Modèle mathématique.
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3e A - programme 2012 –mathématiques – ch.G2 – cahier élève
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Ch.G2 : Trigonométrie
1 COSINUS, SINUS ET TANGENTE D'UN ANGLE AIGU
1.1 Définitions
ex. 1 à 3
DÉFINITIONS 1
Dans un triangle rectangle,
le cosinus d'un angle aigu est le
quotient de la longueur du côté
adjacent à cet angle par la longueur
de l'hypoténuse ;
le sinus d'un angle aigu est le
quotient de la longueur du côté
opposé à cet angle par la longueur
de l'hypoténuse ;
la tangente d'un angle aigu est le
quotient de la longueur du côté
opposé à cet angle par la longueur
du côté adjacent à cet angle.
Exemple 1 :
Le triangle COR est rectangle en R. Écris les formules donnant le cosinus et le sinus de l'angle
COR, puis la formule donnant la tangente de l'angle OCR .
Solution :
Le triangle COR est rectangle en R donc :
sin COR =
côté opposé à COR
hypoténuse
RC
sin COR =
.
CO
cos COR =
côté adjacent à COR
hypoténuse
RO
cos COR =
CO
tan OCR =
tan OCR =
côté opposé à RCO
côté adjacent à RCO
RO
.
RC
Remarques :
Le cosinus et le sinus d'un angle aigu sont toujours compris entre 0 et 1.
La tangente d'un angle aigu est un nombre strictement positif.
Exercice du cours n°1 page 208
ENT est un triangle rectangle en E. Écris les rapports de longueurs donnant cos TNE, sin TNE et tan TNE.
ENT
E
TNE
cos TNE =
=
TNE
sin TNE =
ET
NT
=
TNE
tan TNE =
NE
NT
TNE
=
ET
NE
Exercice du cours n°2 page 208
NOE est un triangle rectangle en O. Pour chacun des rapports suivants, précise s'il s'agit du cosinus, du sinus ou de la
NO OE EO ON
tangente d'un des angles aigus du triangle NOE :
;
;
et
. Tu préciseras lequel.
NE ON EN OE
NOE
NO
=
NE
O
ONE
= cos ONE
H. Rorthais (Collège N.D. de l’Abbaye à Nantes)
NO
=
NE
NEO
= sin NEO
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OE
=
ON
EO
=
EN
ON
=
OE
EON
EON
= tan ENO
NEO
= cos NEO
EO
=
EN
ONE
= sin ONE
NEO
NEO
= tan NEO
Exercice du cours n°3 page 208
Sur la figure ci-contre, H est le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC
rectangle en A.
a) Écris de deux façons différentes les rapports de longueurs donnant cos ACB ,
sin ACB et tan ACB.
b) Recommence avec l'angle ABC .
H
A
ACH
ACB
cos ACB =
=
ACB
sin ACB =
ACB
=
ACB
cos ACB =
=
ACB
ACB
=
ABC
cos ABC =
=
ABC
=
A
CA
CB
AB
CA
ABC
H
BH
BA
=
AH
BH
ABC
ABC
cos ABC =
H
AH
BA
ABC
tan ABC =
B
AH
CH
ABH
sin ABC =
H
AB
CB
=
ACB
tan ACB =
C
CH
CA
ABC
sin ACB =
A
AH
CA
=
ACB
tan ACB =
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=
A
BA
CB
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ABC
sin ABC =
=
CA
CB
ABC
tan ABC =
ABC
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=
CA
BA
Exercice n°1 page 209
Soit ABC un triangle rectangle en B.
A
a) Quelle est son hypoténuse ?
b) Quel est le côté opposé à l'angle ACB ?
c) Quel est le côté adjacent à l'angle ACB ?
C
B
d) Quel est le côté opposé à l'angle CAB ?
e) Quel est le côté adjacent à l'angle CAB ?
[AC]
[AB]
[CB]
[CB]
[AB]
Exercice n°2 page 209 Le bon triangle
On se place dans le triangle IKL rectangle en K.
K
a) Quelle est son hypoténuse ?
J
b) Quel est le côté opposé à l'angle KLI ?
c) Quel est le côté opposé à l'angle KIL ?
On se place dans le triangle IJM rectangle en M.
d) Quelle est son hypoténuse ?
I
L
M
e) Quel est le côté opposé à l'angle JIM ?
