coursprovisoireana1

Analyse 1 L1-math´ematiques
Renaud Leplaideur
Ann´ee 2013-2014
UBO

Table des mati`eres
1 In´egalit´es et calculs 3
1.1 Nombres..................................... 3
1.1.1 Les ensembles N,Z,Qet R...................... 3
1.1.2 Les intervalles et voisinages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Calculs...................................... 4
1.2.1 Manipulation des in´egalit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Valeursabsolues............................. 6
1.2.3 Puissances et identit´es remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.4 Quelques astuces et pi`eges techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Exercices..................................... 8
2 Calculs de limites 10
2.1 Rappels sur le logarithme et l’exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.1 Rappels sur le logarithme n´ep´erien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.2 Exponentielle .............................. 11
2.2 Calculsdelimites................................ 12
2.2.1 Combinaisons de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2 Formes ind´etermin´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.3 Le th´eor`eme des gendarmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Exercices..................................... 14
3 Fonctions d’une variable r´eelle. D´erivation. Fonctions usuelles 16
3.1 Fonctions .................................... 16
3.1.1 Notion de fonction et vocabulaire a↵´erent .............. 16
3.1.2 Variations et bijections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 D´erivation.................................... 20
3.2.1 D´efinition et r`egles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.2 Lien d´erivation et graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.3 D´erivation de la bijection r´eciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Fonctions inverses classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3.1 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3.2 Fonctions trigonom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3.3 Fonctions trigonom´etriques r´eciproques. . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4 Exercices..................................... 26
1

TABLE DES MATI` ERES 2
4 Int´egrales 29
4.1 D´efinition et premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.1.1 grapheetsurface ............................ 29
4.1.2 Primitives et int´egrales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.1.3 Primitives usuelles et exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2 M´ethodesdecalculs. .............................. 31
4.2.1 Int´egration par partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2.2 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3 Primitives des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3.1 D´ecomposition en ´el´ements simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3.2 Calculs des primitives des fractions rationnelles. . . . . . . . . . . . 37
4.4 Exercices..................................... 39
5 Fonctions de plusieurs variables 41
5.1 Introduction et rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.1.1 Exemples de fonctions de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . 41
5.1.2 Rappels sur la g´eom´etrie de Rn.................... 41
5.2 Graphe. D´eriv´ees partielles. Sous-espace tangent . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.2.1 Motivations ............................... 42
5.2.2 Graphe d’une application de plusieurs variables . . . . . . . . . . . 43
5.2.3 D´efinitions des d´eriv´ees partielles. Di↵´e r e n t i e l l e . . . . . . . . . . . 4 3
5.2.4 Lien entre di↵´erentielle et d´eriv´ee. Retour sur la tangente . . . . . . 44
5.2.5 Gradient. Di↵´erentielles totales. Champs de vecteurs . . . . . . . . 45
5.3 Courbes de niveau. Th´eor`eme de la fonction implicite (cas de deux variables) 47
5.3.1 Exemples de courbes de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.3.2 Th´eor`eme de la fonction implicite. Retour sur le gradient. . . . . . . 48
5.4 Exercices. .................................... 50
6 Int´egrale double 52
6.1 D´efinition de l’int´egrale double. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.1.1 Int´egrale double sur un pav´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.1.2 Calcul de surface et de volumes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.2 Changement de variables : coordonn´ees polaires . . . . . . . . . . . . . . . 55
7´ Equations di↵´erentielles 57
7.1 ´ Equations di↵´e r e n t i e l l e s h o m o g `e n e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7
7.1.1 ´ Equation y0ay =0.......................... 57
7.1.2 ´ Equation y00 +ay =0. ......................... 58
7.1.3 ´ Equation y00 +py0+qy =0. ...................... 60
7.2 ´ Equations non-homog`enes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.2.1 ´equation du type y0ay =F..................... 61
7.2.2 ´equation du type y00 +py0+qy =F.................. 63
7.3 D’autres ´equations di↵´erentielles........................ 65
7.3.1 ´ Equations `a coefficients non constants . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.3.2 ´ Equations `a variables s´eparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.4 Exercices..................................... 66

