Mathématiques

CV_MathsInformatique:EP
30/09/13
14:43
Page 1
Cet ouvrage présente les concepts et les outils mathématiques de base que tout
étudiant en première et deuxième années de Licence Informatique doit maîtriser :
initiation au raisonnement mathématique et à la modélisation de problèmes
concrets mais aussi méthodes et applications fondamentales de l’analyse
numérique.
Plus de 200 exercices corrigés complètent le cours et permettent aux étudiants de
s’entraîner efficacement.
Sommaire
Partie I. Analyse
1. Nombres réels, nombres complexes et suites numériques
2. Étude des fonctions réelles d’une variable réelle
3. Séries numériques
4. Intégration des fonctions réelles d’une variable réelle
5. Équations différentielles
13. Variables Aléatoires Continues - Lois Continues
14. Notions de convergence
Partie II. Algèbre
6. Espaces vectoriels et applications linéaires
7. Matrices, déterminant et systèmes linéaires
8. Diagonalisation des endomorphismes – matrices
9. Polynômes et fractions rationnelles
10. Applications bilinéaires et formes quadratiques
Partie V. Analyse numérique
18. Introduction à l’analyse numérique
19. Méthodes directes de résolution des systèmes linéaires
20. Méthodes itératives de résolution des systèmes linéaires
21. Résolution des équations non linéaires
22. Méthodes d’intégration numérique
Partie III. Probabilités
11. Notion de probabilité
12. Variables Aléatoires Discrètes - Lois Discrètes
Corrigés des exercices
Partie IV. Statistiques
15. Statistique descriptive
16. Échantillonnage et estimation
17. Tests d’hypothèse et tests de comparaison
Annexe
Docteur en mathématiques appliquées, Skander Belhaj est spécialiste d’algèbre matricielle rapide.
Chercheur à l’École Nationale d’Ingénieurs de Tunis (LAMSIN), il enseigne actuellement à l’Institut
Supérieur des Arts du Multimédia de la Manouba (Tunisie). Il est également Maître assistant et
Directeur des Études et des Stages à l'ISAMM.
Maître assistant à l’Institut Supérieur des Sciences Appliquées et de Technologie de Sousse (Tunisie),
Anis Ben Aïssa est spécialiste des probabilités et statistiques.
ISBN 978-2-311-01241-5
WWW.VUIBERT.FR
9 782311 012415
LICENCE 1 & 2
INFORMATIQUE
Mathématiques
Cours & exercices corrigés
Mathématiques
pour l’informatique
Mathématiques pour l’informatique
Skander Belhaj & Anis Ben Aïssa
LICENCE 1 & 2
INFORMATIQUE
Skander Belhaj
Anis Ben Aïssa
pour l’informatique
• Cours complet
• Méthodes et applications fondamentales
• Exercices d’entraînement corrigés
i
i
“belhajBenaissa” — 2013/9/30 — 15:57 — page VIII — #6
i
i
i
i
i
i
i
i
“belhajBenaissa” — 2013/9/30 — 15:57 — page III — #1
i
i
Table des matières
Analyse
1 Nombres réels, nombres complexes
1.1 L’ensemble des réels . . . . . . . .
1.2 L’ensemble des complexes . . . . .
1.3 Les suites . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . .
1
et suites numériques
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
3
6
12
17
2 Étude des fonctions réelles d’une variable réelle
2.1 Limite d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Complément sur les fonctions classiques . . . . .
2.6 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Développements limités . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Fonctions équivalentes, définition et opérations .
2.9 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
21
21
23
28
31
32
36
37
44
45
46
3 Séries numériques
3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Séries à termes positifs . . . . . . . . . .
3.5 Série quelconque. Convergence absolue.
3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
51
51
51
52
53
54
55
variable réelle
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
57
57
60
62
63
4 Intégration des fonctions réelles d’une
4.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Techniques de calcul d’une intégrale .
4.3 Calcul pratique des intégrales . . . . .
4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
i
i
i
i
i
i
“belhajBenaissa” — 2013/9/30 — 15:57 — page IV — #2
i
IV
i
Table des matières
5 Équations différentielles
5.1 Équations différentielles linéaires du premier ordre
5.2 Étude de l’équation avec second membre . . . . . .
5.3 Équations différentielles linéaires du second ordre .
5.4 Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Algèbre
65
65
66
67
68
69
71
6 Espaces vectoriels et applications linéaires
6.1 L’espace vectoriel Rn . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Combinaisons linéaires, sous-espaces vectoriels .
6.4 Indépendance linéaire, base . . . . . . . . . . .
6.5 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . .
6.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7 Matrices, déterminant et systèmes linéaires
7.1 Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Systèmes d’équations linéaires . . . . . . . . .
7.3 Le déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
89
. 89
. 101
. 107
. 113
matrices
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
8 Diagonalisation des endomorphismes
8.1 Valeurs propres et vecteurs propres .
8.2 Caractéristique d’une valeur propre .
8.3 Diagonalisation d’une matrice carrée
8.4 Application de la diagonalisation . .
8.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
73
73
74
76
78
81
84
117
117
118
120
123
124
9 Polynômes et fractions rationnelles
127
9.1 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
9.2 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
9.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
10 Applications bilinéaires et
10.1 Applications bilinéaires
10.2 Formes quadratiques . .
10.3 Exercices . . . . . . . .
Probabilités
formes
. . . . .
. . . . .
. . . . .
quadratiques
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
139
139
142
145
149
11 Notion de probabilité
151
11.1 Modèle probabiliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
11.2 Probabilités conditionelles et indépendance . . . . . . . . . . . . . . . 157
i
i
i
i
i
i
“belhajBenaissa” — 2013/9/30 — 15:57 — page V — #3
i
i
Table des matières
V
11.3 Analyse combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
11.4 Formule du binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
11.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
12 Variables Aléatoires Discrètes - Lois Discrètes
12.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2 Espérance, Moments et Variance . . . . . . . .
12.3 Lois usuelles discrètes . . . . . . . . . . . . . .
12.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
167
167
172
176
181
13 Variables Aléatoires Continues - Lois
13.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . .
13.2 Espérance, Moments et Variance . .
13.3 Lois usuelles continues . . . . . . . .
13.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . .
