Sur les groupes simples d`ordre 60

Sur les groupes simples d’ordre 60
Baptiste GORIN
Théorème. — Soit G un groupe simple d’ordre 60. Alors G est isomorphe à A5 .
Démonstration
Lemme 1. — Soit G un sous-groupe d’ordre 60 de A6 . Alors G n’est pas distingué dans A6 .
Démonstration
Supposons G distingué dans A6 . Puisque 5 divise l’ordre de G, G contient un élément a d’ordre 5. Si b est un
élément d’ordre 5 de A6 , alors le sous-groupe de A6 engendré par b est un 5-Sylow de A6 qui est conjugué au
sous-groupe engendré par a. Il existe donc τ ∈ A6 et k ∈ Z tels que b = τ ak τ −1 . Donc b ∈ G. Finalement, G
doit contenir tous les éléments d’ordre 5 de A6 qui sont au nombre de 65 4! = 144. Cette contradiction montre
que G est distingué dans A6 .
C.Q.F.D.
Lemme 2. — Soient K un groupe et H un sous-groupe de K, simple, non distingué dans K et d’indice fini n.
Alors H est isomorphe à un sous-groupe de Sn−1 .
Démonstration
Notons Y l’ensemble des classes à gauche de K modulo H et faisons opérer H sur Y par :
h · (xH) = (hx)H avec h ∈ H et x ∈ K.
Cette action est triviale si, et seulement si, H est distingué dans K.
Notons ϕ : H −→ SY ≃ Sn le morphisme associé :
h 7−→ [xH 7−→ h · (xH)].
Puisque H est simple et ϕ non triviale, ϕ est injective et H est isomorphe au sous-groupe ϕ(H) de Sn . Puisque
chaque élément de ϕ(H) laisse fixe le point H (la classe de tout élément neutre), H est isomorphe à un sousgroupe de Sn−1 .
C.Q.F.D.
Soit n5 le nombre de 5-Sylow de G. D’après les théorèmes de Sylow, n5 vérifie : n5 ≡ 1 mod [5] et n5 divise 12 ;
donc n5 = 1 ou n5 = 6. Puisque G est simple, nécessairement n5 = 6.
Faisons alors opérer G sur l’ensemble X à six éléments des 5-Sylow de G par conjugaison :
g · P = gP g −1 avec g ∈ G et P ∈ X.
Deux 5-Sylow distincts de G étant conjugués, cette opération est non triviale ; comme G est simple, elle est
fidèle. Par suite, G est isomorphe à un sous-groupe de S6 .
Notant D(G) le groupe dérivé de G, on a, puisque G est simple et nécessairement non commutatif :
D(G) = G ⊂ D(S6 ) ⊂ A6 .
Donc G est un sous-groupe de A6 .
Le lemme 1 assure que G n’est pas distingué dans A6 ; étant d’indice 6 dans A6 , G est isomorphe à un sousgroupe de S5 d’après le lemme 2 appliqué à K = A6 et H = G.
G étant d’indice 2 dans S5 , il vient G = A5 .
Pour ce dernier point, on peut également conclure, à partir des inclusions :
D(G) ⊂ G ⊂ D(S5 ) ⊂ A5 ,
que G = A5 , puisque ces deux groupes ont même ordre.
C.Q.F.D.
Remarque. — Si, dans le lemme 2, on ajoute l’hypothèse que H est non commutatif, alors on montre que H
est isomorphe à un sous-groupe de An−1 . En effet, sachant que H ⊂ Sn−1 , il suffit de considérer le morphisme
ε|H de H dans {−1, +1} où ε est le morphisme signature de Sn−1 ; le lemme 2 appliqué à H = G et K = A5
donne G ⊂ A5 , donc G = A5 .