Chapitre 1
In´egalit´es et calculs
1.1 Nombres
1.1.1 Les ensembles N,Z,Qet R
On sera amen´e `a consid´erer quatre ensembles de nombres.
1. L’ensemble Ndes entiers naturels 0,1,2,3,.... C’est l’ensemble qui sert `a indexer
les suites. Tout ´el´ement y a un successeur (n!n+ 1), tous les ´el´ements sauf 0 y
ont un pr´ed´ecesseur. La relation d’ordre est
n<n+1.
Par exemple, si pet qsont deux entiers tels que p>q, alors pq+1.
2. L’ensemble Zdes entiers relatifs, ...,2,1,0,1,2,3. Tout ´el´ement y a un succes-
seur et un pr´ed´ecesseur. La relation d’ordre ´etend celle de N.Ladi↵´erence entre N
et Zest essentiellement de nature alg´ebrique.
3. L’ensemble Qdes rationnels. Un nombre xest un rationnel s’il s’´ecrit sous la forme
x=p
q,
avec p2Zet q2N⇤:= N\{0}. Notez que 8
15 ,56 105 et plus g´en´eralement 8m 15mavec
m2N⇤repr´esentent le mˆeme nombre rationnel. On pr´ef`erera la forme 8
15 car le
d´enominateur et le num´erateur n’ont pas de diviseur commun.
On rappelle l’additions e deux rationnels,
p
q+p0 q0=pq0+qp0 qq0,
et donc la relation d’ordre est donn´ee par
p
qp0 q0() p0qpq00.
`
Aladi↵´erence de Zet N, un rationnel n’a pas de successeur ni de pr´ed´ecesseur
compatible avec la relation d’ordre.
3

1.2. Calculs 4
L’ensemble Qest dense dans R, c’est `a dire qu’entre deux r´eels di↵´erent, il y a
toujours au moins un rationnel (et en fait une infinit´e).
Mˆeme si cela d´efie un peut l’intuition, les trois ensembles N,Zet Qont le mˆeme
nombre d’´el´ements, ou plus exactement, la mˆeme infinit´e d’´el´ements. On dit qu’ils
sont d´enombrables.
Tout comme p our Z, la passage de Z`a Qse justifie essentiellement par des arguments
alg´ebriques.
4. L’ensemble des r´eels R. C’est un ensemble bien plus gros que Qpuisqu’on ne peut
pas compter ses ´el´ements (contrairement `a Q). Par exemple, ⇡,e ou encore p2sont
des irrationnels, c’est `a dire des r´eels qui ne sont pas rationnels.
Dans ce cours, nous n’´evoquerons pas l’ensemble Ddes d´ecimaux parfois utilis´es. Nous
rappelons les inclusions
N⇢Z⇢Q⇢R.
1.1.2 Les intervalles et voisinages
La relation d’ordre entre les r´eels, permet de d´efinir les intervalles :
1. ]a, b[= {x2R,a<x<b}est l’intervalle ouvert d’extr´emit´es aet b.
2. [a, b[= {x2R,ax<b}est l’intervalle ouvert en bet ferm´e en a. Il vaut
]a, b[[{a}.
3. ]a, b]={x2R,a<xb}est l’intervalle ouvert en aet ferm´e en b. Il vaut
]a, b[[{b}.
4. [a, b]={x2R,axb}est l’intervalle ferm´e d’extr´emit´e aet b. Il vaut
]a, b[[{a, b}.
Un intervalle d’extr´emit´es aet bcomme ci-dessus est dit born´e. Les intervalles non
born´es sont du type (a, +1[ avec (= [ ou ], ou du type ] 1,b)avec(=[ou]ouencore
]1,1[= R.
Par exemple [a, +1[ est l’ensemble des r´eels xv´erifiant xa.
Un intervalle se caract´erise par “l’absence de trou” entre ses extr´emit´es.
D´efinition 1.1.1. Si aest un r´eel, on appelle voisinage de atout intervalle qui contient
un intervalle de la forme ]a",a+"[avec ">0.
On utilisera cette notion de voisinage de la mani`ere suivante : “La fonction sinus est
strictement positive sur un voisinage de ⇡
2.”
1.2 Calculs
1.2.1 Manipulation des in´egalit´es
In´egalit´es strictes ou larges ?
Il faut bien distinguer l’in´egalit´e stricte <de l’in´egalit´e large .Sia<balors on
a aussi abmais l’implication contraire est fausse. Par exemple 1<k<1 permet
d’affirmer lim
n!+1kn= 0 mais l’affirmation 1k1 ne le permet pas.
Un nombre xne v´erifie pas x<xmais il v´erifie xx.