Quaternions

L3 – Alg`ebre 2 2013–2014 : TD 10
Quaternions
Exercice 1. (H est une R-alg`ebre quadratique)
Montrer que pour tout quaternion q∈H, il existe des r´eels αet βtels que q2=αq +β.
Exercice 2. (Quelques remarques sur les polynˆomes `a coefficients dans H)
Dans tout l’exercice, X d´esigne une variable prenant ses valeurs dans l’alg`ebre Hdes quater-
nions.
1. Montrer que la fonction X 7→ iX−Xi+ 1 ne s’annule pas.
2. Montrer que la fonction X 7→ X2iXi+iX2iX−iXiX2−XiX2iest identiquement nulle.
3. D´eterminer en fonction de a∈Hle nombre de z´eros de la fonction X 7→ X2−a.
Exercice 3. (“Well, Papa, can you multiply triplets ?”)
1. a. Montrer que dans tout anneau commutatif, les sommes de quatre carr´es forment un
ensemble stable par multiplication.
b. Montrer que le r´esultat n’est pas vrai pour les sommes de trois carr´es (on pourra
´etablir une liste des carr´es de Z/8Z).
2. Montrer qu’il n’existe pas de R-alg`ebre de dimension trois contenant une sous-alg`ebre
isomorphe `a C.
Exercice 4. (Entiers de Hurwitz et th´eor`eme des quatre carr´es)
Si A est un anneau (non n´ecessairement commutatif), un sous-groupe additif I ⊂A est un
id´eal `a gauche si ∀a∈A, i ∈I, ai ∈I.
On appelle entier de Lipschitz tout quaternion de la forme a+bi+cj +dk avec (a, b, c, d)∈Z4.
On appelle entier de Hurwitz tout quaternion de la forme a+bi +cj +dk
2, avec quatre entiers
a, b, c, d tous pairs ou tous impairs. On note Lip et Hur ces deux parties de H.
On note, pour q∈H, N(q) = qq =|q|2.
1. Montrer que Lip et Hur sont deux sous-anneaux de H.
2. D´eterminer les inversibles de Lip et Hur.
3. Montrer que pour tout a∈Hur, il existe δ∈Hur×tel que δa ∈Lip.
4. Montrer que pour tous a, b ∈Hur (b6= 0), il existe q, r ∈Hur tels que a=qb +ret
N(r)<N(b).
5. En d´eduire que tout id´eal `a gauche de Hur est de la forme Hur ·apour un certain
a∈Hur.
6. Soit pun nombre premier impair. Montrer qu’il existe uet ventiers tels que
1 + u2+v2≡0 (mod p).
7. On pose q= 1 + ui +vj ∈Hur. Montrer que l’on a les inclusions strictes
Hur ·p Hur ·p+ Hur ·q Hur.

8. Soit b∈Hur tel que Hur ·p+ Hur ·q= Hur ·b. Montrer que l’on peut ´ecrire p=mb,
avec N(m)6= 1.
9. En d´eduire que pest la somme de quatre carr´es.
10. En d´eduire le th´eor`eme des quatre carr´es (Lagrange, 1770) : tout entier est somme de
quatre carr´es.
Exercice 5. (Sous-groupes finis de H×)
1. Montrer que tout sous-groupe de SO2est cyclique.
2. Montrer que tout sous-groupe de O2est cyclique ou di´edral. Montrer que ces groupes
sont isomorphes `a des sous-groupes de SO3.
3. Montrer que tout sous-groupe de H×est un sous-groupe de SU2.
4. Si mest pair, on note Dic2mle sous-groupe de H×engendr´e par cos 2π
m+sin 2π mi
et j. Montrer que l’image de Dic2mpar le morphisme SU2→SO3est un groupe di´edral
et en d´eduire que Dic2ma 2m´el´ements. Ce groupe est le groupe dicyclique de cardinal
2m.
5. On admet l’existence de sous-groupes T,O,I⊂SO3isomorphes respectivement `a A(4),
S(4) et A(5) tels que tout sous-groupe fini de SO3soit conjugu´e `a T, O, I ou `a un des
sous-groupes construits `a la question 2. En d´eduire une classification des sous-groupes
finis de H×.
6. Si m= 2n−1, le groupe Dic2mest not´e Q2net appel´e groupe de quaternions g´en´eralis´e.
Identifier Q8et montrer que ce groupe n’est pas isomorphe `a un produit semi-direct
non trivial.
7. Exhiber un sous-groupe distingu´e N de Q8tel que le quotient Q8/N ne soit pas isomorphe
`a un sous-groupe de Q8.
8. Un th´eor`eme de Burnside affirme que si un p-groupe G poss`ede un unique sous-groupe
de cardinal p, alors soit G est cylique, soit p= 2 et G est isomorphe `a un Q2n. V´erifier
ce th´eor`eme dans le cas o`u G est ab´elien.
9. En utilisant le th´eor`eme de Burnside, montrer que si qest impair, les 2-sous-groupes de
Sylow de SL2(Fq) sont des groupes de quaternions g´en´eralis´es (on pourra v´erifier que si
l’ordre kd’un ´el´ement de SL2(Fq) est une puissance de 2, alors kdivise q−1 ou q+ 1).
Exercice 6. (Simplicit´e de PSOn)
1. D´eterminer le centre de SOn. On note PSOnle quotient de SOnpar son centre.
2. ` A quoi est isomorphe PSO3? En d´eduire que ce groupe est simple.
3. ` A quoi est isomorphe PSO4? En d´eduire que ce groupe n’est pas simple.
`
A partir de maintenant, on suppose n≥5. Le but est de d´emontrer que PSOnest un groupe
simple. On rappelle qu’un renversement est une sym´etrie orthogonale par rapport `a un sous-
espace vectoriel de codimension 2.
4. Montrer que tous les renversements sont conjugu´es et qu’ils engendrent SOn.
5. Pour tout sous-espace vectoriel F ⊂Rn, on consid`ere GF=u∈SOn
u|F= idF.`
A
quoi est isomorphe GF?
6. Soit u∈SOndiff´erent de ±id. Montrer qu’il existe un ´el´ement v∈SOntel que le
commutateur c= [u, v] soit diff´erent de ±id mais fixe un vecteur unitaire.
7. D´emontrer qu’il existe w∈SOntel que le commutateur [c, w] soit diff´erent de ±id mais
fixe un sous-espace vectoriel de codimension ≤2.
8. En d´eduire la liste des sous-groupes distingu´es de SOnet la simplicit´e de PSOn.