Polynômes en un endomorphisme ou une matrice

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Polynômes en un endomorphisme ou une matrice
Exercice 1 [ 00753 ] [Correction]
Soient Eun K-espace vectoriel de dimension net u∈ L(E). On suppose qu’il existe un
vecteur x0∈Etelle que la famille x0,u(x0),...,un−1(x0)soit libre.
Montrer que seuls les polynômes en ucommutent avec u.
Exercice 2 [ 02598 ] [Correction]
Soient Aet Bdeux matrices réelles carrées d’ordre ntelles qu’il existe un polynôme
P∈R[X] de degré au moins égal à 1 et vérifiant
P(0) =1 et AB =P(A)
Montrer que Aest inversible et que Aet Bcommutent.
Exercice 3 [ 03423 ] [Correction]
Soient A,B∈ Mn(K). On suppose qu’il existe un polynôme non constant P∈K[X]
vérifiant
AB =P(A) et P(0) ,0
Montrer que Aest inversible et que Aet Bcommutent.
Exercice 4 [ 03033 ] [Correction]
Soient Aet Bdans Mn(R). On suppose que Aest nilpotente et qu’il existe P∈R[X] tel
que P(0) =1 et B=AP(A). Montrer qu’il existe Q∈R[X] tel que Q(0) =1 et A=BQ(B).
Exercice 5 [ 03210 ] [Correction]
Soient A∈GLn(C) et B∈ Mn(C) telle que Bp=On.
(a) Montrer que In+A−1BA est inversible et exprimer son inverse.
(b) On pose
H={In+P(B)/P∈C[X],P(0) =0}
Montrer que Hest un sous-groupe commutatif de (GLn(C),×).
Exercice 6 [ 02574 ] [Correction]
Dans Mn(R), on considère la matrice
J=
0 1 (0)
......
...1
(0) 0
Exprimer simplement P(aIn+J) pour P∈R[X].
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Corrections
Exercice 1 : [énoncé]
La famille x0,u(x0),...,un−1(x0)constitue une base de E.
Soit v∈ L(E) commutant avec u. On peut écrire
v(x0)=a0x0+a1u(x0)+· · · +an−1un−1(x0)
Considérons alors
w=a0IdE+a1u+· · · +an−1un−1∈K[u]
On a
v(x0)=w(x0)
Puisque vet wcommutent avec u, on a aussi
∀k∈N,vuk(x0)=wuk(x0)
Les endomorphismes vet wprennent les mêmes valeurs sur une base, ils sont donc égaux.
En conclusion v∈K[u].
Exercice 2 : [énoncé]
On peut écrire
AB =P(A)=αnAn+· · · +α1A+In
donc
AB−(αnAn−1+· · · +α1In)=In
Par le théorème d’inversibilité, Aest inversible et A−1=B−(αnAn−1+· · · +α1In).
Puisque Acommute avec A−1et ses puissances, on en déduit que Acommute avec
B=A−1+αnAn−1+· · · +α1I
Exercice 3 : [énoncé]
Le polynôme Ps’écrit
P(X)=P(0) +a1X+· · · +apXp
L’égalité AB =P(A) donne alors
A(B−(a1In+a2A+· · · +apAp−1)) =P(0)In
On en déduit que Aest inversible et son inverse est
A−1=1
P(0) B−a1In+a2A+· · · +apAp−1
l’égalité A−1A=Indonne alors
BA =P(A)
et on peut conclure que Aet Bcommutent.
Exercice 4 : [énoncé]
On sait qu’il existe p∈N∗tel que Ap=On.
En introduisant les coefficients de P, la relation B=AP(A) donne
B=A+a2A2+· · · +ap−1Ap−1
On en déduit
B2=A2+a3,2A3+· · · +ap−1,2Ap−1,..., Bp−2=Ap−2+ap−1,p−2Ap−1,Bp−1=Ap−1
En inversant ces équations, on obtient
Ap−1=Bp−1,Ap−2=Bp−2+bp−1,p−2Ap−1,..., A2=B2+b3,2B3+· · · +bp−1,2Bp−1
et enfin
A=B+b2,1B2+· · · +bp−1,1Bp−1
ce qui détermine un polynôme Q∈R[X] vérifiant Q(0) =1 et A=BQ(B).
Exercice 5 : [énoncé]
(a) Posons N=−A−1BA. On a
Np=(−1)pA−1BpA=On
donc
In=In−Np=(I−N)(I+N+N2+· · · +Np−1)
On en déduit que I−N=In+A−1BA est inversible et
In+A−1BA−1=I+N+N2+· · · +Np−1
(b) Soit P∈C[X] tel que P(0) =0. On a
P(X)=aX +bX2+· · ·
Donc
P(B)=aB +bB2+· · ·
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puis
P(B)p=apBp+b0Bp+1+· · · =On
On peut alors reprendre le raisonnement de la question précédente et affirmer que la
matrice In+P(B) est inversible et que son inverse est de la forme
In−P(B)+P(B)2+· · · +(−1)pP(B)p
On en déduit que Hest inclus dans GLn(C) et que l’inverse d’un élément de Hest
encore dans H.
Il est immédiat de vérifier que Hest non vide et stable par produit. On en déduit que
Hest un sous-groupe de (GLn(C),×). Enfin, on vérifie que Hest commutatif car les
polynômes en une matrice commutent entre eux.
Exercice 6 : [énoncé]
Par la formule de Taylor en a
P(X)=
+∞
X
k=0
P(k)(a)
k!(X−a)k
donc
P(aIn+J)=
+∞
X
k=0
P(k)(a)
k!Jk
Il est facile de calculer les puissances de Jet l’on conclut
P(aIn+J)=
P(a)P0(a)P00(a)
2! · · · P(n−1)(a) (n−1)!
..........
.
.
......P00(a)
2!
...P0(a)
(0) P(a)
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