Modèle mathématique.

3e A - programme 2012 –mathématiques – ch.G2 – cahier élève Page 1 sur 15
H. Rorthais (Collège N.D. de l’Abbaye à Nantes) http://ndabbaye-nantes.loire-atlantique.e-lyco.fr/
Ch.G2 : Trigonométrie
1 COSINUS, SINUS ET TANGENTE D'UN ANGLE AIGU
1.1 Définitions ex. 1 à 3
DÉFINITIONS 1
Dans un triangle rectangle,
le cosinus d'un angle aigu est le
quotient de la longueur du côté
adjacent à cet angle par la longueur
de l'hypoténuse ;
le sinus d'un angle aigu est le
quotient de la longueur du côté
opposé à cet angle par la longueur
de l'hypoténuse ;
la tangente d'un angle aigu est le
quotient de la longueur du côté
opposé à cet angle par la longueur
du côté adjacent à cet angle.
Exemple 1 :
Le triangle COR est rectangle en R. Écris les formules donnant le cosinus et le sinus de l'angle
COR, puis la formule donnant la tangente de l'angle OCR.
Solution :
Le triangle COR est rectangle en R donc :
sin COR = côté opposé à COR
hypoténuse
sin COR = RC
CO .
cos COR = côté adjacent à COR
hypoténuse
cos COR = RO
CO
tan OCR = côté opposé à RCO
côté adjacent à RCO
tan OCR = RO
RC .
Remarques :
 Le cosinus et le sinus d'un angle aigu sont toujours compris entre 0 et 1.
 La tangente d'un angle aigu est un nombre strictement positif.
Exercice du cours n°1 page 208
ENT est un triangle rectangle en E. Écris les rapports de longueurs donnant cos TNE, sin TNE et tan TNE.
ENT E
cos TNE = TNE = NE
NT
sin TNE = TNE = ET
NT
tan TNE = TNE
TNE = ET
NE
Exercice du cours n°2 page 208
NOE est un triangle rectangle en O. Pour chacun des rapports suivants, précise s'il s'agit du cosinus, du sinus ou de la
tangente d'un des angles aigus du triangle NOE : NO
NE ; OE ON ; EO EN et ON OE . Tu préciseras lequel.
NOE O
 NO
NE = ONE = cos ONE NO NE = NEO = sin NEO

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 OE
ON = EON
EON = tan ENO
 EO
EN = NEO = cos NEO EO EN = ONE = sin ONE
 ON
OE = NEO
NEO = tan NEO
Exercice du cours n°3 page 208
Sur la figure ci-contre, H est le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC
rectangle en A.
a) Écris de deux façons différentes les rapports de longueurs donnant cos ACB,
sin ACB et tan ACB.
b) Recommence avec l'angle ABC.
A
B
CH
H A
ACH H
cos ACB = ACB = CH
CA
sin ACB = ACB = AH
CA
tan ACB = ACB
ACB = AH
CH
ABC A
cos ACB = ACB = CA
CB
sin ACB = ACB = AB
CB
tan ACB = ACB
ACB = AB
CA
ABH H
cos ABC = ABC = BH
BA
sin ABC = ABC = AH
BA
tan ABC = ABC
ABC = AH
BH
ABC A
cos ABC = ABC = BA
CB

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sin ABC = ABC = CA
CB
tan ABC = ABC
ABC = CA
BA
Exercice n°1 page 209
Soit ABC un triangle rectangle en B.
a) Quelle est son hypoténuse ?
b) Quel est le côté opposé à l'angle ACB ?
c) Quel est le côté adjacent à l'angle ACB ?
B
A
C
d) Quel est le côté opposé à l'angle CAB ?
e) Quel est le côté adjacent à l'angle CAB ?
[AC]
[AB]
[CB]
[CB]
[AB]
Exercice n°2 page 209 Le bon triangle
On se place dans le triangle IKL rectangle en K.
a) Quelle est son hypoténuse ?
b) Quel est le côté opposé à l'angle KLI ?
c) Quel est le côté opposé à l'angle KIL ?
On se place dans le triangle IJM rectangle en M.
d) Quelle est son hypoténuse ?
e) Quel est le côté opposé à l'angle JIM ?
J
IML
K
[IL]
[KI]
[KL]
[IJ]
[JM]
Exercice n°3 page 209 À toi de jouer !
a) Construis un triangle BON rectangle en O tel que OB = 2,5 cm et ON = 4,5 cm.
b) Repasse en rouge l'hypoténuse, en vert le côté opposé à l'angle BNO et en bleu le côté adjacent à l'angle BNO.
2,5 cm
N O
B
4,5 cm
Exercice n°4 page 209 Écritures
EFG est un triangle rectangle en E.
Écris les relations donnant le sinus, le cosinus et la tangente de l'angle EGF dans le
triangle EFG.
E
FG
sin EGF = EF
FG cos EGF = EG FG tan EGF = EF EG
Exercice n°5 page 209
AMI est un triangle rectangle en I. Écris les relations donnant le sinus, le cosinus et la tangente de l'angle AMI dans ce
triangle.
sin AMI = AI
AM
cos AMI = MI
AM
tan AMI = AI
MI
I
A
M