Continues
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
185
185
189
192
198
14 Notions de convergence
14.1 Convergence en probabilité .
14.2 Convergence en loi . . . . . .
14.3 Convergence des lois usuelles
14.4 Exercices . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
201
201
206
207
209
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Statistiques
213
15 Statistique descriptive
215
15.1 Séries statistiques à une dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
15.2 Séries statistiques à deux dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
15.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
16 Échantillonnage et
16.1 Échantillonnage
16.2 Estimation . .
16.3 Exercices . . .
estimation
235
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
17 Tests d’hypothèse et tests
17.1 Tests de conformité . . .
17.2 Tests de comparaison . .
17.3 Exercices . . . . . . . .
Analyse numérique
de
. .
. .
. .
comparaison
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
243
243
247
251
253
18 Introduction à l’analyse numérique
255
18.1 Représentations des nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
18.2 Arithmétique flottante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
18.3 Normes de vecteurs et de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
i
i
i
i
i
i
“belhajBenaissa” — 2013/9/30 — 15:57 — page VI — #4
i
VI
i
Table des matières
18.4 Conditionnement d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
18.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
19 Méthodes directes de résolution
19.1 Introduction . . . . . . . . . . .
19.2 Méthode de Gauss-Jordan . . .
19.3 Méthode de Gauss . . . . . . .
19.4 Décomposition LU . . . . . . .
19.5 Décomposition de Cholesky . .
19.6 Exercices . . . . . . . . . . . .
des systèmes linéaires
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
20 Méthodes itératives de résolution
20.1 Introduction . . . . . . . . . . . .
20.2 Définition et convergence . . . .
20.3 Méthodes itératives linéaires . . .
20.4 La méthode de Jacobi . . . . . .
20.5 La méthode de Gauss-Seidel . . .
20.6 Exercices . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
265
265
266
268
271
272
274
des systèmes linéaires
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
279
279
279
280
280
283
285
21 Résolution des équations non linéaires
21.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . .
21.2 Méthodes à base géométrique . . . . .
21.3 Méthodes itératives . . . . . . . . . . .
21.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
287
287
288
293
295
22 Méthodes d’intégration numérique
22.1 Introduction . . . . . . . . . . . . .
22.2 Méthodes des trapèzes . . . . . . .
22.3 Méthode de Simpson . . . . . . . .
22.4 Méthode de Romberg . . . . . . .
22.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
297
297
298
300
302
304
Corrigés des exercices
Annexe
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
307
449
i
i
i
i
i
i
“belhajBenaissa” — 2013/9/30 — 15:57 — page 3 — #9
i
i
CHAPITRE 1
Nombres réels, nombres complexes et suites numériques
1.1 L’ensemble des réels
1.1.1 Ensembles ordonnés
Un ensemble E non vide est dit ordonné s’il est suivi d’une relation d’ordre, notée
« ≤ ».
« ≤ » est une relation binaire vérifiant :
1. reflexivité : x ≤ x, ∀x ∈ E ;
2. symétrique : x ≤ y et y ≤ x alors x = y, ∀x, y ∈ E ;
3. transitivité : x ≤ y et y ≤ z alors x ≤ z, ∀x, y, z ∈ E.
Si de plus, ∀x, y ∈ E, x ≤ y ou y ≤ x, on dit que la relation ” ≤ ” est d’ordre
totale (et E est dit un ensemble totalement ordonné).
Exemple 1.1.1 (N, ≤) est un ensemble totalement ordonné.
Exemple 1.1.2 Soit E un ensemble non vide. P (E) : l’ensemble des parties de E est
un ensemble ordonné mais pas totalement. En effet, la relation ” ⊆ ” est une
relation d’ordre puisqu’elle vérifie :
– la reflexivité (A ⊆ A, ∀A ∈ P (E)) ;
– la symétrie (A ⊆ B et B ⊆ A alors A = B, ∀A, B ∈ P (E)) ;
– la transitivité (A ⊆ B et B ⊆ C alors A ⊆ C, ∀A, B, C ∈ P (E)).
Majorants, minorants et ensemble bornés
Soit E un ensemble ordonné et soit A une partie de E.
1. On dit qu’un élément M de E (m ∈ E) majore A (minore A) si on a : x ≤ M
(x ≥ m), ∀x ∈ A.
2. On dit que A majorée (respectivement, minorée) si A possède un majorant (respectivement, un minorant).
3. Un majorant (respectivement, minorant) de A qui appartient à A est appelé le plus
grand élément de A (respectivement, le plus petit élément de A).
4. La partie A est dite bornée si et seulement si A est majorée et minorée.
i
i
i
i
i
i
“belhajBenaissa” — 2013/9/30 — 15:57 — page 4 — #10
i
4
i
Chapitre 1. Nombres réels, nombres complexes et suites numériques
0
Exemple 1.1.3 E = Q muni de la relation d’ordre pq ≤ pq0 ⇐⇒ p.q 0 ≤ p0 .q. Soit
1
A = 1 − tel que n ∈ N\ {0} ⊂ Q.
n
Vérifier que A est bornée de Q. En effet, on a :
0≤1−
1
≤ 1, ∀n ∈ N\ {0} .
n
Donc, 1 majore A et 0 minore A. Le plus petit élément de A est 0 = 1 − 11 . Par
contre, A n’admet pas de plus grand élément ! Supposons que la valeur maximale
de A :
1
max A = 1 −
avec n0 ∈ N\ {0} .
n0
Or, 1 −
1
2n0
>1−
1
n0
= max A. D’où la contradiction.
Borne supérieure, borne inférieure et caractérisation de R
Soit E un ensemble ordonné et soit A une partie de E.
Définition 1.1.1 On dit qu’un élément e ∈ E est la borne supérieure de la partie A
et on note e = sup A si :
1. e majore A ;
2. tout majorant M de A est tel que : e ≤ M. (autrement dit e est le plus petit des
majorants de A).
Remarque 1.1.1 e = inf A ⇐⇒ e est le plus grand des minorants de A
e minore A
⇔
.
tout minorant m de A est tel que : e ≥ m
Proposition 1.1.1 (Caractérisation de la borne sup et inf) : Soit E un ensemble
ordonné et soit A une partie de E. Un élément e ∈ E est la borne supérieure de
A (e = sup A) si et seulement si :
1. e majore A ;
2. ∀e0 ∈ E : e0 < e, ∃a ∈ A tel que e0 ≤ a ≤ e.