[IL]
[KI]
[KL]
[IJ]
[JM]
Exercice n°3 page 209 À toi de jouer !
a) Construis un triangle BON rectangle en O tel que OB = 2,5 cm et ON = 4,5 cm.
b) Repasse en rouge l'hypoténuse, en vert le côté opposé à l'angle BNO et en bleu le côté adjacent à l'angle BNO .
B
2,5 cm
N
4,5 cm
O
Exercice n°4 page 209 Écritures
EFG est un triangle rectangle en E.
E
Écris les relations donnant le sinus, le cosinus et la tangente de l'angle EGF dans le
triangle EFG.
G
F
sin EGF =
EF
FG
cos EGF =
EG
FG
tan EGF =
EF
EG
Exercice n°5 page 209
AMI est un triangle rectangle en I. Écris les relations donnant le sinus, le cosinus et la tangente de l'angle AMI dans ce
triangle.
sin AMI =
AI
AM
cos AMI =
MI
AM
tan AMI =
AI
MI
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I
M
A
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Exercice n°6 page 209
Dans quel(s) triangle(s) peut-on écrire que sin IKJ =
a)
3c
m
K
b) J
I
5 cm
4c
m
c)
I
IJ
? Justifie ta réponse.
IK
d) K
J
e)
J
I
K
f)
I
J
J
J
I
K
K
K
I
[IK]
J
I
IJK
KI2 = 52 = 25
K
J
KJ2 + JI2 = 42 + 32 = 16 + 9 = 25
IJK
K
[IK]
IK
IJK
J
[KJ]
IJK
IJK
J
Exercice n°7 page 209
Indique dans chaque cas si on peut calculer, à l'aide des données, le sinus, le cosinus ou la tangente de l'angle marqué.
M
E
a) A
b) J
c)
d)
9
cm
cm
F
4,2 cm
ABC
cm
N
B
2,1
2,8
tan ACB =
IJK
sin JIK =
3
G
K
C
2,8 cm
O
4
cm
2,1 cm
7
I
8
B
2,
cm
K
8
9
EFG
sin EFG =
E
2,7
4,2
ABC
tan MON =
B
4
3
Exercice n°8 page 209 Quels rapports ?
MOI est un triangle rectangle en O.
Que calcules-tu lorsque tu écris :
a)
OI
?
MI
b)
OI
?
MO
c)
MO
?
OI
d)
MO
?
MI
Il peut y avoir plusieurs réponses possibles.
Précise l'angle pour chaque réponse donnée.
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MOI
cos OIM
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I
O [MI]
M
sin OMI
O
tan OMI
tan OIM
cos OMI
sin OIM
Exercice n°44 page 213 Sans calculatrice
Pour chaque question, justifie la construction.
8
.
9
a) Construis un angle A tel que tan A =
@options;
repereortho(294,427,54,1,1){ 0 ,
moyen , noir , num1 ,i};
trame();
@figure;
A = point( -5.03 , -1 )
{ grisfonce };
B = point( 3.97 , -1 )
{ grisfonce };
C = point( 4 , 7 ) { grisfonce };
sAB = segment( A , B );
sCB = segment( C , B );
sAC = segment( A , C );
p_disBC = milieu( B , C ) { i };
t_disBC =
texte( p_disBC ,"#BC=#") { noir ,
(0.24,0) , dec2 };
p_disAB = milieu( A , B ) { i };
t_disAB =
texte( p_disAB ,"#AB=#") { noir ,
(0,0.15) , dec2 };
C
8
A
ABC
BC 8
tan A =
=
AB 9
B
ABC
AC 3
sin B =
= = 0,6
BC 5
A
B
9
b) Construis un angle B tel que sin B = 0,6.
C
5
3
B
A
1.2 Calculer des longueurs
ex. 4 à 8
Exemple 2 : Calculer une longueur
L
On considère un triangle LEO rectangle en E tel que LO = 5,4 cm et
ELO = 62°.
4
5,
a) Calcule la longueur du côté [OE] arrondie au millimètre.
b) Puis, calcule la longueur du côté [EL] arrondie au millimètre.
cm
O
62°
E
Solution :
a) Dans le triangle LEO rectangle en E,
[LO] est l'hypoténuse ;
[OE] est le côté opposé à l'angle ELO .
sin ELO =
côté opposé à ELO
hypoténuse
sin ELO =
OE
LO
H. Rorthais (Collège N.D. de l’Abbaye à Nantes)
On cite les données de l'énoncé qui permettent de
choisir la relation trigonométrique à utiliser.
