Groupes finis et théorèmes de Sylow

GROUPES FINIS ET THEOREMES DE SYLOW
Exercice 1. Montrer qu’un groupe d’ordre 40 a un sous-groupe distingu´e d’ordre 5 .
Exercice 2. Soit Gun groupe d’ordre 36 .
Montrer que Gcontient un sous-groupe Hd’ordre 9 .Montrer que |G|ne divise pas
(G:H)! .En d´eduire que Ga un un sous-groupe distingu´e d’ordre 3 ou 9 .
Exercice 3. On veut montrer qu’un groupe d’ordre 56 n’est pas simple. Raisonnons par
l’absurde en supposant que Gest un groupe simple d’ordre 56 .
a) Montrer que Gcontient 48 ´el´ements d’ordre 7 .
b) Montrer que Ga un unique 2-Sylow. Conclure.
Exercice 4. Soit Gun groupe d’ordre 30 .Montrer que si Gn’a pas un unique 5-Sylow
alors Ga un unique 3-Sylow. En d´eduire que Gn’est pas simple.
Exercice 5. On veut montrer qu’un groupe d’ordre 132 n’est pas simple. Raisonnons
par l’absurde en supposant que Gest un groupe simple d’ordre 132 .
a) Montrer que Gcontient 120 ´el´ements d’ordre 11 .
b) Montrer que Gcontient 8 ´el´ements d’ordre 3 .
c) Montrer que Ga un unique 2-Sylow. Conclure.
Exercice 6. On veut montrer qu’un groupe d’ordre 300 n’est pas simple. Raisonnons
par l’absurde en supposant que Gest un groupe simple d’ordre 300 .
Soit Hun 5-Sylow de G . On fait op´erer Gpar conjugaison sur l’ensemble Xdes conjugu´es
de H .
a) Quel est le cardinal de X?
b) Soit Nle normalisateur de Hdans G . Montrer que Nest d’indice 6 dans G .
c) Montrer que |G|ne divise pas (G:N)! .Conclure.
Exercice 7. Soit D2nle groupe di´edral d’ordre 2n . Montrre que D2nest le produit
semi-direct d’un groupe cyclique d’ordre net d’un groupe `a 2 ´el´ements.
Exercice 8. Soient pet qdes nombres premiers tels que p > q et soit Gun groupe
d’ordre pq .
1) Montrer qu’il y a un seul p-Sylow de G . On le notera H .
2) Soit Kun q-Sylow de G . Montrer que Gest isomorphe au produit semi-direct H×K
.
3) Supposons qu’il existe un seul q-Sylow de G . Notons le K .
a) Montrer que Gest isomorphe au produit H×K .
b) En d´eduire que Gest cyclique.
4) On suppose que p6≡ 1 mod q . Montrer que Gest cyclique.
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Exercice 9. Soient pet qdes nombres premiers tels que p≡1 mod q .
a) Montrer qu’il existe un homomorphisme de groupes non trivial Z/qZ→Aut (Z/pZ).
b) Montrer qu’il existe deux groupes d’ordre pq non isomorphes.
Exercice 10. Soit pun nombre premier impair. Montrer qu’il y a deux classes
d’isomorphisme de groupes d’ordre 2p .
Exercice 11.
a) Soit nun entier ≤7.Montrer que Snne contient pas de sous-groupe d’ordre 15 .
b) En d´eduire qu’un op´eration de S5sur un ensemble `a 8 ´el´ements n’est pas transitive.
Exercice 12. Soit Gun groupe d’ordre 12 .
1) Montrer que si Gest ab´elien alors Gest isomorphe `a Z/2Z×Z/6Zou bien `a
Z/4Z×Z/3Z.
On suppose maintenant que Gn’est pas ab´elien.
2) Montrer qu’il y a un ou quatre 3-Sylow et un ou trois 2-Sylow.