Exemple 1.1.4 Soit
1
A = 1 − tel que n ∈ N\ {0} ⊂ Q.
n
On sait que min A = 0 et 1 majorant de A mais n’est pas max A. A admet-elle
une borne supérieure ? Oui, 1 = sup A en utilisant le fait que 1 majore A et pour
e0 =
p
∈ Q : e0 < 1 (p 6= q) ,
q
existe t-il un élément a ∈ A tel que e0 ≤ a ≤ e ? C’est-à-dire ∃?n ≥ 1, a = 1 − n1
q
tel que e0 = pq ≤ a = 1 − n1 ≤ 1 (toujours vrai pour n ≥ q−p
). D’où, sup A = 1.
i
i
i
i
i
i
“belhajBenaissa” — 2013/9/30 — 15:57 — page 5 — #11
i
1.1 L’ensemble des réels
i
5
Remarque 1.1.2 e ∈ E est la borne inférieure de A (e = inf A) si et seulement si
e minore A
⇔
.
∀e0 ∈ A : e < e0 , ∃a ∈ A tel que e ≤ a ≤ e0 .
Définition 1.1.2 On dit qu’un ensemble ordonné E vérifie l’axiome de la borne
supérieure si toute partie non vide majorée de E admet une borne supérieure.
Exemple 1.1.5 Z vérifie l’axiome de la borne supérieure. Q ne le vérifie pas !
Théorème 1.1.1 Il existe un seul corps (à isomorphisme près) commutatif totalement
ordonné vérifiant l’axiome de la borne supérieure. Ce corps est appelé le corps
des nombres réels et est noté R.
1.1.2 Propriétés des nombres réels
Théorème 1.1.2 (Principe d’Archimède) : Soit x un nombre réel strictement
positif alors, pour tout y ∈ R, il existe un entier relatif n unique vérifiant :
(n − 1) x ≤ y ≤ nx.
Théorème 1.1.3 (Densité de Q dans R) : Entre deux réels distincts, il existe un
rationnel.
Preuve : Soient a et b deux nombres réels distincts tels que a < b. Comme b − a > 0
d’après le principe d’Archimède, il existe un unique entier n (non nul) tel que
n (b − a) > 1. Soit m = [na] : partie entière de na ∈ R signifie que :
m
m+1
na + 1
1
≤a≤
≤
= a + < b.
n
n
n
n
1.1.3 Propriétés topologiques de la droite réelle
Intervalles de R
Un intervalle I de R est un sous-ensemble I ⊆ R tel que : ∀x, y ∈ I, le segment joignant
x à y est tout entier inclus dans I.
Définition 1.1.3 (intervalle) : On dit que I ⊆ R est un intervalle, si,
∀x, y ∈ I, ∀λ > 0 : λx + (1 − λ) y ∈ I.
Définition 1.1.4 (intervalle fermé) : Soit a < b. On définit l’intervalle fermé d’extrimité a et b par :
[a, b] = {x ∈ R / a ≤ x ≤ b} .
Définition 1.1.5 (intervalle ouvert) : Soit a < b. On définit l’intervalle ouvert
d’extrimité a et b par :
]a, b[ = {x ∈ R / a < x < b} .
i
i
i
i
i
i
“belhajBenaissa” — 2013/9/30 — 15:57 — page 6 — #12
i
6
i
Chapitre 1. Nombres réels, nombres complexes et suites numériques
Voisinage d’un point
Soit x0 ∈ R, on dit qu’une partie V de R est un voisinage de x0 s’il existe α > 0 tel
que ]x0 − α, x0 + α[ 1 ⊂ V.
Exemple 1.1.6 V = 21 , 72 est un voisinage de 2 car ]2 − 1, 2 + 1[ ⊂ V. Par contre,
V = 12 , 2 n’est pas un voisinage de 2 car pour tout α > 0, ]2 − α, 2 + α[ * V.
Remarque 1.1.3 Si V est un voisinage de x0 dans R alors, x0 ∈ V (donc V 6= ∅).
Remarque 1.1.4 Si V est un voisinage de x0 et si V ⊆ V 0 alors V 0 est un voisinage
de x0 .
Remarque 1.1.5 L’intersection de deux voisinages de x0 dans R est un voisinage de
x0 .
Points d’accumulation d’une partie de R
Soit A ⊆ R et soit x0 ∈ R. On dit que x0 est un point d’accumulation de la partie
A si pour tout voisinage V de x0 on a : V ∩ (A\ {x0 }) 6= ∅. Autrement dit, si tout
voisinage V de x0 rencontre A au moins en un point distinct de x0 .
Exemple 1.1.7 Soit A = ]1, 3[ ∪ {4} et x0 = 1 est-il un point d’accumulation de A ?
La réponse est oui car ∀α > 0, (]1 − α, 1 + α[) ∩ (A\ {1}) 6= ∅.
1.2 L’ensemble des complexes
1.2.1 Construction de l’ensemble des complexes
La résolution de l’équation x2 + 1 = 0, dans R est impossible et nous conduit à
introduire un nouvel ensemble, comprenant les nombres réels et d’autres nombres
parmi lequels se trouvent des solutions de x2 + 1 = 0 ou les équations de même type :
3x2 + 5 = 0, ... . Pour cette raison, nous avons construit l’ensemble des complexes.
Définition 1.2.1 Un nombre complexe est un couple de réels. L’ensemble des nombres
complexes est donc l’ensemble R2 . On peut alors écrire
C = {(x, y) / x, y ∈ R}
ou encore,
∀z ∈ C, ∃x, y ∈ R, z = x + iy
avec i est un nombre nouveau tel que i2 = −1. De plus les réels x et y sont
uniques. Le réel x est appelé partie réelle de z, noté Re(z) et le réel y est appelé
partie imaginaire de z, noté Im(z).
Exemple 1.2.1 z1 = 2 + 4i, Re(z1 ) = 2 et Im(z1 ) = 4.
1
Intervalle ouvert de centre x0 et de rayon α.
i
i
i
i
i
i
“belhajBenaissa” — 2013/9/30 — 15:57 — page 7 — #13
i
i
1.2 L’ensemble des complexes
7
1.2.2 Notation algébrique (ou cartésienne) des complexes
Définition 1.2.2 Les complexes de la forme iy sont appelés imaginaires purs. L’ensemble des imaginaires purs est noté iR.