On doit utiliser le sinus de l'angle ELO.
On écrit le sinus de l'angle connu.
(La longueur cherchée doit apparaître dans le
rapport.)
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OE = LO sin ELO
On applique la règle des produits en croix.
OE = 5,4 sin 62°
On saisit 5,4 ×
62 à la calculatrice.
OE est inférieure à LO.
OE 4,8 cm.
Le résultat est cohérent.
b) Pour calculer la longueur du segment [EL], on peut utiliser deux méthodes différentes.
Première méthode : On utilise le théorème de Pythagore dans le triangle LEO rectangle en E.
EL2 5,42 – 4,82 6,12
EL 6,12 donc EL 2,5 cm.
LO2 = OE2 + EL2
5,42 4,82 + EL2
Deuxième méthode : On utilise une deuxième relation trigonométrique.
Dans le triangle LEO rectangle en E,
On cite les données de l'énoncé qui permettent de
[LO] est l'hypoténuse ;
choisir la relation trigonométrique à utiliser.
[EL] est le côté adjacent à l'angle ELO .
On doit utiliser le cosinus de ELO.
cos ELO =
côté adjacent à ELO
hypoténuse
cos ELO =
EL
LO
On écrit le cosinus de l'angle connu.
(La longueur cherchée doit apparaître dans le
rapport.)
EL = LO cos ELO
On applique la règle des produits en croix.
EL = 5,4 cos 62°
On saisit 5,4
EL 2,5 cm.
EL est inférieure à LO. Le résultat est cohérent.
62 à la calculatrice.
Exercice du cours n°4 page 208
Le triangle NIV est rectangle en N ; VN = 4 m et l'angle VIN mesure 12°.
Calcule la longueur NI arrondie au centimètre.
NIV
N
[VN]
VIN
[NI]
VIN
VIN
VIN
tan VIN =
tan VIN =
NI =
VIN
VN
NI
NI =
VN
tan VIN
4
tan 12°
NI 18,82 m
Exercice du cours n°5 page 208
Le triangle AUE est rectangle en U ; AE = 10 cm et EAU = 19°.
Donne la valeur arrondie au millimètre de la longueur du côté [UE].
AUE
U
[AE]
[UE]
EAU
EAU
EAU
sin EAU =
=
EU
EA
EU = EA × sin EAU
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EU = 10 × sin 19°
EU 3,3 cm
Exercice du cours n°6 page 208
Le triangle VLR est rectangle en V ; LR = 8,7 cm et VRL = 72°.
Donne la valeur arrondie au millimètre de la longueur du côté [VR].
VLR
V
[LR]
[VR]
VRL
VRL
VRL
cos VRL =
cos VRL =
RV
RL
RV = RL × cos VRL
RV = 8,7 × cos 72°
RV 2,7 cm
Exercice n°9 page 210
À l'aide de la calculatrice, donne la valeur arrondie au centième de :
a) sin 75°
b) cos 26°
c) tan 83°
0,97
0,90
d) sin 18°
8,14
0,31
Exercice n°10 page 210
Donne la valeur arrondie au degré de x.
a) sin x = 0,24
b) tan x = 52
x 14°
c) cos x = 0,75
x 89°
x 41°
d) tan x =
7
2
e) cos x =
x 74°
2
3
f) sin x =
x 48°
9
10
x 64°
Exercice n°11 page 210
Recopie et complète le tableau suivant avec des arrondis au
dixième.
Mesure de l'angle
35°
Sinus
35°
30°
19,3°
89°
1,1°
0,6
0,5
0,33
1,0
0,02
Exercice n°12 page 210
Calcule x dans chacun des cas suivants.
x
13
a)
= 0,6
b)
= 0,25
5,5
x
13
x = 0,6 × 5,5
x=
0,25
x = 3,3
x = 52
89°
0,5 0,33
36
x
36
x=
0,8
c) 0,8 =
x = 45
Exercice n°13 page 210 Calcul de la longueur d'un côté
a) Exprime le cosinus de l'angle OLI en fonction des longueurs des côtés du triangle.
b) Quelle longueur peux-tu calculer à l'aide de ce cosinus ? Calcule l'arrondi au dixième de
cette longueur.
O
63°
L
c) Exprime le sinus de l'angle OLI en fonction des longueurs des côtés du triangle.
