Sur les groupes simples d`ordre 60

Sur les groupes simples d’ordre 60
Baptiste GORIN
Théorème. — Soit Gun groupe simple d’ordre 60. Alors Gest isomorphe à A5.
Démonstration
Lemme 1. — Soit Gun sous-groupe d’ordre 60 de A6. Alors Gn’est pas distingué dans A6.
Démonstration
Supposons Gdistingué dans A6. Puisque 5 divise l’ordre de G,Gcontient un élément ad’ordre 5. Si best un
élément d’ordre 5 de A6, alors le sous-groupe de A6engendré par best un 5-Sylow de A6qui est conjugué au
sous-groupe engendré par a. Il existe donc τ∈A6et k∈Ztels que b=τakτ−1. Donc b∈G. Finalement, G
doit contenir tous les éléments d’ordre 5 de A6qui sont au nombre de 6
54! = 144. Cette contradiction montre
que Gest distingué dans A6.
C.Q.F.D.
Lemme 2. — Soient Kun groupe et Hun sous-groupe de K, simple, non distingué dans Ket d’indice fini n.
Alors Hest isomorphe à un sous-groupe de Sn−1.
Démonstration
Notons Yl’ensemble des classes à gauche de Kmodulo Het faisons opérer Hsur Ypar :
h·(xH) = (hx)Havec h∈Het x∈K.
Cette action est triviale si, et seulement si, Hest distingué dans K.
Notons ϕ:H−→ SY≃Snle morphisme associé :
h7−→ [xH 7−→ h·(xH)].
Puisque Hest simple et ϕnon triviale, ϕest injective et Hest isomorphe au sous-groupe ϕ(H)de Sn. Puisque
chaque élément de ϕ(H)laisse fixe le point H(la classe de tout élément neutre), Hest isomorphe à un sous-
groupe de Sn−1.
C.Q.F.D.
Soit n5le nombre de 5-Sylow de G. D’après les théorèmes de Sylow, n5vérifie : n5≡1 mod [5] et n5divise 12 ;
donc n5= 1 ou n5= 6. Puisque Gest simple, nécessairement n5= 6.
Faisons alors opérer Gsur l’ensemble Xà six éléments des 5-Sylow de Gpar conjugaison :
g·P=gP g−1avec g∈Get P∈X.
Deux 5-Sylow distincts de Gétant conjugués, cette opération est non triviale ; comme Gest simple, elle est
fidèle. Par suite, Gest isomorphe à un sous-groupe de S6.
Notant D(G)le groupe dérivé de G, on a, puisque Gest simple et nécessairement non commutatif :
D(G) = G⊂D(S6)⊂A6.
Donc Gest un sous-groupe de A6.
Le lemme 1 assure que Gn’est pas distingué dans A6; étant d’indice 6 dans A6,Gest isomorphe à un sous-
groupe de S5d’après le lemme 2 appliqué à K=A6et H=G.
Gétant d’indice 2 dans S5, il vient G=A5.
Pour ce dernier point, on peut également conclure, à partir des inclusions :
D(G)⊂G⊂D(S5)⊂A5,
que G=A5, puisque ces deux groupes ont même ordre.
C.Q.F.D.
Remarque. — Si, dans le lemme 2, on ajoute l’hypothèse que Hest non commutatif, alors on montre que H
est isomorphe à un sous-groupe de An−1. En effet, sachant que H⊂Sn−1, il suffit de considérer le morphisme
ε|Hde Hdans {−1,+1}où εest le morphisme signature de Sn−1; le lemme 2 appliqué à H=Get K=A5
donne G⊂A5, donc G=A5.