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Exercice n°6 page 209
Dans quel(s) triangle(s) peut-on écrire que sin IKJ = IJ
IK ? Justifie ta réponse.
a)
KI
4 cm
5 cm
3 cm
J
b)
I
K
J
c)
IK
J
d)
I
K
J
e)
JI
K
f)
I
J
K
[IK]
J I K
IJK J
KI2 = 52 = 25 KJ2 + JI2 = 42 + 32 = 16 + 9 = 25
IJK K
[IK] IK IJK
J
[KJ]
IJK
IJK J
Exercice n°7 page 209
Indique dans chaque cas si on peut calculer, à l'aide des données, le sinus, le cosinus ou la tangente de l'angle marqué.
a)
2,8 cm
2,1 cm
B
A
C
b)
I
K
J
8 cm
9 cm
c)
FG
E
2,7 cm
4,2 cm
d)
O
N
M
4 cm
3 cm
ABC B
tan ACB = 2,1
2,8
IJK K
sin JIK = 8
9
EFG E
sin EFG = 2,7
4,2
ABC B
tan MON = 4
3
Exercice n°8 page 209 Quels rapports ?
MOI est un triangle rectangle en O.
Que calcules-tu lorsque tu écris :
a) OI
MI ?
b) OI
MO ?
c) MO
OI ?
d) MO
MI ?
Il peut y avoir plusieurs réponses possibles.
Précise l'angle pour chaque réponse donnée.

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MOI O [MI]
cos OIM sin OMI
tan OMI
I
O
M
tan OIM
cos OMI sin OIM
Exercice n°44 page 213 Sans calculatrice
Pour chaque question, justifie la construction.
a) Construis un angle A tel que tan A = 8
9 .
A B
C
8
9
@options;
repereortho(294,427,54,1,1){ 0 ,
moyen , noir , num1 ,i};
trame();
@figure;
A = point( -5.03 , -1 )
{ grisfonce };
B = point( 3.97 , -1 )
{ grisfonce };
C = point( 4 , 7 ) { grisfonce };
sAB = segment( A , B );
sCB = segment( C , B );
sAC = segment( A , C );
p_disBC = milieu( B , C ) { i };
t_disBC =
texte( p_disBC ,"#BC=#") { noir ,
(0.24,0) , dec2 };
p_disAB = milieu( A , B ) { i };
t_disAB =
texte( p_disAB ,"#AB=#") { noir ,
(0,0.15) , dec2 };
ABC B
tan A = BC
AB = 8 9
b) Construis un angle B tel que sin B = 0,6.
BA
C
5
3
ABC A
sin B = AC
BC = 3 5 = 0,6
1.2 Calculer des longueurs ex. 4 à 8
Exemple 2 : Calculer une longueur
On considère un triangle LEO rectangle en E tel que LO = 5,4 cm et
ELO = 62°.
a) Calcule la longueur du côté [OE] arrondie au millimètre.
b) Puis, calcule la longueur du côté [EL] arrondie au millimètre.
62°
5,4 cm
O
L
E
Solution :
a) Dans le triangle LEO rectangle en E,
[LO] est l'hypoténuse ;
[OE] est le côté opposé à l'angle ELO.
On cite les données de l'énoncé qui permettent de
choisir la relation trigonométrique à utiliser.
On doit utiliser le sinus de l'angle ELO.
sin ELO = côté opposé à ELO
hypoténuse
sin ELO = OE
LO
On écrit le sinus de l'angle connu.
(La longueur cherchée doit apparaître dans le
rapport.)