![](//s1.studylibfr.com/store/data-gzf/9c18c3163b20024b4a98d4aad44b88d4/1/005210928.htmlex.zip/bg1.jpg)
Page 1 / 2
Exercice N° : 1.
Soit a =
. On considère dans l’équation :
Z 2 + ( 1 - i
) Z – ( 1 + i
) = 0 ( 1 )
1. Résoudre cette équation et exprimer les solution Z’ et Z’’ en fonction de a et de i a.
2. Mettre le nombres complexes a sous forme trigonométrique et représenter, dans le
plan complexe son point image A ainsi que le point B image du nombre complexe i a.
En déduire une construction simple des points image M’ et M’’des solutions de
l’équation (1). Mettre ces solutions sous forme trigonométrique.
3. En déduire de ce qui précède les valeurs de Cos
et de Sin
.
Exercice N° : 2.
Soit p un nombre complexe non réel.
On considère dans l’équation z ² - 2 p z + 1 = 0.
On note z’ et z’’ les solutions de cette équation.
On désigne par A , B , P , M’ et M’’ les points d’affixes respectives 1 , -1 , p , z’ et z’’
dans la plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct .
1°. Montrer que P est le milieu de [ M’ M’’] et que OM’.OM’’=OA²=OB²
et que (Ox) est la bissectrice de l’angle (
;
).
2°. Calculer ( z ’- p )² et ( z ’’- p )² en fonction de p. En déduire que
PA .PB = PM ’2 = PM ’’2 et que (M ’M ’’) est la bissectrice de l’angle (
;
).
Exercice N° : 3.
1°. Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormé direct (O ;
;
).
Au nombre complexe a, on associe le point A d’affixe a.
Quel est l’ensemble des pointe A tels que : | a | = | a - 1 | ?
Démontrer que lorsque | a | = | a - 1 |, on a : arg a + arg (a – 1) ≡ π (2π).
2°.Application: On veut résoudre dans C l’équation : z 3 = i (z – 1) 3. (1)
a) Quelle relation existe-t-il entre les modules de a et a-1 si a est une solution de
l’équation (1) ? A quel ensemble appartiennent donc les points images des solutions
de l’équation (1) ?
b) On pose arg(a) = θ. Calculer θ lorsque la relation ( 1) est vérifiée.
c) En utilisant les résultats du a) et du b) construire les points images des solutions
de
(1) dans le plan P. Donner ensuite les solutions sous formes trigonométriques
(Module et argument), sans chercher à calculer les cosinus des réels trouvés.
(BAC juin 75)
Exercice N° : 4.
Dans le plan des nombres complexes , on considère l’équation :
Z ² - α (α + i ) Z + i α 3 = 0 .où α est un nombre complexe non nul donné .
A – Résoudre cette équation.
B – déterminer le module et l’argument des racines de cette équation en fonction du
module r et de l’argument θ du nombre complexe α.
Exercice N° : 5.
1°- Résoudre dans le corps des nombres complexes l’équation en z :
Z ² - 2 (1 + 3 cos θ) Z + 5 cos ² θ + 6 cos θ + 5 = 0. (θ étant un
paramètre réel ) .
On désignera par Z ’ et Z ’’ les solutions de cette équation.
2° - Déterminer , dans le plan muni P d’un repère orthonormé direct ( O ;
;
) ,
l’ensemble ( E ) des points M’ et M’’ d’affixes Z’ et Z’’ ; lorsque θ décrit IR . Construire
( E ) .