6 cm
d) Quelle longueur peux-tu calculer à l'aide de ce sinus ? Calcule l'arrondi au dixième de cette longueur.
cos OLI =
0,02
I
OL
LI
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OL
OL = LI × cos OLI
OL 2,7 cm
OL = 6 × cos 63°
sin OLI =
OI
LI
OI
OI = LI × sin OLI
OI = 6 × sin 63°
OI 5,3 cm
Exercice n°14 page 210 Que faut-il choisir ?
a) Quelle relation trigonométrique dois-tu utiliser pour calculer BN ?
b) Calcule l'arrondi au dixième de cette longueur.
O
3 cm
29°
B
N
tan ONB =
OB
BN
OB
3
=
5,4 cm
tan ONB tan 29°
Exercice n°15 page 210 À toi de construire
a) Construis un triangle KOA rectangle en A tel que AK = 5 cm et AKO = 40°.
b) Calcule la longueur OA arrondie au mm.
BN =
K
5 cm
40°
O
A
OA
OA
tan 40° =
OA = 5 tan 40° 4,2 cm
AK
5
Exercice n°17 page 210
Construis un triangle TOY rectangle en O tel que TO = 4,5 cm et YTO = 73°.
tan AKO =
@options;
H. Rorthais (Collège N.D. de l’Abbaye à Nantes)
Y
O
@figure;
O = point( 1 , 7.9 ) { grisfonce };
Y = point( 1 , -6.83 );
sYA = segment( Y , O );
T = point( 5.5 , 7.9 );
sAT = segment( O , T );
sYT = segment( Y , T );
4,5 cm
73°
T
Calcule la valeur arrondie au dixième de l'hypoténuse de ce triangle.
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TO
cos OTY =
TY
TY =
TO
cos OTY
=
4,5
15,4 cm
cos 73°
Exercice n°18 page 210 À toi de choisir !
Dans chaque cas, calcule la valeur arrondie au dixième de la longueur SO.
a) L
b) O
56°
c)
O
L
83°
S
5 cm
5,
cm
7c
m
5
27°
S
S
@options;
repereortho(313,263,30,1,1){ 0 ,
moyen , noir , num1 ,i};
O
L
@figure;
L = point( -7.3 , -1.43 ) { noir };
S = point( -7.8 , 2.9 ) { noir , (0.27,-0.67) };
sSL = segment( S , L ) { noir };
cediaSL = cercledia( S , L )
{ noir , i };
O = pointsur( cediaSL , 41.13 )
{ noir , (-0.53,0.03) };
sSO = segment( S , O ) { noir };
sOL = segment( O , L ) { noir };
angleSOL = angle( S , O , L )
{ noir };
angleSLO = angle( S , L , O )
{ noir , i };
angleOSL = angle( O , S , L )
{ noir };
SO
SO
cos OSL =
cos 27° =
SO = 5,5 cos 27° 4,9 cm
SL
5,5
SL
7
7
tan SOL =
tan 56° =
SO =
4,7 cm
SO
SO
tan 56°
SL
5
5
sin SOL =
sin 83° =
SO =
5,0 cm
SO
SO
sin 83°
Exercice n°19 page 210 Avec deux triangles
Calcule la longueur OM arrondie au millimètre.
O
P
23°
47°
M
4 ,6
cm
A
PM
AM
sin APM =
PM
4,6
PM =
6,3
sin 47°
PAM
POM
A
O
OM
MP
4,6
OM =
× cos 23°
sin 47°
cos OMP =
OM 5,8 cm
Exercice n°21 page 211 Triangle rectangle ?
a) Démontre que le triangle IUV est rectangle.
b) Calcule les longueurs IU et UV arrondies au dixième.
I
2,
U
58°
3
cm
32°
V
180°
UIV = 180° – (58° + 32°) = 90°
UIV
I
VI
2,3
2,3
cos 32° =
UV =
2,7 cm
UV
UV
cos 32°
IV
2,3
2,3
tan IUV =
tan 58° =
IU =
1,4 cm
IU
IU
tan 58°
Exercice n°22 page 211
Construis un triangle ABC tel que AB = 4,5 cm, BAC = 27° et CBA = 63°.
cos IVU =
a) Ce triangle est-il rectangle ? Pourquoi ?
b) Calcule les longueurs AC et BC arrondies au dixième.
