de A.
Soit  la mesure en radians de l’angle
( ; )i OB
comprise entre O et .
H
B
C
AO
1. a. Quelles sont les coordonnées de B ?
B(cos  ;sin )
b. Exprimer els distances BH et AH en fonction de .
BH = sin  ; AH = 1 + sin 
c. En déduire, en fonction de , l’aire du triangle ABC.
2sin (1 cos ) sin (1 cos )
2 2 2
base hauteur BC AH
Aire

2. On considère la fonction f définie sur [0 ;] par : f(x) = sin x (1 + cos x).
a. Déterminer f ’ la fonction dérivée de la fonction f.
'( ) cos (1 cos ) sin ( sin ) cos cos² sin² cos cos² (1 cos² ) 2cos² cos 1f x x x x x x x x x x x x x             
b. Etudier le signe de f ’puis dresser le tableau de variation de f.
f ’(x) = 2cos² x + cos x – 1 de la forme 2X² + X – 1 avec X = cos x
2X² + X – 1 = (2X – 1)(X + 1) d’où f ’(x) = (2cos x – 1)(cos x + 1)
1
2cos 1 0 cos 23 x x x
car x [0;]
cos 1 0 cos 1x x x
x
0
3
f ’(x)
2
+
0
–
0
f (x)
0
33
4
0
3 1 3 3
( ) sin (1 cos ) (1 )
3 3 3 2 2 4
f
3. Démontrer qu’il existe une valeur de , que l’on déterminera, pour laquelle l’aire du triangle ABC
est maximale. Préciser ce maximum.
L’aire sera maximale lorsque
3
, on aura alors
33 1,3
4
Aire 
4. L’angle au centre est égal à la moitié de l’angle inscrit interceptant le même arc, donc l’angle A
est égal
26
et le triangle est alors équilatéral.
Exercice 3.
f(x) = 3 + cos x
F(x) = 3x + sin x
f(x) = sin 3x
1
( ) cos3
3
F x x
sin sin '( )
() cos² cos² ²( )
x x u x
fx x x u x
avec u(x) = cos x
11
() ( ) cos Fx u x x
11
22
1
2
1 2 1 1
( ) 2 ( ² 3) '( ) ( )
2 2 2
²3 ( ² 3)
xx
f x x x u x u x
xx
u(x) = x² – 3
n – 1 = -1/2
n = ½
1
21
( ) ( ) ( ² 3) ² 3
2
F x u x x x    

33
( ) ²( 2)f x x x
u(x) = x3 + 2 u’(x) = 3x² n – 1 = 3
n = 4
G(x) = (x3 + 2)4
g’(x) = 43x²( x3 + 2)3
F(x) =
4
3
11
( ) 2
44
G x x
33
3
3
3
1 1 2 2
( ) .
( ² 2 ) 2 ( ² 2 )
1 '( ) 1 '( ) ( )
2 ( ) 2
11( 2) '( ) ( )
22
xx
fx x x x x
ux u x u x
ux
u x u x
u(x) = x² + 2x n – 1 = – 3
n = – 2
2
11
( ) ( ² 2 )
4 4( ² 2 )²
F x x x xx
Exercice 4.
f(x) = (sin2x – 3 sin x +8).cos x = cos x  sin2x – 3 cos x  sin x + 8 cos x
u(x) = sin3 x u’(x) = 3cos x sin²x
v(x) = sin² x v’(x) = 2cos x sin x
w(x) = sin x w’(x) = cos x
32
13
( ) sin sin 8 sin
32
F x x x x k     
32
3 1 3 3 3 3
( ) 0 sin sin 8 sin 0
2 3 2 2 2 2
1380
32
2 9 48 59
66
Fk
k
k
32
1 3 59
( ) sin sin 8sin
3 2 6
F x x x x   
Exercice 5.
x3 + 5x2 + 7x + 4 = (x + 3)(x2 + 2x + 1) + 1
32
22
5 7 4 ( 3)( ² 2 1) 1 1 1
( ) 3 3
2 1 ² 2 1 ² 2 1 ( 1)
x x x x x x
f x x x
x x x x x x x
²1
( ) 3
21
x
F x x x