Théorème 1.2.1 Tout complexe z s’écrit sous la forme z = x + iy où x est la partie
réelle de z et y est la partie imaginaire de z. C’est la notation algébrique (ou
cartésienne) de z.
Propriétés 1.2.1
Re (z) = Re (z 0 )
0
1. z = z ⇔
.
Im (z) = Im (z 0 )
2. z ∈ R ⇔ Im (z) = 0.
3. z ∈ iR ⇔ Re (z) = 0.
4. Re (z + z 0 ) = Re (z) + Re (z 0 ) et Im (z + z 0 ) = Im (z) + Im (z 0 ).
5. Si α ∈ R, alors Re (αz) =α Re (z) et Im (αz) =α Im (z).
6. Formule du Binôme de Newton :
∀z, z 0 ∈ C, ∀n ∈ N, (z + z 0 ) =
n
X
n−k
Cnk z k (z 0 )
k=0
où Cnk =
n!
k!(n−k)!
=
n
X
k
Cnk z n−k (z 0 )
k=0
est le nombre de combinaison de n par k.
Exemple 1.2.2 z1 = 2 + bi, z2 = a − 5i, si z1 = z2 alors a = 2 et b = −5.
1.2.3 Module et conjugué d’un nombre complexe
Définition 1.2.3 Soit z = x + iy un complexe. On appelle conjugué de z le complexe
_
_
_
_
noté z et défini par z = x − iy. On a donc Re ( z) = Re (z) et Im ( z) = − Im (z) .
_
Exemple 1.2.2 z1 = 2 + 3i ⇒ z 1 = 2 − 3i.
Théorème 1.2.2 Soient z, z 0 ∈ C, on a :
1. z + z 0 = z + z 0 .
2. zz 0 = zz 0 .
3. z = z.
Remarques 1.2.1
– z + z = 2 Re (z) et z − z = 2i Im (z).
– z ∈ R ⇒ z = z.
– z est un imaginaire pur si et seulement si z = −z.
Définition 1.2.4 Soit z = x + iy √
un complexe, on appelle module de z, le réel positif
noté |z| et défini par : |z| = zz avec zz = x2 + y 2 .
Propriétés 1.2.2
1. |z| = 0 ⇔ z = 0.
2. |Re (z)| ≤ |z| et |Im (z)| ≤ |z|.
i
i
i
i
i
i
“belhajBenaissa” — 2013/9/30 — 15:57 — page 8 — #14
i
8
i
Chapitre 1. Nombres réels, nombres complexes et suites numériques
3. Si z ∈ R, alors son module coïncide avec sa valeur absolue.
n
4. |zz 0 | = |z| |z 0 | , en particulier, ∀n ∈ N, |z n | = |z| (ceci reste valable pour n ∈ Z,
si z 6= 0.
_
5. |z| = | z|.
_
6. ||z| − | z|| ≤ |z − z 0 | ≤ |z| + |z 0 | (Inégalité triangulaire).
7. Pour mettre le complexe zz0 sous forme algébrique ou cartésienne, il suffit de
multiplier en haut et en bas par z 0 .
Théorème 1.2.3 Soient z et z 0 deux complexes non nuls, |z + z 0 | = |z| + |z 0 | si et
seulement s’il existe un réel strictement positif α telque z = αz 0 .
1.2.4 Équation du second degré
Théorème 1.2.4 Soit a ∈ C, l’équation z 2 = a admet dans C deux solutions opposées
(toutes deux nulles lorsque a = 0).
Théorème 1.2.5 Soient a, b, c ∈ C avec a 6= 0, l’équation az 2 + bz + c = 0 admet
deux solutions complexes qui sont
z1 =
−b + δ
−b − δ
et z2 =
2a
2a
avec δ ∈ C tel que δ 2 = ∆ = b2 − 4ac (discriminant). De plus, lorsque les
coefficients a, b, c sont réels et que le discriminant b2 − 4ac est strictement négatif,
ces deux solutions sont complexes non réelles et conjuguées.
Remarque 1.2.2 La somme et le produit de ces deux solutions, sont données par les
relations :
∀z ∈ C, az 2 + bz + c = a (z − z1 ) (z − z2 ) .
Notation exponentielle
Pour tout réel x, on pose eix = cos x + i sin x. On a alors les propriétés suivantes :
1. ∀x ∈ R, e−ix = cos x − i sin x = eix .
q
2
2
2. ∀x ∈ R, eix = (cos x) + (sin x) = 1.
3. ∀x, y ∈ R, eix eiy = ei(x+y) .
4. Soit z = x + iy un complexe et |z| = 1 = x2 + y 2 , donc il existe un réel θ tel que
x = cos θ et y = sin θ, c’est à dire z = eiθ .
cos x = cos y
5. Soient x, y ∈ R, eix = eiy ⇔
⇔ {x ≡ y [2π] .
sin x = sin y
Formules d’Euler et de Moivre
Formule de Moivre : ∀n ∈ Z, ∀x ∈ R, eix = eix
déduit que :
n
n
= (cos x + i sin x) . On en
n
cos (nx) = Re ((cos x + i sin x) ) ;
n
sin (nx) = Im ((cos x + i sin x) ) .
i
i
i
i
i
i
“belhajBenaissa” — 2013/9/30 — 15:57 — page 9 — #15
i
1.2 L’ensemble des complexes
i
9
À l’aide du binôme de Newton, ces formules permettent d’exprimer cos (nx) et
sin (nx) sous forme d’un polynôme en cos (x) et sin (x) .
Formule d’Euler :
∀x ∈ R, cos x =
eix + e−ix
eix − e−ix
et sin x =
.
2
2i
n
n
Ces formules permettent la linéarisation de (cos x) et (sin x) .
Forme trigonométrique (ou polaire)
iθ
∗
Soit z ∈ C
tel que |z| = 1, on sait qu’il existe θ tel que z = e . Si maintenant z ∈ C
z
z
iθ
iθ
alors |z| = 1 donc il existe θ ∈ R tel que |z| = e , c’est à dire z = |z| e .