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ABC
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C
C
ACB = 180° – (63° + 27°) = 90°
AC
cos BAC =
AB
180°
@options;
@figure;
A = point( -3.1 , 0.5 );
B = point( 1.4 , 0.5 );
sAB = segment( A , B );
C = point( 0.47 , 2.33 ) { (0.32,0.53) };
sAC = segment( A , C );
sCB = segment( C , B );
63°
27°
A
4,5 cm
AC = AB × cos BAC
B
AC = 4,5 cm × cos 27° 4,0 cm
BC = 4,5 cm × cos 63° 2,0 cm
Exercice n°35 page 212 Piste noire
Un skieur descend une piste ayant une pente de 25°. Des fanions sont
plantés aux positions S et P de la piste.
Calcule la distance entre les deux fanions S et P arrondie au dixième de
mètre.
S
200 m
25°
R
SRP
SP =
P
sin SPR =
RS
SP
sin 25° =
P
200
SP
200
473,2 m
sin25°
Exemple 3 : Calculer un angle
F
Soit FUN un triangle rectangle en U tel que : UN = 8,2 cm et UF = 5,5 cm.
5,5 cm
Calcule la mesure de l'angle UNF arrondie au degré.
Solution :
Dans le triangle FUN rectangle en U,
[FU] est le côté opposé à l'angle UNF ;
[UN] est le côté adjacent à l'angle UNF .
tan UNF =
U
8,2 cm
N
On cite les données de l'énoncé qui permettent de
choisir la relation trigonométrique à utiliser.
On doit utiliser la tangente de UNF .
côté opposé à UNF
côté adjacent à UNF
UF
tan UNF =
UN
5,5
tan UNF =
et UNF 34°.
8,2
On écrit la tangente de l'angle recherché.
On saisit
calculatrice.
ou
puis
(5,5 ÷ 8,2) à la
Exercice du cours n°7 page 208
Le triangle EXO est rectangle en X tel que EX = 3 cm et OE = 7 cm.
Calcule les valeurs arrondies au degré de la mesure des angles EOX et XEO.
EXO
X
[OE]
[EX]
EOX
EOX
EOX
sin EOX =
sin EOX =
EX 3
=
EO 7
EOX 25°
XEO = 90° – EOX 90° – 25° 65°
H. Rorthais (Collège N.D. de l’Abbaye à Nantes)
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Exercice du cours n°8 page 208
Le triangle JUS est rectangle en U. Calcule la valeur arrondie au degré de la mesure de l'angle UJS sachant que
UJ = 6,4 cm et US = 4,8 cm.
JUS
U
[US]
UJS
[JU]
UJS
UJS
UJS
tan UJS =
tan UJS =
UJS
US 4,8
=
JU 6,4
UJS 37°
Exercice n°24 page 211
Soit RDS un triangle rectangle en S.
a) Exprime le sinus de l'angle DRS en fonction des longueurs des côtés du triangle.
b) Déduis-en la mesure arrondie au degré de l'angle DRS .
6 ,5 cm
R
D
5
2,
cm
S
sin DRS =
DS
DR
2,5
6,5
Exercice n°26 page 211
DRS 23°
sin DRS =
Dans chaque cas, calcule la mesure de l'angle MNO ; donne la valeur arrondie au degré.
a) N
b)
c)
d)
O
O
5 cm
O
5
2c
m
2
1,2 cm
cm
M
M
1,
6
cm
N
M
cm
7
N
M
cm
2 cm
55°
N
P
8,5 cm
O
2
sin MNO = = 0,4
5
MNO 24°
1,2
sin MNO =
= 0,6
2
MNO 37°
5
tan MNO =
7
MNO 36°
NOP
cos NOP =
NO
OP
NO = 8,5 × cos 55°
MNO
sin MNO =
sin MNO =
MO
NO
2
8,5 × cos 55°
MNO 24°
H. Rorthais (Collège N.D. de l’Abbaye à Nantes)
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3e A - programme 2012 –mathématiques – ch.G2 – cahier élève
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Exercice n°27 page 211 Triangles croisés
a) Calcule la mesure de l'angle IGH.
b) Déduis-en la mesure de l'angle EGF .
c) Calcule les longueurs EF et FG arrondies au dixième.
