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Exercice N° : 1.
Soit a =
3 i
. On considère dans
l’équation :
2
Z2+ (1-i
(1)
3 )Z–(1+i
3 )=0
1. Résoudre cette équation et exprimer les solution Z’ et Z’’ en fonction de a et de i a.
2. Mettre le nombres complexes a sous forme trigonométrique et représenter, dans le
plan complexe son point image A ainsi que le point B image du nombre complexe i a.
En déduire une construction simple des points image M’ et M’’des solutions de
l’équation (1). Mettre ces solutions sous forme trigonométrique.
3. En déduire de ce qui précède les valeurs de Cos 5 et de Sin 5 .
12
12
Exercice N° : 2.
Soit p un nombre complexe non réel.
On considère dans
l’équation z ² - 2 p z + 1 = 0.
On note z’ et z’’ les solutions de cette équation.
On désigne par A , B , P , M’ et M’’ les points d’affixes respectives 1 , -1 , p , z’ et z’’
dans la plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct .
1°. Montrer que P est le milieu de [ M’ M’’] et que OM’.OM’’=OA²=OB²


et que (Ox) est la bissectrice de l’angle ( OM' ; OM'' ).
2°. Calculer ( z ’- p )² et ( z ’’- p )² en fonction de p. En déduire que
PA .PB = PM ’2 = PM ’’2
Exercice N° : 3.


et que (M ’M ’’) est la bissectrice de l’angle ( PA ; PB ).


1°. Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormé direct (O ; u ; v ).
Au nombre complexe a, on associe le point A d’affixe a.
Quel est l’ensemble des pointe A tels que : | a | = | a - 1 | ?
Démontrer que lorsque | a | = | a - 1 |, on a : arg a + arg (a – 1) ≡ π (2π).
2°.Application: On veut résoudre dans C l’équation : z 3 = i (z – 1) 3. (1)
a) Quelle relation existe-t-il entre les modules de a et a-1 si a est une solution de
l’équation (1) ? A quel ensemble appartiennent donc les points images des solutions
de l’équation (1) ?
b) On pose arg(a) = θ. Calculer θ lorsque la relation ( 1) est vérifiée.
c) En utilisant les résultats du a) et du b) construire les points images des solutions
de
(1) dans le plan P. Donner ensuite les solutions sous formes trigonométriques
(Module et argument), sans chercher à calculer les cosinus des réels trouvés.
(BAC juin 75)
Exercice N° : 4.
Dans le plan des nombres complexes
, on considère l’équation :
Z ² - α (α + i ) Z + i α 3 = 0 .où α est un nombre complexe non nul donné .
A – Résoudre cette équation.
B – déterminer le module et l’argument des racines de cette équation en fonction du
module r et de l’argument θ du nombre complexe α.
Exercice N° : 5.
1°- Résoudre dans le corps
des nombres complexes l’équation en z :
Z ² - 2 (1 + 3 cos θ) Z + 5 cos ² θ + 6 cos θ + 5 = 0. (θ étant un
paramètre réel ) .
On désignera par Z ’ et Z ’’ les solutions de cette équation.


2° - Déterminer , dans le plan muni P d’un repère orthonormé direct ( O ; u ; v ) ,
l’ensemble ( E ) des points M’ et M’’ d’affixes Z’ et Z’’ ; lorsque θ décrit IR . Construire
(E).
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3° - Montrer que OM’2 = 5 ( cos θ +
3 ²
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) +
; en déduire les points M’ pour les
5
5
quels OM’ est minimum .
EXERCICE N°:6.
Soit a un nombre complexe non nul et Ea l’équation :2z2 - a(7+i 3 )z+2a2(3+i 3 )=0
1- Résoudre dans C l’équation Ea
2- Soient u= 1 -i 3 ; z1=2a et z2 = 3aia 3 dans Le plan complexe est muni d’un repère
2
2
2
orthonormé direct (0,u ,v ) On désigne par A(a) ;M1(z1 )et M2(z2)
Vérifier que z2-a= u(z1-a) en déduire la nature du triangle AM1M2
EXERCICE N°:7.
Soit Eθ l’équation d’inconnue z , (Eθ) :(1+i)z2-2(cosθ-sinθ)z +1-i=0
1- Sans résoudre Eθ montrer que z’z’’=-i
2- Déduire une relation entre Argz’ et Argz’’
3a) Vérifier que 1+sin2θ=(cosθ+sinθ)2
b) Résoudre alors Eθ puis écrire z’ et z’’ sous forme exponentielle
c) Soient M’(z’ ) et M’’(z’’ ) Déterminer θ pour que OM’M’’ soit équilatéral
EXERCICE N°:8.
Soit a un nombre complexe considérons l’équation (Ea) :iz2-(a+i+i a )z+a(1+ a )=0
1- Montrer que z’=-ia est une racine de l’équation Ea .En déduire la racine z’’
2- Pour a=eiθ où θ 0, π  Ecrire z’ et z’’ sous forme exponentielle
 2
3- Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct (0,u ,v ) en considère les points M(a) ,
M’(1+ a )etM’’(-ia)
a) Déterminer l’ensemble des points M pour que les vecteurs OM'etOM'' soient
orthogonaux
b) Déterminer l’ensemble des points M pour que OM’=OM’’
EXERCICE N°:9.
1- Résoudre dans C l’équation :z3=i
Ecrire les solutions sous forme exponentielle puis sous forme algébrique
2- Soit θ un réel tel que θ≠k π k Ζ
iθ
a) Montrer que 1eiθ  itg θ
2
1e
b) Résoudre dans C l’équation : (1-z)3=i(1+z)3
EXERCICE N°:10.
On considère dans C l’équation (E) :z3+ λ z2 - λ z-1=0 où λ  C*
1a)
Montrer que si z0,z1 et z2 sont solutions de (E) alors z0z1z2=1
b)
Montrer que si z0 est une solution de (E) alors 1 est aussi une solution
z0
c) Déduire que (E) admet au moins une solution de module 1
2On suppose dans la suite que λ 1
a) Vérifier que - λ est une solution
b) On suppose que λ =e iθ ,déterminer les solutions de (E)
2- Utiliser ce qui précède pour résoudre dans C l’équation :
2z3+(1+i 3 )z2-(1-i 3 )z-2=0
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