Définition 1.2.5 Soit z ∈ C∗ , on appelle argument de z tout réel θ tel que z = |z| eiθ .
Cette égalité est appelée forme trigonométrique (ou polaire)
de z. L’ensemble
des arguments de z est noté arg (z) , on a donc arg (z) = θ ∈ R / z = |z| eiθ
et si θ0 est un argument de z, alors arg (z) = {θ0 + 2kπ / k ∈ Z} .
Définition 1.2.6 Soit z ∈ C∗ , z possède un unique argument dans ]−π; π] , par
définition cet argument est appelé argument principal de z et noté arg (z) .
Propriétés 1.2.3 Soient z, z 0 ∈ C∗ avec θ = arg (z) et θ0 = arg (z 0 ) .
|z| = |z 0 |
0
1. z = z ⇔
.
θ ≡ θ0 [2π]
2. z ∈ R∗ ⇔ θ ≡ 0 [π].
_
_
3. z = |z| e−iθ donc arg ( z) ≡ −θ [2π].
4. −z = |z| ei(θ+π) donc arg (−z) ≡ θ + π [2π].
0
5. zz 0 = |zz 0 | ei(θ+θ ) donc arg (zz 0 ) ≡ θ + θ0 [2π].
0
6. zz0 = |z|z|0 | ei(θ−θ ) donc arg zz0 ≡ θ − θ0 [2π].
7. ∀n ∈ Z, z n = |z n | einθ donc arg (z n ) ≡ nθ [2π] .
Exponentielle complexe
Définition 1.2.7 Soit z = x + iy un complexe, on appelle exponentielle de z le
complexe noté exp (z) et défini par :
exp (z) = ex [cos y + i sin y] .
Remaques 1.2.3
1. Si z ∈ R (y = 0), alors l’exponentielle de z correspond à l’exponentielle réelle
de z. D’autre part on peut écrire (pour x, y ∈ R :)
exp (x + iy) = ex eiy .
2. exp (0) = 1.
i
i
i
i
i
i
“belhajBenaissa” — 2013/9/30 — 15:57 — page 10 — #16
i
10
i
Chapitre 1. Nombres réels, nombres complexes et suites numériques
3. exp (−z) =
1
exp(z) .
4. Re (exp (z)) = eRe(z) cos (Im (z)) et Im (exp (z)) = eRe(z) sin (Im (z)).
5. |exp (z)| = eRe(z) et arg (exp (z)) ≡ Im (z) [2π].
_
6. exp (z) = exp ( z) .
Racine n-ièmes d’un nombre complexe
Soient a, z0 deux complexes et n ∈ N, on dit que z0 est une racine n-ième de a lorsque
z0n = a.
Théorème 1.2.6 Soit n ∈ N tel que n ≥ 2 et a ∈ C∗ . L’ensemble des racines n-ièmes
de a (que l’on note Rn (a)) est un ensemble fini de cardinal n et pour tout
argument θ de a on a :
Rn (a) =
np
n
|a|ei
θ+2kπ
n
o
/ 0≤k ≤n−1 .
Cas particuliers : racine n-ièmes de l’unité : (noté par Un )
n 2kπ
o
Un = {z ∈ C∗ et |z| = 1 / z n = 1} = ei n / 0 ≤ k ≤ n − 1 .
Exemple 1.2.3 Résoudre dans C l’équation z 5 + 1 = 0.
1.2.5 Représentation géométrique des complexes
Le plan complexe est un plan
℘ muni d’un repère orthonormé direct < =
→ →
o, u , v .
1.2.6 Affixe
Chaque point M du plan complexe est repéré par ses coordonnées : une abscisse x
et une ordonnée y, c’est-à-dire par le couple de réel (x, y) . Plus précisement, M est
repéré par le complexe z = x + iy. Par définition, ce complexe est l’affixe du point M.
Réciproquement, tout
complexe
→
z→est
l’affixe d’un point M du plan que l’on appelle
image de z. Les axes o, u et o, v sont appelés respectivement axes des réels et
i
i
i
i
i
i
“belhajBenaissa” — 2013/9/30 — 15:57 — page 11 — #17
i
1.2 L’ensemble des complexes
i
11
axes des imaginaires.
M(x, y)
y
→
ν
O
→
u
x
1.2.7 Angles orientés
Soit z un complexe non nul et M le pointdu plan d’affixe z,l’argument
principal de z
−−→
−−→
→
−
→
−
est une mesure de l’angle orienté u , OM , ce que l’on écrit u , OM ≡ Arg (z) [2π] .
x + iy = reiθ avec r = OM = √ x2 + y2
y
M(x, y)
→
θ
ν
O
→
u
x
i
i
i
i
i
i
“belhajBenaissa” — 2013/9/30 — 15:57 — page 16 — #22
i
16
i
Chapitre 1. Nombres réels, nombres complexes et suites numériques
1.3.4 Suites divergentes et limite infinie
Définition 1.3.4 On dit qu’une suite de nombres réels (un )n≥0 tend vers +∞ (respectivement, vers −∞) quand n tend vers +∞ si :
∀A ∈ R, ∃NA ∈ N, ∀n ≥ NA : un ≥ A.
(respectivement, ∀B ∈ R, ∃NB ∈ N, ∀n ≥ NB : un ≤ B).
Exemple 1.3.9 La suite un = an avec a > 1 tend vers +∞ quand n tend vers +∞ :
lim un = +∞. En effet, soit A ∈ R cherchons NA ∈ N, ∀n ≥ NA : an ≥ A.
n→+∞
si A ≤ 0
ln A0
Posons NA =
+
1
si A > 0
ln a
Définition 1.3.5 Une suite de nombres réels (un )n≥0 est dite divergente si elle
n’admet pas de limite ou si elle tend vers ±∞ quand n tend vers +∞.
Proposition 1.3.8
– Une suite de nombres réels croissante et non majorée tend vers +∞ quand n
tend vers +∞.
– Une suite de nombres réels décroissante et non minorée tend vers −∞ quand n
tend vers +∞.
1.3.5 Suites de nombres complexes
Proposition 1.3.9 La suite (zn = xn + iyn )n≥0 de nombres complexes converge vers
l = x + iy si et seulement si lim xn = x et lim yn = y.
n→+∞
n→+∞
Preuve :
” ⇒ ” On suppose lim zn = l. Par définition, on a :
n→+∞
∀ > 0, ∃N ∈ N, ∀n ≥ N : |zn − l| < .