I
3 cm
m
6c
E
@options;
repereortho(313,263,30,1,1){ 0 ,
moyen , noir , num1 ,i};
3 cm
@figure;
E = point( -5.33 , 2.2 ) { noir , (0.57,-0.6) };
H = point( 1.27 , 2.2 ) { noir };
sEH = segment( E , H ) { noir };
perpHsEH = perpendiculaire( H ,
sEH ) { i };
I = pointsur( perpHsEH , 2.13 )
{ noir , (-0.1,-0.77) };
G = pointsur( sEH , 0.38 ) { noir ,
(-0.13,0.1) };
dGI = droite( G , I ) { i };
perpEsEH = perpendiculaire( E ,
sEH ) { i };
F = intersection( perpEsEH ,
dGI ) { noir };
sFE = segment( F , E ) { noir };
sFI = segment( F , I ) { noir };
sIH = segment( I , H ) { noir };
angleFEG = angle( F , E , G )
{ noir , i };
angleIHG = angle( I , H , G )
{ noir };
H
G
F
GHI
sin IGH =
H
IH 3
= = 0,5
IG 6
EGF = IGH = 30°
IGH = 30°
EGF
IGH
EFG
E
EF
EF = 3 tan 30° 1,7 cm
EG
EG
3
cos EGF =
FG =
3,5 cm
FG
cos 30°
Exercice n°31 page 212
Trace un cercle ( ) de diamètre [BC] tel que BC = 7 cm.
tan EGF =
Place un point A sur le cercle ( ) tel que AB = 2,5 cm.
a) Soit H le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC. Place le point H.
b) Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifie ta réponse.
c) Calcule la valeur de l'angle ACB arrondie au degré.
d) Calcule la longueur AH arrondie au millimètre.
2 ,5
cm
A
@options;
repereortho(310,270,30,1,1){ 0 ,
moyen , noir , num1 ,i};
B
C
@figure;
C = point( 1 , 1 ) { grisfonce };
B = point( -6 , 1 );
cediaBA = cercledia( B , C );
sBC = segment( B , C );
A = pointsur( cediaBA , 138.18 );
sBA = segment( B , A );
sAC = segment( A , C );
p_disBA = milieu( B , A ) { i };
sBC1 = segment( B , C );
p_disBA1 = milieu( B , A ) { i };
H = point( -5 , 0.97 );
sAH1 = segment( A , H );
H
7 cm
ABC
sin ACB =
BA 2,5
=
BC 7
[BC]
ACB 21°
ABC
ABH
A
sin ABH =
180°
AH
AB
ABC 180° – 90° – 21° 69°
AH
sin 69°
2,5
AH = 2,5 sin 69° 2,3 cm
Exercice n°32 page 212 Dans un trapèze rectangle
À l'aide des informations de la figure, calcule la mesure arrondie au degré de l'angle
A
3 cm
M
AIO .
4,5 cm
I
H. Rorthais (Collège N.D. de l’Abbaye à Nantes)
6 cm
O
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H
[IO]
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A
IAH
3 cm
M
H
4,5 cm
AMOH
AH = 4,5 cm
H
6 cm
I
O
AM = 3 cm
IH = IO – HO = 6 cm – 3 cm = 3 cm
AIH
tan AIO = tan AIH =
AH 4,5
=
= 1,5
IH
3
AIO 56°
Exercice n°33 page 212
MNOP est un rectangle de longueur MN = 18 cm et de largeur MP = 7,5 cm.
a) Calcule la mesure de l'angle OMN arrondie au degré.
b) Calcule la longueur de la diagonale de ce rectangle arrondie au millimètre.
c) Soit H le pied de la hauteur issue de N dans le triangle MNO. Calcule la longueur NH arrondie au millimètre.
N
M
OMN 23°
OMN
N
18 cm
7,5 cm
MON
ON 7,5
tan OMN =
=
MN 18
N
H
MO2 = MN2 + NO2 = 182 + 7,52 = 380,25
O
P
MO = 380,25 = 19,5 cm
MNH
H
sin HMN =
HN
MN
sin 23°
HN
18
NH 18 sin 23° 6,9cm
2 RELATIONS TRIGONOMÉTRIQUES
ex. 9
PROPRIÉTÉS
Pour tout angle aigu A, (cos A)2 + (sin A)2 = 1 et tan A =
sin A
.
cos A
Remarque :
La première formule peut aussi s'écrire cos2 A + sin2 A = 1.
Exemple 4 :
a) Calcule la valeur exacte de sin A sachant que A est un angle aigu tel que cos A = 0,8.
b) Puis calcule la valeur exacte de tan A.
