Algèbre : Fiche de TD n 3.

Algèbre : Fiche de TD n◦ 3.
Morphismes de groupes et sous-groupes normaux.
Exercice 1.
1. Vérifier que le logarithme ln : R∗+ → R est un isomorphisme de groupes.
2. L’application R −→ C∗ définie par θ 7→ eiθ est-elle un homomorphisme de groupes (le premier additif
et le deuxième multiplicatif) ? Si oui, quels sont son image et son noyau ?
3. Même question avec exp : C −→ C∗ définie par z = a + ib 7→ exp(z) = ea eib .
a −b
4. Soit G =
| a, b ∈ R, a2 + b2 6= 0 . Montrer que G avec la multiplication des matrices est
b a
un groupe abélien isomorphe au groupe multiplicatif C∗ .
a −b
5. Soit H =
| a, b ∈ R, a2 + b2 = 1 . Vérifier que H = SO2 (R), que H est un sous-groupe
b a
de G isomorphe au sous-groupe S1 des nombre complexes de module 1.
6. Montrer que {1, i, −1, −i} est un sous groupe de S1 . A quel sous-groupe de G correspond-il ?
Exercice 2.
1. Etudier les sous-groupes de Dn pour n ≤ 4 (lesquels sont distingués ?).
2. Déterminer les sous-groupes de Q8 et montrer qu’ils sont tous distingués.
Exercice 3.
Soit G un groupe et H un sous-groupe de G.
1. Montrer que ∀g ∈ G, gHg −1 est un sous-groupe de G.
2. Montrer l’équivalence entre :
(a) ∀g ∈ G, gH ⊂ Hg
(b) ∀g ∈ G, gHg −1 ⊂ H
(c) H est normal (ou distingué) dans G – noté H / G – c’est é dire : ∀g ∈ G, gHg −1 = H.
3. Montrer que si H un sous-groupe de G dont les classes à gauche sont aussi classes à droite alors H est
un sous-groupe normal de G.
4. Montrer que si H un sous-groupe de G tel que le produit de deux classes à gauche est une classe à
gauche alors H / G.
Exercice 4.
1. Soit φ : A → B un morphisme de groupes. Soient H un sous-groupe de A et K un sous-groupe de B.
Est-ce que φ(H) est un sous-groupe de B ? Est-ce que φ−1 (K) est un sous-groupe de A ? Si oui, et si
H et K sont normaux, est-ce que φ(H) et φ−1 (K) le sont ?
2. Montrer que l’application det : GLn (R) → R∗ est un homomorphisme de groupes. Déterminer son
noyau et son image et en déduire que det−1 (R∗+ ) est un sous-groupe normal de GLn (R).
Exercice 5.
Montrer que si pgcd(m, n) = 1, alors Z/mnZ est isomorphe à Z/mZ × Z/nZ
Exercice 6. Soient H et K des groupes et α : K → Aut(H) un morphisme de groupe qui à chaque élément
k ∈ K associe un autormorphisme αk ∈ Aut(H) . On munit G = H × K de la loi de composition interne
définie par :
(h, k)(h0 , k 0 ) = (hαk (h0 ), kk 0 ).
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1. Montrer que G muni de cette loi est un groupe.
2. Montrer que les applications f : h 7→ (h, 1) et g : k 7→ (1, k) sont des homomorphismes injectifs de H
et K sur des sous-groupes H 0 = H × {1} et K 0 = {1} × K de G.
3. Montrer de plus que l’on a :
H 0 / G,
H 0 ∩ K 0 = {1},
H 0 K 0 = K 0 H 0 = G.
On note G munit de cette loi interne H oα K et on l’appelle le produit semi-direct associé à l’action α de
K sur H.
Exercice 7.
1. Soit K un corps commutatif. On note Aff (K) l’ensemble des applications affines :
f : K → K,
f (x) = ax + b,
a 6= 0
Montrer que (Aff (K), ◦) est un groupe isomorphe à un produit semi-direct (K, +) avec (K ∗ , ×).
2. Soit V un espace vectoriel de dimension n sur K. On note Aff (V ) l’ensemble des bijections affines de
V muni de la composition. Montrer que c’est le produit semi-direct de V avec GLn (V ).
Exercice 8.
Montrer que Dn est isomorphe au produit semi-direct Z/nZ oφ Z/2Z.
Exercice 9.
1. Soit H un sous-groupe de G tel que [G : H] = 2. Montrer que H est normal dans G.
2. Classifier tous les groupes d’ordre 2p où p est un nombre premier.
3. Classifier tous les groupe d’ordre au plus 8.
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