Or,
q
2
2
|zn − l| = (xn − x) + (yn − y) .
Ainsi, |xn − x| ≤ |zn − l| et |yn − y| ≤ |zn − l| . Donc,
∀n ≥ N : |xn − x| < et |yn − y| < .
”⇐”
xn −→ x
n→+∞
yn −→ y
n→+∞
!
⇒
xn −→ x
n→+∞
iyn −→ iy
!
⇒
n→+∞
zn = xn + iyn −→ x + iy = l.
n→+∞
i
i
i
i
i
i
“belhajBenaissa” — 2013/9/30 — 15:57 — page 17 — #23
i
1.4 Exercices
i
17
1.4 Exercices
Exercice 1 :
Soient a et b deux nombres réels vérifiant :
0 ≤ a ≤ 5 et 3 ≤ b < 8.
Donner un encadrement de a + b, a − b,
a
b
et a × b.
Exercice 2 :
Déterminer chacun des ensembles suivants :
x−1
≥0 ,
A = x ∈ R tels que
(x + 1) (x − 2)
B = {x ∈ R tels que |x + 1| < |x − 3|} ,
C = {x ∈ R tels que |x + 1| + |x + 2| < 1} .
Exercice 3 :
Soient A et B deux parties non vides et majorées de R.
1. Montrer que si A ⊂ B alors sup A ≤ sup B.
2. Montrer que :
sup (A ∪ B) = max (sup A, sup B) ,
inf (A ∪ B) = min (inf A, inf B) .
3. Montrer que
max (inf A, inf B) ≤ inf (A ∩ B) ≤ sup (A ∩ B) ≤ min (sup A, sup B) .
Exercice 4 :
Soit A une partie de R définie par :
A = r ∈ Q / r2 − 3r + 1 < 0 .
1. Montrer que A est non vide et bornée.
2. La partie A admet-elle une borne supérieure, une borne inférieure dans R ?
Exercice 5 :
Donner, lorsqu’ils existent, le plus grand élément, le plus petit élément, la borne
supérieure et la borne inférieure des ensembles suivants :
n−1
A = N, B = {1} ∪ ]2, +∞[ , C =
, n∈N .
n+1
i
i
i
i
i
i
“belhajBenaissa” — 2013/9/30 — 15:57 — page 18 — #24
i
18
i
Chapitre 1. Nombres réels, nombres complexes et suites numériques
Exercice 6 :
Calculer :
[ 1 \
[
,1 ,
[n, +∞[ ,
[n, n + 1[ ,
n
n≥1
n≥0
n≥0
\
[
1
1
1
−∞,
,
1 − ,1 +
.
n
n
n
n≥1
n≥1
Exercice 7 :
Écrire sous forme cartésienne les nombres complexes suivants :
√
π
2 − 3i
3 + 4i
z1 = √
, z2 =
,
, z3 = exp (3iπ) , z4 = π exp −i
(2 + 3i) (4 + i)
3
3 − 2i
9
5π
(1 + i)
z5 = exp −i
, z6 =
5.
4
(1 − i)
Exercice 8 :
n+1
1. Montrer que si z ∈ C\{1} alors 1 + z + z 2 + · · · + z n = z z−1−1 .
n
n
P
P
2. En déduire, pour θ ∈ ]0, 2π[ ,
cos (kθ) et
sin (kθ) .
k=0
k=0
Exercice 9 :
Résoudre dans C les équations suivantes :
(E1) z 2 + (−3 + i) z + 4 − 3i = 0,
(E2) z 8 + z 4 +√1 = 0,
1+i√3
(E3) z 6 = 1−i
.
3
Exercice 10 :
1. Trouver le module et l’argument des nombres complexes suivants :
√ 5
√
z1 = −2 + 2i , z2 = −1 + 3i , z3 = −1 + 3i .
2. En déduire la forme polaire de ces nombres complexes.
Exercice 11 :
Soient z = exp
2iπ
7
, S = z + z 2 + z 4 et T = z 3 + z 5 + z 6 .
1. Montrer que S et T sont conjugués et que la partie imaginaire de S est positive.
2. Calculer S + T et ST. En déduire S et T .
i
i
i
i
i
i
“belhajBenaissa” — 2013/9/30 — 15:57 — page 19 — #25
i
1.4 Exercices
i
19
Exercice 12 :
Soient α ∈ ]−π/2, π/2[ , n ∈ N∗ et λ ∈ C, |λ| = 1.
1+i tan α
2iα
1. Soit z0 = 1−i
.
tan α . Vérifier que z0 = e
2. Montrer que
i (1 − λ)
Im (λ)
=
λ+1
1 + Re (λ)
où Im (λ) et Re (λ) désignent la partie imaginaire
et la partie réelle du complexe
λ. (On pourra vérifier que (1 + λ) 1 + λ = 2 + 2 Re (λ)).
3. Déterminer les complexes z solutions de l’équation :
n
1 + iz
1 + i tan α
=
.
1 − iz
1 − i tan α
Exercice 13 :
Soit (un )n≥0 la suite définie par :
1
un =
1
2 un−1 +
1
4
si n = 0
si n ≥ 1.
1. Montrer que (un )n≥0 est décroissante.
2. Montrer que (un )n≥0 est minorée.
3. Vérifier que 12 est la borne inférieure de (un )n≥0 (Indication : inf (un )n≥0 = inf E
avec E = {u0 , u1 , . . . , un , . . .}).
Exercice 14 :
Soit (un )n≥0 la suite de terme générale définie par :
n1
u0 = 0
et un+1 = n + un−1
, n ≥ 1.
n
u1 = 1
1. Montrer que un = 1 +
n(n−1)
2
1
n−1
, n ≥ 2.
2. Montrer que la suite (ln un )n≥1 est convergente et calculer sa limite.
3. En déduire que la suite (un )n≥0 est convergente et sa limite est égale à 1.
Exercice 15 :
Soit la suite (un )n≥0 de nombres réels définie par :
1
u0 = 0
et un+2 =
1 + un+1 + u2n .
u1 = 21
3
1. Montrer que la suite (un )n≥0 est croissante et à valeurs dans [0, 1] (on pourra
raisonner par récurrence sur n).
