Polynômes en un endomorphisme ou une matrice

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 28 décembre 2016
Enoncés
Polynômes en un endomorphisme ou une matrice
Exercice 1 [ 00753 ] [Correction]
Soient E un K-espace vectoriel de dimension n et u ∈ L(E). On suppose qu’il existe un
vecteur x0 ∈ E telle que la famille x0 , u(x0 ), . . . , un−1 (x0 ) soit libre.
Montrer que seuls les polynômes en u commutent avec u.
Exercice 2 [ 02598 ] [Correction]
Soient A et B deux matrices réelles carrées d’ordre n telles qu’il existe un polynôme
P ∈ R[X] de degré au moins égal à 1 et vérifiant
1
Exercice 6 [ 02574 ] [Correction]
Dans Mn (R), on considère la matrice

 0


J = 


(0)
1
..
.
..
.
..
.

(0)




1 

0
Exprimer simplement P(aIn + J) pour P ∈ R[X].
P(0) = 1 et AB = P(A)
Montrer que A est inversible et que A et B commutent.
Exercice 3 [ 03423 ] [Correction]
Soient A, B ∈ Mn (K). On suppose qu’il existe un polynôme non constant P ∈ K[X]
vérifiant
AB = P(A) et P(0) , 0
Montrer que A est inversible et que A et B commutent.
Exercice 4 [ 03033 ] [Correction]
Soient A et B dans Mn (R). On suppose que A est nilpotente et qu’il existe P ∈ R[X] tel
que P(0) = 1 et B = AP(A). Montrer qu’il existe Q ∈ R[X] tel que Q(0) = 1 et A = BQ(B).
Exercice 5 [ 03210 ] [Correction]
Soient A ∈ GLn (C) et B ∈ Mn (C) telle que B p = On .
(a) Montrer que In + A−1 BA est inversible et exprimer son inverse.
(b) On pose
H = {In + P(B)/P ∈ C[X], P(0) = 0}
Montrer que H est un sous-groupe commutatif de (GLn (C), ×).
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Corrections
2
Corrections
l’égalité A−1 A = In donne alors
Exercice 1 : [énoncé]
La famille x0 , u(x0 ), . . . , un−1 (x0 ) constitue une base de E.
Soit v ∈ L(E) commutant avec u. On peut écrire
et on peut conclure que A et B commutent.
v(x0 ) = a0 x0 + a1 u(x0 ) + · · · + an−1 un−1 (x0 )
Considérons alors
w = a0 IdE +a1 u + · · · + an−1 un−1 ∈ K [u]
Exercice 4 : [énoncé]
On sait qu’il existe p ∈ N∗ tel que A p = On .
En introduisant les coefficients de P, la relation B = AP(A) donne
B = A + a2 A2 + · · · + a p−1 A p−1
On a
v(x0 ) = w(x0 )
BA = P(A)
On en déduit
Puisque v et w commutent avec u, on a aussi
B2 = A2 + a3,2 A3 + · · · + a p−1,2 A p−1 ,. . . , B p−2 = A p−2 + a p−1,p−2 A p−1 , B p−1 = A p−1
∀k ∈ N, v u (x0 ) = w u (x0 )
k
k
Les endomorphismes v et w prennent les mêmes valeurs sur une base, ils sont donc égaux.
En conclusion v ∈ K [u].
En inversant ces équations, on obtient
A p−1 = B p−1 , A p−2 = B p−2 + b p−1,p−2 A p−1 ,. . . , A2 = B2 + b3,2 B3 + · · · + b p−1,2 B p−1
et enfin
A = B + b2,1 B2 + · · · + b p−1,1 B p−1
Exercice 2 : [énoncé]
On peut écrire
AB = P(A) = αn An + · · · + α1 A + In
donc
A B − (αn An−1 + · · · + α1 In ) = In
Par le théorème d’inversibilité, A est inversible et A−1 = B − (αn An−1 + · · · + α1 In ).
Puisque A commute avec A−1 et ses puissances, on en déduit que A commute avec
B=A
−1
+ αn A
n−1
ce qui détermine un polynôme Q ∈ R[X] vérifiant Q(0) = 1 et A = BQ(B).
Exercice 5 : [énoncé]
(a) Posons N = −A−1 BA. On a
N p = (−1) p A−1 B p A = On
+ · · · + α1 I
donc
In = In − N p = (I − N)(I + N + N 2 + · · · + N p−1 )
Exercice 3 : [énoncé]
Le polynôme P s’écrit
On en déduit que I − N = In + A−1 BA est inversible et
P(X) = P(0) + a1 X + · · · + a p X p
L’égalité AB = P(A) donne alors
A(B − (a1 In + a2 A + · · · + a p A p−1 )) = P(0)In
1 B − a1 In + a2 A + · · · + a p A p−1
P(0)
−1
= I + N + N 2 + · · · + N p−1
(b) Soit P ∈ C[X] tel que P(0) = 0. On a
P(X) = aX + bX 2 + · · ·
On en déduit que A est inversible et son inverse est
A−1 =
In + A−1 BA
Donc
P(B) = aB + bB2 + · · ·
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Corrections
3
puis
P(B) p = a p B p + b0 B p+1 + · · · = On
On peut alors reprendre le raisonnement de la question précédente et affirmer que la
matrice In + P(B) est inversible et que son inverse est de la forme
In − P(B) + P(B)2 + · · · + (−1) p P(B) p
On en déduit que H est inclus dans GLn (C) et que l’inverse d’un élément de H est
encore dans H.
Il est immédiat de vérifier que H est non vide et stable par produit. On en déduit que
H est un sous-groupe de (GLn (C), ×). Enfin, on vérifie que H est commutatif car les
polynômes en une matrice commutent entre eux.
Exercice 6 : [énoncé]
Par la formule de Taylor en a
P(X) =
+∞
X
P(k) (a)
(X − a)k
k!
k=0
donc
P(aIn + J) =
+∞
X
P(k) (a) k
J
k!
k=0
Il est facile de calculer les puissances de J et l’on conclut

 P(a)




P(aIn + J) = 




(0)
P0 (a)
..
.
P00 (a)
2!
..
.
..
.
···
..
.
..
.
..
.
P(n−1) (a)
(n−1)!
..
.
P00 (a)
2!
P0 (a)
P(a)











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