correcction DS N°3

Correction du DS n° 3 – TS
Exercice 1 : (7 points)
Question de cours (3 points)
1. Enoncer le théorème des valeurs intermédiaires.
Théorème (des valeurs intermédiaires) : Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ; b], pour tout réel k compris entre
f(a) et f(b), il existe au moins un réel
c a ; b
tel que f(c) = k.
2. Quelle hypothèse faut-il ajouter pour que l'équation f(x) = k ait une solution unique dans un intervalle [a ; b] ? (k étant un
réel compris entre f(a) et f(b)). Démontrer cette unicité.
Corollaire (du théorème des valeurs intermédiaires) : Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un
intervalle [a ; b], pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe un unique réel
c a ; b
tel que f(c) = k.
Preuve : L’existence est garantit par le théorème des valeurs intermédiaires. Montrons l’unicité par l’absurde, c à d, on
suppose que f est continue et strictement monotone sur [a ; b] et qu’il existe deux réels c1 < c2 dans [a ; b] tels que
12
f (c ) f (c ) k
.
Or si f est strictement croissante sur [a ; b] et c1 < c2 alors
12
f (c ) f (c )
et ainsi
kk
, ce qui est absurde ;
De même si f est strictement décroissante sur [a ; b] et c1 < c2 alors
12
f (c ) f (c )
et ainsi
kk
, ce qui est absurde.
D’où l’unicité de c.
Remarque : On peut généraliser le théorème des valeurs intermédiaires et son corollaire à un intervalle ouvert et/ou non borné, f(a) et
f(b) seront remplacées par les limites de f aux bornes de cet intervalle.
Application : (3 points)
1. Pour tout x appartenant à , on a :
1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2cos x x cos x x x x f x x               
.
Puisque
12x f x  
et
12
xlim x
, alors par comparaison
xlim f x
.
Puisque
12f x x
et
12
xlim x
, alors par comparaison
xlim f x
.
2. f est dérivable sur car c’est la somme de deux fonctions dérivables sur :
Les fonctions
et 2x cos x x x
et on a
2f ' x sin x  
.
Pour tout x appartenant à , on a :
1 1 1 1 1 2 3sin x sin x sin x            
et on a donc
0x , f ' x  
.
La fonction f est donc strictement croissante sur et son tableau de variation est :
x
Signe de
f ‘
+
Variation
de f
3. La fonction f est continue sur (car elle est dérivable sur ) et strictement croissante sur .
De plus, l’ensemble des valeurs prises par la fonction f est . Donc, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires,
l’équation
0fx
admet une solution unique dans .
Par balayage à la calculatrice, on obtient successivement :
1 15 et 0 1f , f   
donc
10   
0 5 01 et 0 4 01f , , f , ,    
donc
0 5 0 4,,    
0 46 0 02 et 0 45 0 0004f , , f , ,    
donc
0 46 0 45,,    
et enfin
0 45,  
4. f étant strictement croissante sur , si
alors et 0x f x f f x    
et de même
si
alors et 0x f x f f x    
et on obtient le tableau de signes suivant :
x
Signe
de f
- 0 +

Exercice 2 :
1. a)
1
lim ( ) lim 0
xx
fx x
donc l’axe des abscisses est asymptote à la courbe de f au voisinage de ;
33
22
1
lim ( ) lim lim lim
1
x x x x
xx
f x x
xx
.
b) Pour tout
[ 1; [x  
,
2 3 3
2 2 2 2
( 1) ( )
1 1 1 1
bx c ax x bx c ax ax bx c ax a b x c
ax x x x x
.
Par identification,
3
2
()
() 1
ax a b x c
fx x
si, et seulement si
1 ; 1 ; 1a b c    
.
c)
21
() 1
x
f x x x
et
22
11
lim ( ) lim lim lim 0
1
x x x x
xx
f x x x x x
, donc, la droite d’équation
yx
est asymptote à la courbe de
f
au voisinage de .
2 .
3
2
( 1) 1 2
( 1) 1
( 1) 1 2
f  
;
3
2
11
11
1
lim ( ) lim 1 ( 1)
1
xx
xx
x
f x f
x
et
11
11
1
lim ( ) lim 1 ( 1)
xx
xx
f x f
x
,
donc
1
lim ( ) ( 1)
xf x f
, d’où
f
est continue en -1.
3 .
3
3 2 2
2
22
1 1 1 1
1 1 1 1
11
( ) ( 1) 1
1
lim lim lim lim
( 1) 1 ( 1)( 1) 1 2
x x x x
x x x x
x
f x f x x x
x
x x x x x
.
1 1 1 1
1 1 1 1
11
( ) ( 1) (1 ) 1
lim lim lim lim 1
( 1) 1 ( 1)
x x x x
x x x x
f x f x
x
x x x x x
Ces deux limites ne sont pas égales donc
f
n’est pas dérivable en -1.
Remarque : La fonction est cependant dérivable à droite de -1 et dérivable à gauche de -1. La courbe de f
admettra deux demi-tangentes au point d’abscisse -1. Un tel point est appelé point anguleux.
Exercice 3 : (6 points)
1. La suite définie par :
21
1
nn
n , u E n
où E désigne la partie entière, converge vers 2. FAUX :
2 1 2 2 1 1
2
1 1 1
nn
n,
n n n
, donc
21
1 2
1
n
n, n
. Or, si
1 2x;
alors
1E( x)
, donc
21
1
1
nn
n , u E n
. La suite u est donc stationnaire et vaut 1, elle ne peut converger vers 2.
Attention :
2 1 2 2
1
nn
nn
lim lim
nn
mais
22 x
limE(x) E( )
car E n’est pas continue en 2 (précisément, E n’est pas
continue à gauche de 2, elle est continue à droite de 2, or ici
21
2
1
n
n,
n
).
2. La suite définie par :
2
01
donné, où 3 4
nn
v n , v f(v ) f( x) x x
est divergente. VRAI :
Par l’absurde : supposons que la suite v converge vers un réel L, la fonction f étant une fonction polynôme est continue sur
, en particulier elle est continue en L. D’après le théorème (du point fixe), L vérifie
22
3 4 2 4 0f(L) L L L L L L        
ce qui est absurde car son discriminant est strictement négatif.
D’où la divergence de la suite v.
3. Si f est une fonction dérivable, ne s’annulant pas sur un intervalle I et vérifiant
f ' f
alors
11
'
ff
. FAUX :
On sait que si f est une fonction dérivable, ne s’annulant pas sur un intervalle I, alors
1
f
est dérivable sur I et
2
1'f'
ff
; or
f ' f
, donc
2
11
'f
f f f
.