2. Montrer que la suite (un )n≥0 est convergente et calculer sa limite.
i
i
i
i
i
i
“belhajBenaissa” — 2013/9/30 — 15:57 — page 20 — #26
i
20
i
Chapitre 1. Nombres réels, nombres complexes et suites numériques
Exercice 16 :
On considère (un ) une suite réelle. On suppose que les suites (u2n ) et (u2n+1 ) sont
convergentes. La suite (un ) est-elle convergente ? Discuter.
Exercice 17 :
On se propose d’étudier la nature de la suite :
un = 1 −
1 1
n−1 1
+ + · · · + (−1)
, n ∈ N∗ .
2 3
n
1. Montrer que la suite (u2n ) est croissante, majorée par 1.
2. Montrer que la suite (u2n+1 ) est décroissante, minorée par 21 .
3. Montrer que pour tout n ≥ 1, u2n < u2n−1 et que les suites (u2n ) et (u2n+1 )
tendent vers la même limite. Conclure.
Exercice 18 :
On considère deux suites (un ) et (vn ) définies par :
v1 = 1
u1 = 1
n
vn+1 = un +2v
.
un+1 = 5un6+vn
3
1. Étudier le signe de vn − un et la limite de vn − un .
2. Montrer que la suite (un )n≥1 (respectivement, (vn )n≥0 ) est croissante (respectivement décroissante).
3. Déduire des équations précédentes que (un ) et (vn ) sont deux suites adjacentes,
donc convergentes vers la même limite l.
4. Calculer l.
Exercice 19 :
En utilisant le critère de Cauchy, étudier les suites suivantes :
1. un = 1 −
2. un = 1 +
3. un = 1 +
n−1
(−1)
1
1
2 + 3 + ··· +
n
1
1
+
·
·
·
+
.
2
n
√1 + · · · + √1 .
n
2
.
Exercice 20 :
Soit (un ) une suite réelle définie par u0 = 1 et un+1 =
1. Montrer que ∀n ∈ N∗ , 1 ≤ un+1 < un +
q
u2n +
1
2n .
1
2n+1 .
2. Montrer que (un ) est de Cauchy. Donner une valeur approchée de sa limite à
10−3 prés.
i
i
i
i
i
i
“belhajBenaissa” — 2013/9/30 — 15:57 — page 307 — #313
i
i
Corrigés des exercices
Corrigés des exercices du chapitre 1
Exercice 1 :
– 3 ≤ a + b ≤ 13
– −8 ≤ a − b ≤ 2
– 0 ≤ ab ≤ 35
– 0 ≤ a × b ≤ 40.
Exercice 2 :
– A = ]−1, 1] ∪ ]2, +∞[
– B = ]−∞, 1[
– C = ∅.
Exercice 3 :
Soient A et B deux parties non vides et majorées de R.
1. Comme R vérifie l’axiome de la borne supérieure alors A admet une borne
supérieure dans R. Il suffit donc de montrer que sup B est un majorant de
A. Soit x ∈ A ⊂ B alors x ∈ B et comme sup B et un majorant de B alors
x ≤ sup B. D’où, sup A ≤ sup B.
2. Montrer que sup (A ∪ B) = max (sup A, sup B). On a :
A ⊂ A ∪ B ⇒ sup (A) ≤ sup (A ∪ B) ,
B ⊂ A ∪ B ⇒ sup (B) ≤ sup (A ∪ B) ,
alors sup (A ∪ B) ≥ max (sup A, sup B) . Il suffit de montrer que max (sup A, sup B)
est un majorant de A ∪ B. En effet, soit x ∈ A ∪ B alors x ∈ A ou x ∈ B c’est
à dire x ≤ sup A ou y ≤ sup B. Donc, x ≤ sup (A ∪ B) . D’où, le résultat. On
montre de même inf (A ∪ B) = min (inf A, inf B) .
3. On a :
(A ∩ B) ⊂ A ⇒ sup (A ∩ B) ≤ sup (A) ,
(A ∩ B) ⊂ B ⇒ sup (A ∩ B) ≤ sup (B) .
Donc,
sup (A ∩ B) ≤ min (sup A, sup B) .
i
i
i
i
i
i
“belhajBenaissa” — 2013/9/30 — 15:57 — page 308 — #314
i
308
i
Corrigés des exercices
De même, on a :
max (inf A, inf B) ≤ inf (A ∩ B) .
Exercice 4 :
√
√ 3− 5 3+ 5
2
A = r ∈ Q / r − 3r + 1 < 0 =
,
∩ Q.
2
2
√
√
1. Comme Q dense dans R, alors il existe r dans Q tel que 3−2 5 < r < 3+2 5 . Donc,
√
√
A est non vide. De plus, 3+2 5 est un majorant de A et 3−2 5 est un minorant
de A donc A est bornée.
2. Comme R vérifie l’axiome de la borne supérieure alors la partie A admet une
borne supérieure et une borne inférieure dans R.
Exercice 5 :
– A = N : 0 est le plus petit élément de N car 0 est un minorant de N et 0 ∈ N,
donc 0 est la borne inférieure de N et aussi un minorant. N n’admet pas un
majorant. En effet, soit M ∈ R, montrer qu’il existe n ∈ N / n > M. Pour
n0 = E (M ) + 1, on a n0 > M donc M n’est pas un majorant de N. Ainsi, N
n’admet pas ni de majorant, ni de borne supérieure, ni de plus grand élément.
– B = {1} ∪ ]2, +∞[ . On voit que 1 est le plus petit élément de B donc inf B = 1.
D’autre part, B n’admet pas de majorant car si M est un majorant, on a M > 2.
On a M + 1 > r et M + 1 ∈ B donc c’est la contradiction. Ainsi, B n’admet pas
ni denborne supérieure,
ni de plus grand élément.
o
n−1
– C = n+1 , n ∈ N . On remarque que −1 est le plus petit élément de C. ∀n ∈ N,
on a n−1
n+1 ≥ −1 et −1 ∈ C donc −1 est le plus petit élément de C et −1 = inf C.
On vérifie aussi que 1 est la borne supérieure. En effet, 1 ∈
/ C sinon il existe
n ∈ N tel que n−1
=
1
absurde.