Solution :
a) cos2 A + sin2 A = 1, donc sin2 A = 1 – cos2 A = 1 – 0,82 = 1 – 0,64 = 0,36.
Le sinus d'un angle aigu est un nombre positif, donc sin A =
b) tan A =
sin A
cos A
=
0,36 = 0,6.
0,6
= 0,75.
0,8
Exercice du cours n°9 page 208
Calcule la valeur exacte de cos B et tan B sachant que B est un angle aigu tel que sin B =
H. Rorthais (Collège N.D. de l’Abbaye à Nantes)
5
.
13
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2
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2
cos B + sin B = 1
5 2
25
cos2 B = 1 – sin2 B = 1 – = 1 –
169
13
169 25 144
cos2 B =
–
=
169 169 169
144 12
=
169 13
cos B =
5
13
sin B
5 13
5
tan B =
=
=
× =
12
13 12 12
cos B
13
Exercice n°59 page 216 Possible ou impossible ?
Existe-t-il un angle aigu A tel que :
3
7
2 5
2
a) cos A = et sin A =
?
b) cos A =
et sin A = ?
4
4
5
5
3
7
0< <1 0<
<1
4
4
2
3 2
7 2 32
7
9
7 16
cos2 A + sin2 A = + = 2 + 2 =
+
=
=1
16 16 16
4 4 4
4
3
7
A
cos A =
sin A =
4
4
2 5
2
0<
<1 0< <1
5
5
2
2
2 52 22 (2 5) 22 22 5
4 20 4 24
cos A + sin A =
=
+ 2=
+
=
+
= ≠1
+
25
25 25 25 25
5 5
52
5
2
2
A
cos A =
2 5
5
sin A =
2
5
Exercice n°60 page 216 Avec une formule trigonométrique
Calcule la valeur exacte de sin B et de tan B sachant que B est un angle aigu tel que cos B =
2
.
3
cos2 B + sin2 B = 1
22 + sin2 B = 1
3
( 2)2
32
+ sin2 B = 1
2
+ sin2 B = 1
9
2 9 2 7
sin2 B = 1 – = – =
9 9 9 9
sin B
sin B =
7
7
7
=
=
9
3
9
7
3
7 3
7
7× 2
14
tan B =
=
=
=
=
=
3
2
2
2
2
2 2
cos B
3
Exercice n°61 page 216 Avec une formule trigonométrique (bis)
sin B
Calcule la valeur exacte de cos C et de tan C sachant que C est un angle aigu tel que sin C =
6– 2
.
4
cos2 C + sin2 C = 1
cos2 C = 1 – sin2 C
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2
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6 – 2
cos2 C = 1 –
4
cos C = 1 –
2
(
6 – 2)
42
2
2
2
cos C
2
cos C
cos2 C
cos2 C
2
6 –2 6 2+ 2
=1–
16
16 6 – 2 6 2 + 2
= –
16
16
16 – 8 + 2 6 2
=
16
8+2 6 2
=
16
2
2
6 +2 6 2+ 2
cos2 C =
16
2
6
+
2
cos2 C =
4
6 + 2 =
4
2
cos C =
cos2 C
cos2 C
cos2 C
cos2 C
cos2 C
6+ 2
4
6–2 8+2
16
8–2 42
=1–
16
8–2 4 2
=1–
16
42–4 2
=1–
16
4(2 – 2)
=1–
44
4 2– 2
= –
4
4
4 – (2 – 2)
=
4
4–2+ 2
=
4
2+ 2
=
4
cos2 C = 1 –
cos2 C
cos2 C
cos2 C
cos C =
tan C =
2+ 2
=
4
2+ 2
2
sin C
cos C
6– 2
4
tan C =
6+ 2
4
6– 2
4
tan C =
4
6+ 2
6– 2
tan C =
6+ 2
( 6 – 2) ( 6 – 2)
tan C =
( 6 + 2) ( 6 – 2)
tan C =
2+ 2
=
4
tan C =
6– 2
4
2+ 2
2
6– 2
2
tan C =
4
2+ 2
tan C =
6– 2
2(2 + 2)
( 6) 2 – 2 6 2 + ( 2)2
( 6) 2 – ( 2)2
6–2 3 2 2+2
6–2
8–4 3
tan C =
4
tan C =
tan C = 2 – 1 3
tan C = 2 – 3
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