Bac blanc - j.galtier

Lycée Richelieu
Bac blanc 2004-2005
Mathématiques, terminales S
Durée ; 4 heures
Calculatrice autorisée
Exercice 1, pour tous les élèves, 3 points.
1. Démonstration du cours.
Soit (un) une suite croissante non majorée.
a) Soit M un nombre réel et n0 un entier naturel tel que
0
n
uM
.
Démontrer que pour tout entier naturel n, si
0
nn
alors
n
uM
b) Quelles conséquences peut-on en tirer pour la suite (un).
c) Enoncer le théorème ainsi démontré.
2. Répondre par vrai ou faux aux affirmations suivantes en justifiant chaque réponse.
a) Si une suite n’est pas majorée alors elle tend vers +.
b) Si une suite est croissante alors elle tend vers +.
c) Si une suite tend vers + alors elle n’est pas majorée.
d) Si une suite tend vers + alors elle est croissante.
Exercice 2, élèves ne suivant pas l’enseignement de spécialité, 5 points.
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal
( , , )O u v
d’unité graphique 4 cm, on
donne les points A et B d’affixes respectives 1 et
13
22
i
.
Pour chaque point M du plan, d’affixe z, on note M1 d’affixe z1 l’image de M par la rotation
de centre O, d’angle
3
, puis M’ d’affixe z’ l’image de M1 par la translation de vecteur
u
.
Enfin, on note T la transformation qui, à chaque point M, associe le point M’.
On fera une figure, que l’on complètera au fur et à mesure.
1. a) Démontrer que
3
'1
i
z e z
.
b) Déterminer l’image par T du point B.
c) Montrer que T admet un unique point invariant dont on précisera l’affixe.
d) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de T.
2. On pose maintenant
z x iy
, avec x et y réels.
a) Pour z non nul, calculer la partie réelle du quotient
'z
z
en fonction de x et y.
b) Démontrer que l’ensemble (E) des points M du plan tels que le triangle OMM’ est
rectangle en O est un cercle C, dont on précisera le centre et le rayon, privé de deux
points. Tracer (E).
3. Dans cette question, on pose
1zi
.
a) Vérifier que M appartient à (E). Placer M et M’ sur la figure.
b) Calculer le module de z’.
c) Calculer, en cm2, l’aire du triangle OMM’.

Exercice 2, élèves suivant l’enseignement de spécialité, 5 points.
On considère un rectangle direct ABCD tel que AB = 10 cm et AD = 5cm.
1. Faire une figure : construire ABCD puis les images M, N, P des points B, C, D par la
rotation r de centre A et d’angle
2
.
2. Pour cette question, on pourra utiliser une méthode géométrique, ou les nombres
complexes en choisissant un repère d’origine A, où (AB) est l’axe des ordonnées.
a) Construire le centre  de la rotation r’ qui vérifie
'( )r A N
et
'( )r B P
.
Déterminer l’angle de r’.
b) Montrer que l’image de ABCD par r’ est AMNP.
c) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation
1'f r r
,
1
r
désignant la rotation réciproque de r
3. On considère les images successives des rectangles ABCD et AMNP par la translation
de vecteur
DM
.
Sur la demi-droite [DA), on définit ainsi la suite de points
1
kk
A
vérifiant, en cm,
5 15
k
DA k
.
Sur la même demi-droite, on considère la suite de points
1
nn
E
, vérifiant, en cm,
6,55
n
DE n
.
a) Déterminer l’entier k tel que E120 appartienne à
1kk
AA
. Que vaut la longueur
120k
AE
en cm ?
b) On cherche dans cette question pour quelle valeur minimale
0
n
le point
0
n
E
est
confondu avec un point
k
A
.
Montrer que si un point
n
E
est confondu avec un point
k
A
, alors
131 300 100nk
.
Vérifier que les nombres
7100, 3100nk
forment une solution de cette équation.
Déterminer la valeur minimale n0 recherchée.
Cette figure n’est pas à l’échelle.

Exercice 3, pour tous les élèves, 9 points.
Pour chaque entier naturel n, on définit sur l’intervalle ]0 ; +[ la fonction fn par
1
( ) ln
x
ne
f x n x
x
.
Partie A : étude du cas particulier n = 0.
f0 est donc définie sur ]0 ; +[ par
01
() x
e
fx x
.
1. Justifier, pour tout réel u, l’inégalité
1
u
eu
. En déduire que pour tout réel x,
10
x
ex
, puis que, pour tout réel x,
1 ( 1) 0
x
xe  
.
2. Déterminer les limites de f0 en 0 et en +.
3. Montrer que, pour tout réel x appartenant à ]0 ; +[, la dérivée de f0 est donnée par
'
02
( 1) 1
() x
ex
fx x
. En déduire le sens de variation de f0.
4. Représenter la courbe C0 de f0 dans le plan muni d’un repère orthonormal d’unité
graphique 2 cm.
Partie B : étude de la famille de fonctions fn pour
1n
.
On appelle Cn la courbe représentative de fn dans le repère précédent.
1. Déterminer le sens de variation de fn sur l’intervalle ]0 ; +[
2. Déterminer les limites de fn en 0 et en +. En déduire que Cn possède une asymptote
que l’on précisera.
3. Etudier les positions relatives des courbes Cn et Cn+1.
4. Montrer que toutes les courbes Cn passent par un même point B dont on précisera les
coordonnées.
5. Pour tout entier naturel non nul n, montrer qu’il existe un unique réel an appartenant à
]0 ; 1[ tel que
( ) 0
nn
fa
.
6. Montrer que, pour tout entier naturel non nul n,
1( ) ln( ) n n n
f a a
. En déduire que
1nn
aa
, puis que la suite (an) est convergente.
7. a) En utilisant la partie A, montrer que pour tout réel x appartenant à ]0 ; 1],
11
x
ee
x
.
b) En déduire que, pour tout entier naturel non nul n,
1
ln( )
ne
an
, puis que
1e
n
n
ae
.
c) En déduire la limite de la suite (an).
8. Construire sur le graphique précédent les courbes C1 et C2.
Exercice 4, pour tous les élèves, 3 points.
2. Résoudre l’équation différentielle (E1) :
' 2 0yy
, où y désigne une fonction
dérivable sur .
3. Soient a et b deux réels et u la fonction définie sur  par
( ) ( ) x u x ax b e
.
a) Déterminer a et b pour que u soit solution de (E2) :
'2 x y y xe
.
b) Montrer que v est solution de (E2) si et seulement si la fonction définie par
( ) (1 ) x v x x e
est solution de (E1).
c) En déduire l’ensemble des solutions de (E2).
4. Déterminer la solution de (E2) qui s’annule en 0.