TS DS N°1

DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES
Durée : 2h
Exercice 1 : (5 points)
1. Question de cours : Montrer que les solutions de l’équation différentielle homogène y'  ay où a est
un réel donné, sont définies par : x  , f ( x )  Ceax , où C est une constante réelle.
2. Résoudre les équations différentielles suivantes :
a) y'  3 y  1
b) 2 y'  y  0 avec y( 2 )  e .
Exercice 2 (8 points)
Soit f la fonction définie sur 0, par f ( x)  x 2  x 
1  ln( x)
x
.
On désigne par C la courbe représentative de f dans un repère orthogonal d’unités graphiques : 4 cm en abscisses, 2 cm en
ordonnées.
1. On considère la fonction auxiliaire  définie sur 0, par :  ( x)  2 x3  x 2  ln( x)
a) Etudier les variations de  .
b) Démontrer que l’équation  ( x)  0 a une solution unique qu’on appellera . Trouver le nombre entier naturel p tel
que : p.102    ( p  1).102 .
c) En déduire le signe de  (x) suivant les valeurs de x.
2. a) Déterminer la limite de f en + .
b) Déterminer la limite de f en 0. Que peut-on en déduire pour la courbe C ?
 ( x)
3. a) Montrer que f '( x)  2 . En déduire les variations de f et dresser son tableau de variation.
x
b) Tracer C.
Exercice 3 : (7 points)
1. Pour chacune des affirmations, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant votre choix :
z et z’ sont deux nombres complexes non nuls.
Les questions sont indépendantes :
a) z  z '  z  z ' .
b) 1  iz  1  z 2 .
c) Si Re(z )  2 alors z  2 .
d) z est un imaginaire pur si et seulement si arg( z ) 
e) Si arg( z )  


2
  .
2  alors arg(2 z )   2  .
4
2
2. a) Ecrire les nombres complexes suivants sous forme algébrique puis sous forme trigonométrique :
z1  2 3  i(i 1)(i  1) ; z2 
6i  2
1 i
et z3  (1  i )3 .
b) Construire à la règle et au compas dans un repère orthonormal les points A, B et C d’affixes respectives z1, z2 et
z3.