Rappels

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Rappels
1. Nombres complexes et impédances complexes
1.1. Un nombre complexe a 2 écritures possibles :
Z = a + jb = [  ;  ] avec  =
et  = tan-1 ( b / a ) si a > 0
 =  + tan-1 ( b / a ) si a < 0
a =
b =
La forme Z = a + jb est appelée forme algébrique
La forme Z = [  ;  ]est appelée forme trigonométrique
A toute fonction sinusoïdale, on peut lui associer un nombre complexe :
i ( t ) = Ieff 2 sin ( t + i )  I = [ Ieff, i ]
Ex : si u ( t ) = 325 2 sin ( 100 t + 0,8 ) U = [ ; ]
1.2 Opération sur les complexes
- addition et soustraction : on prendra la forme algébrique
- multiplication et division : on prendra la forme trigonométrique
Règles :
- pour une multiplication, on les modules mais on les arguments
- pour une division, on les modules mais on les arguments
a
b
Axe des réels
Axe des imaginaires

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Soit Z1 = 2 + 8j et Z2 = [ 5 ; 0,6 ] . Calculer Z3 = Z1 - Z2 et Z4 = Z1. Z2
Remarque : Toutes les lois vues en continu ( Loi mailles, Thévenin, etc… ) sont valables en complexes
Erreur fréquente : on donne i2 ( t ) = 4 2 sin ( 100 t ) et i3 ( t ) = 3 2 sin ( 100 t + /2 )
Déterminer I1 = I2 + I3 . En déduire l'expression de i1 ( t ) ?
i1
i2
i3
I1 eff = 7 A = HORREUR

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1.3. Impédances complexes
Z =
I
U
résistance
bobine
condensateur
Déphasage tension /
intensité ( en radian )
 UR -  IR =
 UL -  IL =
UC
Impédance ( en ohm )
ZR =
ZL =
ZC =
Impédance complexes
ZR =
ZL =
ZC 
U
1.4. Triangle des impédances pour un circuit série
Pour un circuit RLC série, on a
2. Vecteurs de Fresnel
Un circuit est dit linéaire lorsqu'il ne comporte que des éléments linéaires. Si ce circuit est alimenté par une tension
u ( t ) de fréquence f alors tous les courants et toutes les tensions de ce circuit ont même fréquence.
La représentation de Fresnel n'est utilisable que pour ce genre de circuit.
A toute fonction sinusoïdale, on va lui associer un vecteur de Fresnel :
 Module : valeur efficace
 Argument : phase à l'origine
Il faudra alors pour tracer un vecteur de Fresnel
 Choisir un axe de référence
 Choisir une échelle
 Choisir un sens positif
 Calculer la norme et l'argument de ce vecteur
Exemple : on donne i2 ( t ) = 4 2 sin ( 100 t ) et i3 ( t ) = 3 2 sin ( 100 t + /2 )
Zeq = tan
=

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Construire les vecteurs de Fresnel associés à i2 ( t ) et à i3 ( t ). Quelle est l'expression de i1 ( t ) ?
3. Puissance
3.1 Définition
P = Q = S =
puissance active ( W ) puissance réactive ( V.A.R ) puissance apparente ( V.A )
avec  = u - i
Remarque : C'est qui crée le déphasage.
i1
i2
i3
Z
i ( t )
u ( t )
u ( t ) = U2 sin ( t +  u )
i ( t ) = I2 sin ( t +  i )

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3.2 Triangle des puissances :
Boucherot : Si on a 3 dipôles, PTotal = P1 + P2 + P3 . De même, on a QTotal = Q1 + Q2 + Q3
Erreur fréquente : On n'a pas le droit d'utiliser Boucherot avec la puissance apparente :
Résistance
bobine
condensateur
Déphasage tension / intensité
( en rad )
UR - IR =
UL - IL =
UC - IC =
Puissance active ( W )
PR =
PR =
PL =
PL =
PC = UCeff. ICeff. cos ( -/2 )
PC =
Puissance réactive ( V.A.R )
QR = UReff. IReff. sin 0
QR =
QL = ULeff. ILeff. sin (  / 2 )
QL = UL.IL =
QC = UCeff. ICeff. sin ( -/2 )
QC = -UC. IC =
4. Quelques rappels sur les appareils de mesure et sur l’utilisation de l’oscilloscope
4.1. Valeurs moyennes et valeurs efficaces
Type de signal
Valeurs moyennes
Valeurs efficaces
Carré
 on calcule T ( période )
 on calcule la surface
comprise entre l’axe des
temps et le signal
U
=
T
S
 on calcule T ( période )
 on élève le signal au carré
 on calcule la surface
comprise entre l’axe des
temps et le nouveau signal
 Ueff =
T
S
Q
P
S
On a la relation S² = P² + Q²