Donc,
C
n’admet
pas
de
plus
grand élément.
n+1
Pour montrer que 1 = sup C. On a 1 est un majorant de C. Soit e un majorant
de C, montrons que e ≥ 1. Sinon, e < 1. Montrons
qu’il existe x ∈ C tel que
n0 −1
1+e
e < x < 1 avec x = n−1
.
Ainsi,
pour
n
=
E
0
n+1
1−e + 1, on a e < n0 +1 < 1.
Contradiction avec e un majorant de C. D’où, 1 = sup C.
Exercice 6 :
1 S 1 –
n , 1 = ]0, 1[ . Car, ∀n ≥ 1, n , 1 ⊂ ]0, 1[ . Et, pour x ∈ ]0, 1[ , il existe
n≥1
h
h
S 1 n0 = E x1 + 1 6= 0 tel que x ∈ n10 , 1 donc x ∈
n, 1 .
n≥1
T
[n, +∞[ = ∅. Montrons que si x ∈ R alors :
–
n≥0
x∈
/
\
[n, +∞[ (x ∈
/ [n, +∞[).
n≥0
En effet, il suffit de prendre n0 = E (x) + 1 pour vérifier l’absurdité.
i
i
i
i
i
i
“belhajBenaissa” — 2013/9/30 — 15:57 — page 309 — #315
i
Corrigés des exercices
–
i
309
[n, n + 1[ = [0, +∞[ . Car, ∀n ≥ 0, [n, n + 1[ ⊂ [0, +∞[ . De plus, soit x ∈
S
n≥0
[0, +∞[ . Montrons qu’il existe n0 ∈ N tel que x ∈ [n, n + 1[ . Il suffit de prendre
n0 = E (x) + 1.
i
h
S S –
−∞, n1 = ]−∞, 1[ . Car, on a ∀n0 ≥ 1, −∞, n10 ⊂
−∞, n1 . Il suffit
n≥1
n≥1
S de prendre n0 = 1 donc ]−∞, 1[ ⊂
−∞, n1 . De plus, soit
n≥1
[
1
x∈
−∞,
.
n
n≥1
Montrons
que x ∈ ]−∞, 1[ . On a x ∈ −∞, n1 ⊂ ]−∞, 1[ ( n1 ≤ 1).
T –
1 − n1 , 1 + n1 = {1} . En effet,
n≥1
\
\ 1
1
1
1
1 − ,1 +
=
1 − , 1 ∩ 1, 1 +
n
n
n
n
n≥1
n≥1
\
1
= {1} ∪
1, 1 +
.
n
n≥1
Il suffit de montrer que
1
x < 1+ n1 ⇔ x−1
D’où, le résultat.
T 1, 1 + n1 = ∅. Pour cela, supposons qu’il existe
n≥1
1
> n, ∀n ≥ 1, absurde car il suffit de prendre n0 = E x−1
+1.
Exercice 7 :
√
– z1 = 74 3 + 17 i
71
22
– z2 = 221
− 221
i
– z3 = −1
√
– z4 = −π 12 i 3 − 12
√
– z5 = − 12 − 12 i 2
– z6 = −4i.
Exercice 8 :
1. Il suffit de remarquer que z n+1 − 1 = (z − 1) 1 + z + z 2 + · · · + z n .
n
P
2. Remplacer z par eiθ pour θ ∈ ]0, 2π[ dans la question 1. pour déduire
cos (kθ)
et
n
P
k=0
sin (kθ) .
k=0
Exercice 9 :
(E1) SC = {1 − 2i, 2 + i} .
i
i
i
i
CV_MathsInformatique:EP
30/09/13
14:43
Page 1
Cet ouvrage présente les concepts et les outils mathématiques de base que tout
étudiant en première et deuxième années de Licence Informatique doit maîtriser :
initiation au raisonnement mathématique et à la modélisation de problèmes
concrets mais aussi méthodes et applications fondamentales de l’analyse
numérique.
Plus de 200 exercices corrigés complètent le cours et permettent aux étudiants de
s’entraîner efficacement.
Sommaire
Partie I. Analyse
1. Nombres réels, nombres complexes et suites numériques
2. Étude des fonctions réelles d’une variable réelle
3. Séries numériques
4. Intégration des fonctions réelles d’une variable réelle
5. Équations différentielles
13. Variables Aléatoires Continues - Lois Continues
14. Notions de convergence
Partie II. Algèbre
6. Espaces vectoriels et applications linéaires
7. Matrices, déterminant et systèmes linéaires
8. Diagonalisation des endomorphismes – matrices
9. Polynômes et fractions rationnelles
10. Applications bilinéaires et formes quadratiques
Partie V. Analyse numérique
18. Introduction à l’analyse numérique
19. Méthodes directes de résolution des systèmes linéaires
20. Méthodes itératives de résolution des systèmes linéaires
21. Résolution des équations non linéaires
22. Méthodes d’intégration numérique
Partie III. Probabilités
11. Notion de probabilité
12. Variables Aléatoires Discrètes - Lois Discrètes
Corrigés des exercices
Partie IV. Statistiques
15. Statistique descriptive
16. Échantillonnage et estimation
17. Tests d’hypothèse et tests de comparaison
Annexe
Docteur en mathématiques appliquées, Skander Belhaj est spécialiste d’algèbre matricielle rapide.
Chercheur à l’École Nationale d’Ingénieurs de Tunis (LAMSIN), il enseigne actuellement à l’Institut
Supérieur des Arts du Multimédia de la Manouba (Tunisie). Il est également Maître assistant et
Directeur des Études et des Stages à l'ISAMM.
Maître assistant à l’Institut Supérieur des Sciences Appliquées et de Technologie de Sousse (Tunisie),
Anis Ben Aïssa est spécialiste des probabilités et statistiques.
ISBN 978-2-311-01241-5
WWW.VUIBERT.FR
9 782311 012415
LICENCE 1 & 2
INFORMATIQUE
Mathématiques
Cours & exercices corrigés
Mathématiques
pour l’informatique
Mathématiques pour l’informatique
Skander Belhaj & Anis Ben Aïssa
LICENCE 1 & 2
INFORMATIQUE
Skander Belhaj
Anis Ben Aïssa
pour l’informatique
• Cours complet
• Méthodes et applications fondamentales
• Exercices d’entraînement corrigés