Rappels

Rappels
1. Nombres complexes et impédances complexes
1.1. Un nombre complexe a 2 écritures possibles :
Axe des imaginaires
b


a
Z = a + jb = [  ;  ]
Axe des réels
avec  =
et  = tan-1 ( b / a ) si a > 0
 =  + tan-1 ( b / a ) si a < 0
a=
b=
La forme Z = a + jb est appelée forme algébrique
La forme Z = [  ;  ]est appelée forme trigonométrique
A toute fonction sinusoïdale, on peut lui associer un nombre complexe :
i ( t ) = Ieff 2 sin ( t + i )  I = [ Ieff, i ]
Ex : si u ( t ) = 325 2 sin ( 100 t + 0,8 ) U = [
;
]
1.2 Opération sur les complexes
-
addition et soustraction : on prendra la forme algébrique
-
multiplication et division : on prendra la forme trigonométrique
Règles :
- pour une multiplication, on
les modules mais on
les arguments
- pour une division, on
les modules mais on
les arguments
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Soit Z1 = 2 + 8j et Z2 = [ 5 ; 0,6 ] . Calculer Z3 = Z1 - Z2 et Z4 = Z1. Z2
Remarque : Toutes les lois vues en continu ( Loi mailles, Thévenin, etc… ) sont valables en complexes
Erreur fréquente : on donne i2 ( t ) = 4 2 sin ( 100 t ) et i3 ( t ) = 3 2 sin ( 100 t + /2 )
Déterminer I1 = I2 + I3 . En déduire l'expression de i1 ( t ) ?
i2
I1 eff = 7 A
= HORREUR
i1
i3
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1.3. Impédances complexes
Z=
U
I
résistance
Déphasage tension /
intensité ( en radian )
 UR -  IR =
bobine
 UL -  IL =
condensateur
UC
Impédance ( en ohm ) ZR =
ZL =
ZC =
Impédance complexes ZR =
ZL =
ZC 
U
1.4. Triangle des impédances pour un circuit série
Pour un circuit RLC série, on a
Zeq =
tan

=
2. Vecteurs de Fresnel
Un circuit est dit linéaire lorsqu'il ne comporte que des éléments linéaires. Si ce circuit est alimenté par une tension
u ( t ) de fréquence f alors tous les courants et toutes les tensions de ce circuit ont même fréquence.
La représentation de Fresnel n'est utilisable que pour ce genre de circuit.
A toute fonction sinusoïdale, on va lui associer un vecteur de Fresnel :
 Module : valeur efficace
 Argument : phase à l'origine
Il faudra alors pour tracer un vecteur de Fresnel
 Choisir un axe de référence
 Choisir une échelle
 Choisir un sens positif
 Calculer la norme et l'argument de ce vecteur
Exemple : on donne i2 ( t ) = 4 2 sin ( 100 t ) et i3 ( t ) = 3 2 sin ( 100 t + /2 )
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Construire les vecteurs de Fresnel associés à i2 ( t ) et à i3 ( t ). Quelle est l'expression de i1 ( t ) ?
i2
i1
i3
3. Puissance
3.1 Définition
i(t)
u ( t ) = U2 sin ( t +  u )
u(t)
Z
P =
i ( t ) = I2 sin ( t +  i )

puissance active ( W )
Q=
S=
puissance réactive ( V.A.R )
puissance apparente ( V.A )
avec  = u - i
Remarque : C'est
qui crée le déphasage.
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3.2 Triangle des puissances :
S
On a la relation S² = P² + Q²
Q

P
Boucherot : Si on a 3 dipôles, PTotal = P1 + P2 + P3 . De même, on a QTotal = Q1 + Q2 + Q3
Erreur fréquente : On n'a pas le droit d'utiliser Boucherot avec la puissance apparente :
Résistance
bobine
condensateur
Déphasage tension / intensité
( en rad )
UR - IR =
UL - IL =
UC - IC =
Puissance active ( W )
PR =
PL =
PC = UCeff. ICeff. cos ( -/2 )
PR =
PL =
PC =
QR = UReff. IReff. sin 0
QL = ULeff. ILeff. sin (  / 2 )
QC = UCeff. ICeff. sin ( -/2 )
QR =
QL = UL.IL =
QC = -UC. IC =
Puissance réactive ( V.A.R )
4. Quelques rappels sur les appareils de mesure et sur l’utilisation de l’oscilloscope
4.1.
Type de signal
Valeurs moyennes et valeurs efficaces
Valeurs moyennes
Valeurs efficaces

on calcule T ( période )

on calcule T ( période )

on calcule la surface
comprise entre l’axe des
temps et le signal

on élève le signal au carré

on calcule la surface
comprise entre l’axe des
temps et le nouveau signal

Ueff =
Carré

U =
S
T
S
T
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Type de signal
Valeurs moyennes
Valeurs efficaces
Triangle
Même méthode que ci dessus
HORS PROGRAMME
Sinusoïdal centré
0
Axe de symétrie
Sinusoïdal décalé
Ueff =
U max
2
On décompose le signal ( cf 4.3 ) et
on utilise la formule :
U²eff = U²eff ondulation + U ²
4.2 Voltmètre

Pour mesurer une valeur moyenne, on utilisera un
numérique en position
ou un voltmètre

Pour mesurer une valeur efficace, on utilisera un
numérique en position
ou un voltmètre
Rque : En position AC , un voltmètre indique
Ueff =
 U  ²  U ²effondulation
4.3.Oscilloscope

A l’aide d’un oscilloscope, on peut visualiser l’ »image » d’un courant à l’aide d’une résistance de
valeur négligeable
Ex : on veut visualiser à l’écran l’intensité traversant un moteur monophasé noté M. On visualise la tension u sur
la voie 1. Préciser l’emplacement de la voie 2 et l’emplacement de la résistance de visualisation RV afin répondre
au cahier des charges
Y1
i
u
M
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
En DC, on a le signal réel, en mode AC ou alternatif on ne récupère que la composante alternative ( la
valeur moyenne est supprimée ) Exemple : on visualise le signal noté u ci dessous en mode DC ( 1 V /
Carreau )
u
1. dessiner ce qu’on visualiserait en mode AC sur document réponse
ci-dessous
2. Calculer la valeur moyenne puis la valeur efficace de ce signal en
utilisant la formule du tableau précédent
réponses
doc reponse :

calcul de <u> :

calcul de Ueff
Autre exemple : calculer la valeur efficace d’un signal sinusoïdal variant entre –15V et +5V
=
+
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