Algèbre : Fiche de TD n 3.

Algèbre : Fiche de TD n◦3.
Morphismes de groupes et sous-groupes normaux.
Exercice 1.
1. Vérifier que le logarithme ln : R∗
+→Rest un isomorphisme de groupes.
2. L’application R−→ C∗définie par θ7→ eiθ est-elle un homomorphisme de groupes (le premier additif
et le deuxième multiplicatif) ? Si oui, quels sont son image et son noyau ?
3. Même question avec exp : C−→ C∗définie par z=a+ib 7→ exp(z) = eaeib.
4. Soit G=a−b
b a |a, b ∈R, a2+b26= 0. Montrer que Gavec la multiplication des matrices est
un groupe abélien isomorphe au groupe multiplicatif C∗.
5. Soit H=a−b
b a |a, b ∈R, a2+b2= 1. Vérifier que H=SO2(R), que Hest un sous-groupe
de Gisomorphe au sous-groupe S1des nombre complexes de module 1.
6. Montrer que {1, i, −1,−i}est un sous groupe de S1. A quel sous-groupe de Gcorrespond-il ?
Exercice 2.
1. Etudier les sous-groupes de Dnpour n≤4(lesquels sont distingués ?).
2. Déterminer les sous-groupes de Q8et montrer qu’ils sont tous distingués.
Exercice 3. Soit Gun groupe et Hun sous-groupe de G.
1. Montrer que ∀g∈G, gHg−1est un sous-groupe de G.
2. Montrer l’équivalence entre :
(a) ∀g∈G, gH ⊂Hg
(b) ∀g∈G, gHg−1⊂H
(c) Hest normal (ou distingué) dans G– noté H  G – c’est é dire : ∀g∈G, gHg−1=H.
3. Montrer que si Hun sous-groupe de Gdont les classes à gauche sont aussi classes à droite alors Hest
un sous-groupe normal de G.
4. Montrer que si Hun sous-groupe de Gtel que le produit de deux classes à gauche est une classe à
gauche alors H  G.
Exercice 4.
1. Soit φ:A→Bun morphisme de groupes. Soient Hun sous-groupe de Aet Kun sous-groupe de B.
Est-ce que φ(H)est un sous-groupe de B? Est-ce que φ−1(K)est un sous-groupe de A? Si oui, et si
Het Ksont normaux, est-ce que φ(H)et φ−1(K)le sont ?
2. Montrer que l’application det : GLn(R)→R∗est un homomorphisme de groupes. Déterminer son
noyau et son image et en déduire que det−1(R∗
+)est un sous-groupe normal de GLn(R).
Exercice 5. Montrer que si pgcd(m, n)=1, alors Z/mnZest isomorphe à Z/mZ×Z/nZ
Exercice 6. Soient Het Kdes groupes et α:K→Aut(H)un morphisme de groupe qui à chaque élément
k∈Kassocie un autormorphisme αk∈Aut(H). On munit G=H×Kde la loi de composition interne
définie par :
(h, k)(h0, k0)=(hαk(h0), kk0).
1

1. Montrer que Gmuni de cette loi est un groupe.
2. Montrer que les applications f:h7→ (h, 1) et g:k7→ (1, k)sont des homomorphismes injectifs de H
et Ksur des sous-groupes H0=H× {1}et K0={1} × Kde G.
3. Montrer de plus que l’on a :
H0 G, H0∩K0={1}, H0K0=K0H0=G.
On note Gmunit de cette loi interne HoαKet on l’appelle le produit semi-direct associé à l’action αde
Ksur H.
Exercice 7.
1. Soit Kun corps commutatif. On note Aff(K)l’ensemble des applications affines :
f:K→K, f(x) = ax +b, a 6= 0
Montrer que (Aff(K),◦)est un groupe isomorphe à un produit semi-direct (K, +) avec (K∗,×).
2. Soit Vun espace vectoriel de dimension nsur K. On note Aff(V)l’ensemble des bijections affines de
Vmuni de la composition. Montrer que c’est le produit semi-direct de Vavec GLn(V).
Exercice 8. Montrer que Dnest isomorphe au produit semi-direct Z/nZ oφZ/2Z.
Exercice 9.
1. Soit Hun sous-groupe de Gtel que [G:H] = 2. Montrer que Hest normal dans G.
2. Classifier tous les groupes d’ordre 2poù pest un nombre premier.
3. Classifier tous les groupe d’ordre au plus 8.
2