3) Supposons que Ga quatre 3-Sylow.
a) Combien y a-t-il d’´el´ements d’ordre 3 ? Montrer que Ga un unique 2-Sylow, que nous
noterons P .
b) Montrer que Gest isomorphe `a un produit semi-direct P×K o`u Kest cyclique d’ordre
3.Montrer que Pest isomorphe `a Z/2Z×Z/2Z.
(le groupe A4est de ce type)
4) Supposons que Ga un seul 3-Sylow que nous noterons H .
a) Montrer qu’il y a trois 2-Sylow et que si Kest un 2-Sylow alors Gest isomorphe `a un
produit semidirect Z/3Z×Z/4Zou Z/3Z×(Z/2Z×Z/2Z) .
b) Supposons que Gest isomorphe `a Z/3Z×Z/4Z . Montrer que Gest engendr´e par
deux ´el´ements xet ytels que x3=y4= 1 et yxy−1=x−1.
Exercice 13. Soit Gun groupe fini et soit pun nombre premier tel que pdivise |G|.
Soit Sun p-Sylow de Get soit Hun sous-groupe de Gtel que pdivise |H|.
On fait op´erer Hpar translations `a gauche sur G/S .
a) Soit a∈G . Montrer que le stabilisateur de aS est H∩aSa−1.
b) Montrer que (G:S) est premier `a p .
c) En d´eduire qu’il existe g∈Gtel que H:H∩gSg−1est premier `a p .
d) Montrer que H∩gSg−1est un p-sous-groupe de H . En d´eduire que H∩gSg−1est
un p-Sylow de H .
Exercice 14. Soit pun nombre premier impair et soit Gle sous-groupe de GL (3,Z/pZ)
form´e des matrices 
1x z
0 1 y
0 0 1
o`u (x, y, z)∈(Z/pZ)3.
1) Quel est le cardinal de GL (3,Z/pZ) ? Quel est le cardinal de G?
2) Montrer que Gest un p-Sylow de GL (3,Z/pZ).
2

3) Soit M∈G . Montrer que pour tout entier n∈Zon a Mn=
1nx nz +n(n−1)
2xy
0 1 ny
0 0 1
.
En d´eduire que tout ´el´ement de G\ {1}est d’ordre p .
4) Montrer que le centre de Gest l’ensemble Zdes matrices 
1 0 z
0 1 0
0 0 1
o`u z∈Z/pZ.
Quel est le cardinal de Z?
5) Soit A∈Gtel que A6∈ Zet soit C(A) le centralisateur de A . Montrer que C(A)
contient Zet est diff´erent de G . En d´eduire que C(A) poss`ede p2´el´ements et est distingu´e
dans G .
6) Soit B∈Gtel que B6∈ C(A) et soit βle sous-groupe engendr´e par B . Montrer que
C(A)∩β={I}et que Gest un produit semi-direct C(A)×β.
Exercice 15.
Partie I. Soit nun entier au moins ´egal `a 5 .
1) Soit Hun sous-groupe de Sntel que H∩An={1}.Montrer que Hest d’ordre 1
ou 2 .
2) Soit Hun sous-groupe distingu´e de Sn.Montrer que H={1},Anou Sn.
Partie II. Soit Pun 5-Sylow de S5et soit Nle normalisateur de P .
1) Montrer que Nest d’ordre 20 .
2) On fait op´erer S5sur S5/N par translations `a gauche. Soit ϕ:S5→Σ (S5/N) le
morphisme correspondant. Montrer que ϕest injectif.
3) Montrer qu’il existe un sous-groupe Hde S6, isomorphe `a S5, et qui op`ere
transitivement sur {1,2,· · · ,6}.
Exercice 16. Soit pun nombre premier et soit Gun groupe d’ordre p3.On suppose que
Gn’est pas ab´elien.
a) Montrer que le centre Zde Gest cyclique d’ordre p . Montrer que le groupe G/Z est
isomorphe `a Z×Z .
b) SoitHun sous-groupe de Gd’ordre p2.Montrer que Hcontient Zet est distingu´e
dans G .
c) On suppose que tout ´el´ement x∈Gv´erifie xp= 1 .Montrer que Gcontient un
sous-groupe d’ordre p2.
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