Quaternions

L3 – Algèbre 2
2013–2014 : TD 10
Quaternions
Exercice 1. (H est une R-algèbre quadratique)
Montrer que pour tout quaternion q ∈ H, il existe des réels α et β tels que q 2 = αq + β.
Exercice 2. (Quelques remarques sur les polynômes à coefficients dans H)
Dans tout l’exercice, X désigne une variable prenant ses valeurs dans l’algèbre H des quaternions.
1. Montrer que la fonction X 7→ iX − Xi + 1 ne s’annule pas.
2. Montrer que la fonction X 7→ X2 iXi + iX2 iX − iXiX2 − XiX2 i est identiquement nulle.
3. Déterminer en fonction de a ∈ H le nombre de zéros de la fonction X 7→ X2 − a.
Exercice 3. (“Well, Papa, can you multiply triplets ?”)
1. a. Montrer que dans tout anneau commutatif, les sommes de quatre carrés forment un
ensemble stable par multiplication.
b. Montrer que le résultat n’est pas vrai pour les sommes de trois carrés (on pourra
établir une liste des carrés de Z/8Z).
2. Montrer qu’il n’existe pas de R-algèbre de dimension trois contenant une sous-algèbre
isomorphe à C.
Exercice 4. (Entiers de Hurwitz et théorème des quatre carrés)
Si A est un anneau (non nécessairement commutatif), un sous-groupe additif I ⊂ A est un
idéal à gauche si ∀a ∈ A, i ∈ I, ai ∈ I.
On appelle entier de Lipschitz tout quaternion de la forme a+bi+cj +dk avec (a, b, c, d) ∈ Z4 .
a + bi + cj + dk
On appelle entier de Hurwitz tout quaternion de la forme
, avec quatre entiers
2
a, b, c, d tous pairs ou tous impairs. On note Lip et Hur ces deux parties de H.
On note, pour q ∈ H, N(q) = qq = |q|2 .
1. Montrer que Lip et Hur sont deux sous-anneaux de H.
2. Déterminer les inversibles de Lip et Hur.
3. Montrer que pour tout a ∈ Hur, il existe δ ∈ Hur× tel que δa ∈ Lip.
4. Montrer que pour tous a, b ∈ Hur (b 6= 0), il existe q, r ∈ Hur tels que a = qb + r et
N(r) < N(b).
5. En déduire que tout idéal à gauche de Hur est de la forme Hur · a pour un certain
a ∈ Hur.
6. Soit p un nombre premier impair. Montrer qu’il existe u et v entiers tels que
1 + u2 + v 2 ≡ 0 (mod p).
7. On pose q = 1 + ui + vj ∈ Hur. Montrer que l’on a les inclusions strictes
Hur · p
Hur · p + Hur · q
Hur.
8. Soit b ∈ Hur tel que Hur · p + Hur · q = Hur · b. Montrer que l’on peut écrire p = mb,
avec N(m) 6= 1.
9. En déduire que p est la somme de quatre carrés.
10. En déduire le théorème des quatre carrés (Lagrange, 1770) : tout entier est somme de
quatre carrés.
Exercice 5. (Sous-groupes finis de H× )
1. Montrer que tout sous-groupe de SO2 est cyclique.
2. Montrer que tout sous-groupe de O2 est cyclique ou diédral. Montrer que ces groupes
sont isomorphes à des sous-groupes de SO3 .
3. Montrer que tout sous-groupe de H× est un sous-groupe de SU2 .
2π
2π
×
4. Si m est pair, on note Dic2m le sous-groupe de H engendré par cos
+ sin
i
m
m
et j. Montrer que l’image de Dic2m par le morphisme SU2 → SO3 est un groupe diédral
et en déduire que Dic2m a 2m éléments. Ce groupe est le groupe dicyclique de cardinal
2m.
5. On admet l’existence de sous-groupes T, O, I ⊂ SO3 isomorphes respectivement à A(4),
S(4) et A(5) tels que tout sous-groupe fini de SO3 soit conjugué à T, O, I ou à un des
sous-groupes construits à la question 2. En déduire une classification des sous-groupes
finis de H× .
6. Si m = 2n−1 , le groupe Dic2m est noté Q2n et appelé groupe de quaternions généralisé.
Identifier Q8 et montrer que ce groupe n’est pas isomorphe à un produit semi-direct
non trivial.
7. Exhiber un sous-groupe distingué N de Q8 tel que le quotient Q8 /N ne soit pas isomorphe
à un sous-groupe de Q8 .
8. Un théorème de Burnside affirme que si un p-groupe G possède un unique sous-groupe
de cardinal p, alors soit G est cylique, soit p = 2 et G est isomorphe à un Q2n . Vérifier
ce théorème dans le cas où G est abélien.
9. En utilisant le théorème de Burnside, montrer que si q est impair, les 2-sous-groupes de
Sylow de SL2 (Fq ) sont des groupes de quaternions généralisés (on pourra vérifier que si
l’ordre k d’un élément de SL2 (Fq ) est une puissance de 2, alors k divise q − 1 ou q + 1).
Exercice 6. (Simplicité de PSOn )
1. Déterminer le centre de SOn . On note PSOn le quotient de SOn par son centre.
2. À quoi est isomorphe PSO3 ? En déduire que ce groupe est simple.
3. À quoi est isomorphe PSO4 ? En déduire que ce groupe n’est pas simple.
À partir de maintenant, on suppose n ≥ 5. Le but est de démontrer que PSOn est un groupe
simple. On rappelle qu’un renversement est une symétrie orthogonale par rapport à un sousespace vectoriel de codimension 2.
4. Montrer que tous les renversements sont conjugués et qu’ils engendrent SOn .
5. Pour tout sous-espace vectoriel F ⊂ Rn , on considère GF = u ∈ SOn u|F = idF . À
quoi est isomorphe GF ?
6. Soit u ∈ SOn différent de ± id. Montrer qu’il existe un élément v ∈ SOn tel que le
commutateur c = [u, v] soit différent de ± id mais fixe un vecteur unitaire.
7. Démontrer qu’il existe w ∈ SOn tel que le commutateur [c, w] soit différent de ± id mais
fixe un sous-espace vectoriel de codimension ≤ 2.
8. En déduire la liste des sous-groupes distingués de SOn et la simplicité de PSOn .